2.1: Отримання від a до b

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66406

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Не можна робити омлет, не розбивши яйце. Щоб отримати речі, які ми хочемо, потрібні ресурси, і процес перетворення того, що ми маємо, на те, що ми хочемо, часто є складним. У цьому розділі ми обговоримо, як моноїдальні попередні замовлення можуть допомогти нам задуматися над цим питанням.

Розглянемо наступні три питання, які ви можете задати собі:

Враховуючи те, що у мене є, чи можна отримати те, що я хочу?
Враховуючи те, що у мене є, яка мінімальна вартість отримати те, що я хочу?
З огляду на те, що у мене є, який набір способів отримати те, що я хочу?

Ці питання стосуються ресурсів, які ви маєте, і тих, які ви хочете, але, можливо, більш важливо, вони стосуються переходу від того, щоб хотіти: можливість, вартість і способи.

Такі питання виникають не тільки в нашому житті, але і в науці і промисловості. У хімії запитують, чи може певний набір сполук трансформуватися в інший набір, скільки енергії буде потрібно така реакція, або які існують методи для її здійснення. У виробництві задаються подібні питання.

З зовнішньої точки зору як хімік, так і промислова фірма можуть розглядатися як склади інформації з вищезазначених предметів. Хімік знає, які сполуки вона може зробити з урахуванням інших, і як це зробити; фірма зберігає знання того ж роду. Дослідницька робота хіміка та фірми полягає у використанні того, що вони знають, щоб отримати або відкрити нові знання.

Це приблизно перша мета цієї глави: обговорити формалізм для вираження рецептів методів перетворення одного набору ресурсів в інший і отримання нових рецептів зі старих. Ідея тут не складна, ні в житті, ні в нашому математичному формалізмі. Тоді додана вартість полягає в тому, щоб просто побачити, як це працює, щоб ми могли побудувати його в книзі, і щоб інші могли побудувати на ній у своїй власній роботі.

Ми коротко обговоримо категоричний підхід до цієї ідеї, а саме моноїдальних попередніх замовлень для побудови нових рецептів зі старих. Наступна схема підключення показує, припускаючи, що один знає, як реалізувати кожен з внутрішніх коробок, як здійснити приготування лимонного пирога безе:

$Знімок екрана 2021-01-05 о 5.22.59 PM.png$

Провід показує ресурси: ми починаємо з підготовленої скоринки, лимона, масла, цукру та яєчних ресурсів, і ми закінчуємо необпеченим ресурсом пирога. Ми могли б взяти весь цей метод і поєднати його з іншими, наприклад, випікати пиріг:

$Знімок екрана 2021-01-05 в 5.23.35 PM.png$

У наведеному вище прикладі ми бачимо, що ресурси не завжди споживаються, коли вони використовуються. Наприклад, ми використовуємо духовку, щоб перетворити або каталізувати перетворення непропеченого пирога в запечений пиріг, і ми отримуємо духовку назад після того, як закінчимо. Це приємна особливість духовок! Для використання економічних термінів піч є «засобом виробництва» для пирогів.

Струнні діаграми - важливі математичні об'єкти, які будуть з'являтися неодноразово в цій книзі. Вони були винайдені в математичному контексті конкретніше в контексті моноїдальних категорій Joyal and Street [JS93], але вони вже давно використовуються менш формально інженерами та вченими в різних контекстах.

Як ми вже говорили вище, наша перша мета в цьому розділі - використовувати моноїдальні попередні замовлення та відповідні схеми підключення, як формальну мову для рецептів зі старих. Наша друга мета - обговорити щось під назвою V-категорії для різних моноїдальних попередніх замовлень В.

V-категорія - це сукупність об'єктів, які можна розглядати як точки на карті, де V якимось чином «структурує питання» отримання з точки а в точку b. Приклади моноїдальних попередніх замовлень V, які нас найбільше зацікавлять, називаються Bool і Cost. Грубо кажучи, Bool -категорія - це сукупність точок, де питання про потрапляння з точки а в точку б має істинну/хибну відповідь. Категорія «Вартість» - це сукупність балів, де питання отримання від a до b має відповідь d$\in$ [0, ∞], вартість.

Ця історія працює в більшій загальності, ніж моноїдальні попередні замовлення. Дійсно, у розділі 4 ми обговоримо щось, що називається моноїдальною категорією, поняття, яке узагальнює моноїдальні попередні замовлення, і ми узагальнимо визначення V-категорії відповідно. У цьому більш загальному налаштуванні V-категорії також можуть звернутися до нашого третього питання вище, описуючи методи отримання між точками. Наприклад, Set -category - це сукупність точок, де питання переходу з точки a в точку b має набір відповідей (елементи яких можуть називатися методами).

Ми почнемо в розділі 2.2 з визначення симетричних моноїдальних попередніх порядків, наведемо кілька попередніх прикладів і обговоримо схеми підключення. Потім ми наведемо ще багато прикладів симетричних моноїдальних попередніх замовлень, включаючи як деякі реальні приклади, у вигляді теорій ресурсів, так і деякі математичні приклади, які з'являться знову протягом всієї книги. У розділі 2.3 ми обговорюємо збагачення та V-категорії, як моноїдальний попередній порядок V може «структурувати питання» отримання від a до b, а потім дати деякі важливі конструкції на V-категорії (розділ 2.4) та проаналізувати їх за допомогою своєрідної методики множення матриць (розділ 2.5).