1.5: Більше суми їх частин

Ми мотивуємо цю першу главу, помічаючи, що, хоча багато реальних структур є композиційними, результати спостереження за ними часто не є. Причина в тому, що спостереження за своєю суттю «втрачено»: щоб витягти інформацію з чогось, треба відкинути деталі. Наприклад, один зберігає дійсне число, округляючи його до певної точності. Але якщо деталі насправді актуальні в даній роботі системи, то спостережуваний результат цієї операції буде не таким, як очікувалося. Це зрозуміло у випадку помилки округлення, але воно також проявляється в нечислових областях: спостереження за складною системою рідко буває достатньо, щоб передбачити її поведінку, оскільки спостереження втрачається.

Центральною темою в теорії категорій є вивчення структур і структурозберігаючих карт. Карта f: X → Y є своєрідним спостереженням об'єкта X через вказаний зв'язок, який він має з іншим об'єктом, Y. Наприклад, подумайте про X як про предмет експерименту, а Y як метр, підключений до X, що дозволяє нам витягти певні особливості X, дивлячись на реакцію Y.

Запитуючи, які аспекти X один хоче зберегти під спостереженням f стає питання «в якій категорії ви працюєте?». Як приклад, існує багато функцій f from\(\mathbb{R}\) to\(\mathbb{R}\), і ми можемо розглядати їх як спостереження: замість того, щоб дивитися x «безпосередньо», ми спостерігаємо лише f (x). З усіх функцій f:\(\mathbb{R}\) →\(\mathbb{R}\) лише деякі з них зберігають порядок чисел, лише деякі з них зберігають відстань між числами, лише деякі з них зберігають суму чисел тощо Давайте перевіримося з вправою; рішення можна знайти в главі 1.

Вправа 1.1.

Деяка термінологія: функція f:\(\mathbb{R}\) →\(\mathbb{R}\), як кажуть, є

(a) збереження порядку, якщо x ≤ y означає f (x) ≤ f (y), для всіх x, y ψ R; 1

(б) метричне збереження, якщо |x - y| = | f (x) - f (y) |;

(c) додавання збереження, якщо f (x + y) = f (x) + f (y).

Для кожного з трьох властивостей, визначених вище, називайте його foo find, тобто збереження їжі та приклад будь-якого, якщо це не збереження їжі. ♦

У теорії категорій ми хочемо зберегти контроль над тим, які аспекти наших систем зберігаються під різними спостереженнями. Як ми вже говорили вище, чим менше структура зберігається нашим спостереженням за системою, тим більше «сюрпризів» відбувається, коли ми спостерігаємо за її роботою. Можна назвати ці сюрпризи генеративними ефектами.

Використовуючи теорію категорій для вивчення генеративних ефектів, ми слідуємо основним ідеям з роботи Адама [Ada17]. Він набагато глибше заглиблюється в проблему, ніж ми можемо тут; див. Розділ 1.5. Але, як згадувалося вище, ми також повинні використовувати цю главу, щоб дати теоретичну розминку порядку для повноцінної теорії категорій.

перший погляд на генеративні ефекти

Щоб дослідити поняття генеративного ефекту, нам потрібна якась система, своєрідне спостереження та операція на системному рівні, яка не зберігається спостереженням. Почнемо з простого прикладу.

Проста система. Розглянемо три пункти; ми назвемо їх •, ◦ і ∗. У цьому прикладі система буде просто способом з'єднання цих точок між собою. Ми можемо розглядати наші точки як сайти в електромережі, з системою, що описує з'єднання лініями електропередач, або як людей, схильних до якогось захворювання, з системою, що описує взаємодії, які можуть призвести до зараження. Як абстрактний приклад системи, існує система, де • і ◦ з'єднані, але жодна з них не підключена до ∗. Намалюємо ось так:

З'єднання симетричні, тому якщо a з'єднаний з b, то b з'єднується з a. З'єднання також перехідні, що означає, що якщо a з'єднаний з b, а b з'єднаний з c, то a підключається до c; тобто з'єднуються всі a, b, c. Дружба не є перехідною, друг мого друга не обов'язково мій друг, але можливе спілкування концепції чи хвороби є.

Тут ми зображуємо ще дві системи, одну, в якій жодна з точок не пов'язана, і одну, в якій з'єднані всі три точки.

Всього існує п'ять систем, і ми зображуємо їх трохи нижче.
Тепер, коли ми визначили тип системи, яку ми хочемо обговорити, припустимо, що Аліса спостерігає за цією системою. Її спостереження за інтересом, яке ми називаємо Φ, витягує з системи єдину особливість, а саме, чи підключена точка • до точки ∗; це те, що вона хоче знати. Її спостереження за системою буде присвоєнням або true або false; вона присвоює true, якщо • підключено до ∗, і false інакше. Так Φ присвоює значення true наступним двом системам:

і Φ присвоює значення false трьом іншим системам:

Останній шматок установки полягає в тому, щоб дати своєрідну операцію, яку Аліса хоче виконати на самих системах. Це дуже поширена операція, яка буде з'являтися багато разів протягом всієї книги під назвою приєднатися. Якщо читач слідував за дугою історії, тут очікується, що спостереження Аліси за зв'язком не буде композиційним щодо роботи системного приєднання; тобто будуть генеративні ефекти. Давайте розберемося, що це означає.

Приєднання до наших простих систем. З'єднання двох систем А і В виконується просто шляхом об'єднання їх з'єднань. Тобто, скажемо об'єднання систем A і B, позначимо це A\(\lor\) B, має зв'язок між точками x і y, якщо є деякі точки z 1,., z n такі, що кожне з наступних вірно принаймні в одному з A або B: x з'єднаний з z 1, z i з'єднаний з z i +1, а z n з'єднаний з y. У триточковій системі вищевказане визначення є надмірним, але ми хочемо сказати щось, що працює для систем з будь-якою кількістю елементів. Високорівневий спосіб сказати, що це «взяти перехідне закриття об'єднання з'єднань в A і B». У нашій триелементної системі це означає, наприклад, що

і

Вправа 1.4.

Який результат приєднання двох наступних систем?

Тепер ми готові побачити генеративний ефект. Ми не хочемо будувати його занадто багато, цей приклад був зроблений максимально простим, але ми побачимо, що спостереження Аліси не може зберегти операцію приєднання. Ми позначали її спостереження, вимірюючи, чи пов'язані • і ∗ символом Φ; він повертає булевий результат, або істинний, або хибний.

Вище ми бачимо в еквалайзері (1.2), що\(\Phi\left(\odot^{\circ}\right)=\Phi\left(^{\circ} \%\right)=\text { false }\): в обох випадках • не підключений до ∗. З іншого боку, коли ми приєднуємось до цих двох систем, як у Eq. (1.3), ми бачимо, що\(\Phi\left(\Omega^{\circ} \vee^{\circ} \theta\right)=\Phi\left(^{\circ}\right)=\text { true: }\) в об'єднаній системі, • підключений до ∗. Питання, яке цікавить Аліса, про Φ, по суті є втратним щодо приєднання, і немає можливості виправити це без більш детального спостереження, яке включає не тільки ∗ і • але також ◦.

Хоча це був простий приклад, слід зазначити, що чи існує потенціал для таких ефектів - тобто визначення того, чи є спостереження збереженням операції - може бути неймовірно важливою інформацією, яку потрібно знати. Наприклад, Аліса може відповідати за об'єднання поглядів двох місцевих органів влади щодо можливого зараження інфікованої людини • та вразливою особою ∗. Аліса помітила, що якщо вони окремо витягують інформацію зі своїх вихідних даних та поєднують результати, це дає іншу відповідь, ніж якщо вони поєднують свої вихідні дані та витягують з них інформацію.

Системи замовлення

Теорія категорій - це все про організацію та нашарування структур. У цьому розділі ми пояснимо, як роботу систем з'єднання можна вивести з більш базової структури: порядку. Ми побачимо, що поки приєднання не зберігається спостереженням за зв'язком Аліси Φ, порядок є.

Для початку відзначимо, що самі системи впорядковані в ієрархії. Задані системи A і B, ми говоримо, що A ≤ B якщо, коли х з'єднаний з y в A, то х з'єднаний з y в B. Наприклад,

Це поняття ≤ призводить до наступної діаграми:

де стрілка від системи A до системи B означає A ≤ B. Такі діаграми відомі як діаграми Хассе.

Як ми вже говорили вище, поняття приєднання походить від цього порядку. Дійсно, для будь-яких двох систем A і B на діаграмі Хассе (1.5) об'єднана система A ψ B є найменшою системою, яка більша за обох A і B. Тобто A ≤ (A\(\lor\) B) і B ≤ (A\(\lor\) B), а для будь-якого C, якщо A ≤ C і B ≤ C то (A\(\lor\) Б) ≤ С. Давайте пройдемося по цьому вправою.

Вправа 1.6.

1. Запишіть всі розділи набору двох елементів {•, ∗}, впорядкуйте їх, як зазначено вище, і намалюйте діаграму Хассе.
2. Тепер зробіть те ж саме для набору чотирьох елементів, скажімо {1, 2, 3, 4}. Має бути 15 перегородок.

Виберіть будь-які дві системи на вашій діаграмі Хассе з 15 елементів, назвіть їх A і B.

3. Що таке A ψ B, використовуючи визначення, наведене в пункті вище Eq. (1.3)?

4. Чи правда, що A ≤ (A\(\lor\) B) і B ≤ (A\(\lor\) B)?

5. Назвіть всі системи C, для яких і A ≤ C, і B ≤ C.

6. Чи правда, що в кожному випадку (A\(\lor\) B) ≤ C? ♦

Набір\(\mathbb{B}\) = {true, false} логічних знаків також має порядок, false ≤ true:

Таким чином, false ≤ false, false ≤ true і true ≤ true, але true ≠ false. Іншими словами, A ≤ B, якщо A означає B. \(^{2}\)

Для будь-якого A, B в B, ми можемо знову записати A\(\lor\) B, щоб означати найменший елемент, який більше, ніж і A і B.

Вправа 1.7.

Використовуючи порядок false ≤ true on\(\mathbb{B}\) = {true, false}, що таке:

1. правда\(\lor\) брехня?
2. хибна\(\lor\) правда?
3. правда\(\lor\) правда?
4. помилковий\(\lor\) брехня? ♦

Повернемося до наших систем за допомогою •, ◦ і ∗, а функція Аліси «• підключена до ∗», яку ми назвали Φ. Вона приймає будь-яку таку систему і повертає або true або false. Зауважте, що карта Φ зберігає порядок ≤: якщо A ≤ B і є зв'язок між • і∗ в А, то такий зв'язок є і в B. Можливість генеративного ефекту фіксується в нерівності

\(\Phi(A) \vee \Phi(B) \leq \Phi(A \vee B)\). (1.8)

Ми побачили на сторінці 4, що це може бути сувора нерівність: ми показали дві системи A і B з Φ (A) = Φ (B) = false, тому Φ (A) ψ Φ (B) = помилково, але де Φ (A\(\lor\) B) = істинно. В цьому випадку існує генеративний ефект.

Ці ідеї захоплюють найосновніші ідеї в теорії категорій. Найбільш безпосередньо ми бачили, що карта Φ зберігає деяку структуру, але не іншу: вона зберігає порядок, але не приєднується. Насправді, ми бачили тут натяки на більш складні поняття з теорії категорій, не роблячи їх явними; до них відносяться поняття категорії, функтора, коліміту та ад'юнкції. У цьому розділі ми розглянемо ці ідеї в елементарній обстановці упорядкованих наборів.