1.2: Зустрічається та приєднується

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66298

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Як ми вже говорили, попередній порядок - це набір P, наділений порядком ≤, що стосується елементів. Відносно цього порядку певні елементи П можуть мати відмінні характеристики, як абсолютно, так і по відношенню до інших елементів. Ми обговорювали приєднання раніше, але ми обговорюємо їх знову зараз, коли ми створили певний формалізм.

Визначення та основні приклади

Розглянемо попередній порядок ($\mathbb{R}$, ≤) дійсних чисел, впорядкованих звичайним способом. Підмножина$\mathbb{N}$$\subseteq$$\mathbb{R}$ має багато нижчих меж, а саме −1.5 є нижньою межею: кожен елемент N більший за −1,5. Але в усіх нижніх межах для$\mathbb{N}$$\subseteq$$\mathbb{R}$, один є відмінним: найбільша нижня межа також називається зустрітися, а саме 0. Це нижня межа, і немає нижньої межі для$\mathbb{N}$ того, що знаходиться над нею. Однак набір не$\mathbb{N}$$\subseteq$$\mathbb{R}$ має верхньої межі, і, звичайно, не останню верхню межу, яка б називалася об'єднанням. З іншого боку, набір

$\left\{\frac{1}{n+1} \mid n \in \mathbb{N}\right\} \subseteq \mathbb{R}$

має як найбільшу нижню межу (meet), а саме 0, так і найменшу верхню межу (join), а саме 1. Ці поняття матимуть кореляти в теорії категорій, званих лімітами та колімітами, про які ми поговоримо в главі 3. Більш загально ми говоримо, що ці відмінні характеристики є універсальними властивостями, оскільки, наприклад, найбільша нижня межа є найбільшою серед усіх нижніх меж. Наразі, однак, ми просто хочемо зробити визначення найбільших нижніх меж і найменших верхніх меж, які називаються зустрічає і приєднується, точним.

Вправа 1.80.

Чому 0 нижня межа для$\left\{\frac{1}{n+1} \mid n \in \mathbb{N}\right\} \subseteq \mathbb{R}$
Чому 0 найбільша нижня межа (зустрітися)? ♦

Визначення: 1.81.

Нехай (P, ≤) є попереднім порядком, а A$\subseteq$ P - підмножиною. Ми говоримо, що елемент р$\in$ Р є зустріччю A, якщо

для всіх $\in$A, ми маємо p ≤ a, і
для всіх q таких, що q ≤ a для всіх $\in$A, ми маємо що q ≤ p.

Пишемо p =$\bigwedge$ A, p =$\bigwedge_{a \in A}$ a, або, якщо фіктивна змінна a зрозуміла з контексту, просто p =$\bigwedge_{A}$ a.

Якщо A просто складається з двох елементів, скажімо A = {a, b}, ми можемо позначити$\bigwedge$ A просто a$\land$ b.

Аналогічно, ми говоримо, що р є об'єднанням A, якщо

для всіх $\in$A у нас є ≤ p, а
для всіх q таких, що a ≤ q для всіх $\in$A, ми маємо, що p ≤ q.

Ми пишемо p =$\begin{equation}V A\end{equation}$ або p =$V_{a \in A} a$ a, або коли A = {a, b} ми можемо просто записати p = a$\lor$ b.

Зауваження 1.82. У визначенні 1.81 ми вчинили, здавалося б, кричуще зловживання позначеннями. Далі ми побачимо в прикладі 1.84, що можуть бути дві різні зустрічі A$\subseteq$ P, скажімо p =$\bigwedge A$ і q =$\bigwedge$ A з p$\neq$ q, що не має сенсу, якщо p$\neq$ q!

Але насправді, коли ми використовуємо символ$\bigwedge$ A, це зловживання не матиме значення, тому що будь-які два відповідають p, q автоматично ізоморфні: саме визначення зустрітися сил як p ≤ q, так і q ≤ p, і, таким чином, ми маємо p$\cong$ q. Отже, для будь-якого x$\in$ P, ми маємо p ≤ x iff q ≤ x і x ≤ p iff x ≤ q. Таким чином, поки ми цікавляться лише елементами P на основі їх зв'язків з іншими елементами (а в теорії категорій це так: ми повинні піклуватися лише про речі, засновані на тому, як вони взаємодіють з іншими речами, а не на якоїсь «внутрішньої сутності»), відмінність між p і q ніколи не матиме значення.

Це віщує основну тему, а також стандартне зловживання позначеннями в теорії категорій, де будь-які дві речі, визначені одним і тим же універсальним властивістю, автоматично еквівалентні таким чином, як «унікальний до унікального ізоморфізму»; це означає, що ми, як правило, не стикаємося з неприємностями, якщо ми робимо вигляд, що вони рівний. Ми знову підберемо цю тему «проти» а» в Зауваження 3.85.

Приклад 1.83 (Meets або joins може не існувати).

Зауважте, що в довільному попередньому порядку (P, ≤) підмножина A не повинна мати зустрічей або об'єднання. Розглянемо три елементні множини P = {p, q, r} з дискретним упорядкуванням. Набір A = {p, q} не має об'єднання в P, тому що якби x був об'єднанням, нам знадобиться p ≤ x і q ≤ x, і такого елемента x немає.

Приклад 1.84 (може існувати декілька зустрічей або об'єднань).

Також може бути так, що підмножина A має більш ніж одну зустріч або приєднання. Ось приклад.

$Знімок екрана 2021-01-07 о 6.35.42 PM.png$

Нехай A буде підмножиною {a, b} у попередньому порядку, визначеному цією діаграмою Хассе. Тоді і c, і d відповідають A: будь-який елемент менше як a, так і b також менше c, а також менше d. Зверніть увагу, що, як і в зауваження 1.82, c ≤ d і d ≤ c, так c$\cong$ d. Таке завжди буде, коли зустрічається більше однієї зустрічі: будь-які два зустрічей однієї і тієї ж підмножини будуть ізоморфними.

Вправа 1.85.

Нехай (P, ≤) є попереднім порядком, а p$\in$ P елементом. Розглянемо множину A = {p} з одним елементом.

Покажіть, що$\bigwedge$ А$\cong$ р.
Покажіть, що якщо P насправді є частковим порядком, то$\bigwedge$ A = p.
Чи правдиві аналогічні факти, коли$\bigwedge$ їх замінюють$V$?

Приклад 1.86.

У будь-якому частковому порядку P, ми маємо p$\lor$ p = p =$\land$ p. Причина в тому, що наше позначення говорить p$\lor$ p означає$V$ {p, р}. Але {p, p} = {p} (див. Розділ 1.2.1), так p$\lor$ p = p за допомогою вправи 1.85.

Приклад 1.87.

У множині потужності P (X), зустріч колекції підмножин, скажімо, A, B$\subseteq$ X - їх перетин A$\land$ B = A$\cap$ B, тоді як об'єднання - це їх об'єднання, A$\lor$ В = А$\cup$ Б.

$Знімок екрана 2021-01-07 о 6.45.05 PM.png$

Можливо, це виправдовує термінологію: з'єднання двох множин - це їх об'єднання, зустріч двох множин - їх перетин.

Приклад 1.88.

У булевих$\mathbb{B}$ значеннях = {false, true} (Приклад 1.34) зустріч будь-яких двох елементів задається AND, а об'єднання будь-яких двох елементів задається АБО (відкликати вправу 1.7).

Приклад 1.89.

У загальному порядку зустріч набору - це його інфімум, тоді як приєднання набору - його супремум. Зверніть увагу, що$\mathbb{B}$ це загальний порядок, і це узагальнює приклад 1.88.

Вправа 1.90.

Нагадаємо порядок ділення на N з прикладу 1.45: записуємо n | m, якщо n ділиться ідеально на m. Зустріч будь-яких двох чисел у цьому попередньому порядку має загальну назву, яку ви, можливо, дізналися, коли вам було близько 10 років; що це таке? Аналогічно об'єднання будь-яких двох чисел має загальну назву; що це таке? ♦

Пропозиція 1.91.

Припустимо, (P, ≤) є попереднім порядком, а A$\subseteq$ B$\subseteq$ P є підмножинами, які відповідають. Потім$\bigwedge$ B ≤$\bigwedge$ A. Аналогічно, якщо A і B мають об'єднання, то$V$ A ≤$V$ B.

Доказ. Нехай m =$\bigwedge$ A і n =$\bigwedge$ B. Тоді для будь-якого$\in$ A ми також маємо$\in$ B, тому n ≤ a тому що n є нижньою межею для B. Таким чином n також нижня межа для A і, отже, n ≤ m є найбільшою нижньою межею A. Друга претензія доведена аналогічно. ♦

Повернутися до спостережень та генеративних ефектів

У тезі [Ada17] Адам розглядає монотонні карти як спостереження. Монотонна карта Φ: P → Q - це явище (можна сказати «особливість») P, як спостерігається Q. він визначає генеративний ефект такої карти Φ як її нездатність зберегти об'єднання (або більш загалом, для категорій, її нездатність зберегти коліміти).

Визначення: 1.92.

Ми говоримо, що монотонна карта f: P → Q зберігає відповідає якщо f (a$\land$)$\cong$ f (a)$\land$ f (b) для всіх a, b $\in$П. Ми аналогічно говоримо f зберігає приєднується, якщо f (a$\lor$)$\cong$ f (a)$\lor$ f (b) для всіх a, b$\in$ P.

Визначення: 1.93.

Ми говоримо, що монотонна карта f: P → Q має генеративний ефект, якщо існують елементи a, b$\in$ P такі, що

f (a)$\lor$ f (b)$\cong$ f (a$\lor$ b).

У визначенні 1.93, якщо ми думаємо про Φ як спостереження або вимірювання систем a і b, то ліва сторона f (a)$\lor$ f (b) може бути інтерпретована як поєднання спостереження a із спостереженням b З іншого боку, права сторона f (a$\lor$ b) є спостереженням за комбінована система a$\lor$ b Нерівність означає, що ми бачимо щось, коли ми спостерігаємо комбіновану систему, яку ми не могли очікувати, просто поєднуючи наші спостереження за шматочками. Тобто, що виникають генеративні ефекти від взаємозв'язку двох систем.

Вправа 1.94.

У визначенні 1.93 ми визначили генеративність f як нерівність f (a$\lor$)$\neq$ f (a)$\lor$ f (b), але в наступному тексті ми, здавалося, мали на увазі, що в f (a$\lor$ b) буде не просто різниця, а більше речей у f (a)$\lor$ f (b). Довести, що для будь-якої монотонної карти f: P → Q, якщо a, b$\in$ P мають об'єднання і f (a), f (b)$\in$ Q мають об'єднання, то дійсно f (a)$\lor$ f (b) ≤ f (a$\lor$ b) . ♦

У своїй роботі над генеративними ефектами Адам обмежує свою увагу генеративними картами, які зберігають зустрічі (але не зберігають приєднання). Збереження зустрічей означає, що карта Φ поводиться добре при обмеженні підсистем, хоча це може викликати сюрпризи при приєднанні систем.

Ця дискусія, природно, призводить до зв'язків Галуа, які є парами монотонних карт між попередніми замовленнями, одна з яких зберігає всі приєднання, а інша з яких зберігає всі зустрічі.