6.5: Деякі класичні нерівності

Те, що наша формула для суми геометричного ряду дає нам точну суму, дуже незвично - а значить, дуже дорогоцінне. Практично для всіх інших нескінченних рядів - якими б природними, або красивими вони не здавалися - можна бути досить впевненим, що немає очевидної точної формули для значення суми. Отже, у тих випадках, коли ми знаємо точне значення, ви можете зробити висновок, що для того, щоб виявити те, що ми знаємо, знадобилися максимум зусиль деяких найкращих математичних умів.

Один із способів, за допомогою якого ми можемо зробити невеликий прогрес у оцінці значення нескінченного ряду, - це отримати нерівність шляхом порівняння заданої суми з геометричним рядом.

Проблема 246

(а) (i) Поясніть, чому

$\frac{1}{3^2}<\frac{1}{2^2}$,

тому$\frac{\mathrm{}}{}$

$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}<\frac{2}{2^2}=\frac{1}{2}$.

(ii) Поясніть, чому$\frac{1}{5^2},\frac{1}{6^2},\frac{1}{7^2}$є всі$<\frac{1}{4^2}$, так$\frac{\mathrm{}}{}$

$\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}<\frac{4}{4^2}=\frac{1}{4}.$

(b) Використовуйте частину (a), щоб довести, що

$$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{{п}^2}<2,\; для\; всіх$ $$$п⩾1.

(c) Зробіть висновок, що нескінченна сума

$$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots +$$1п2+⋯(на віки віків)

має певне значення, і що це значення лежить десь між$\frac{17}{12}$і 2.

Наступна проблема представляє досить інший спосіб виведення подібної рівності. Після того, як відповідна нерівність була вгадана або дана (див. Завдання 247 (a) та (b)), доказ математичної індукції часто є відносно простим. І трохи подумавши над Задачею 246, повинно бути зрозуміло, що значна частина неточності в загальній нерівності виникає через досить поганих наближень, зроблених для перших кількох членів (коли n = 1, коли n = 2, коли n = 3 і т.д.); отже, зберігаючи перші кілька термінів такими, якими вони є, і лише наближаючись до$$п⩾2, або$$п⩾3, або$$п⩾4, ми часто можемо довести більш різкий результат.

Проблема 247

(а) Доведіть шляхом індукції, що$\frac{\mathrm{}}{}$

$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{{\mathit{п}}^2}⩽2-\frac{1}{\mathit{п}}$, для всіх$$п⩾1.

(б) Доведіть шляхом індукції, що$\frac{\mathrm{}}{}$

$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{}{}$1п2<1.68−1пдля всіх$$п⩾4.

Нескінченна сума

$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{}{}$1п2+⋯(на віки віків)

є історичною класикою, і має багато повчальних історій, щоб розповісти. Нагадаємо, що в задачах 54, 62, 63, 236, 237, 238 ви знайшли закриті формули для сум

$1+2+3+\cdots +\mathit{п}$${\mathrm{}}^{}$

$1^2+2^2+3^2+\cdots +{\mathit{п}}^2$${\mathrm{}}^{}$

$1^3+2^3+3^3+\cdots +{\mathit{п}}^3$

і на суми$\mathrm{}$

$1\times 2+2\times 3+3\times 4+\cdots +(\mathit{п}-1)\mathit{п}$$\mathrm{}$

$1\times 2\times 3+2\times 3\times 4+3\times 4\times 5+\cdots +(\mathit{п}-2)(\mathit{п}-1)\mathit{п}$.

Кожне з цих виразів має до нього «природне» відчуття, і пропонує нам повірити, що повинен бути однаково природний компактний відповідь, що представляє суму. У задачі 235 ви взяли цю ідею на крок далі, знайшовши красиве замкнуте вираз для суми.

$\frac{1}{1·2}+\frac{1}{2·3}+\frac{1}{3·4}+\cdots +\frac{1}{\mathit{п}(\mathit{п}+1)}=1-\frac{1}{\mathit{п}+1}$

Коли ми почали розглядати нескінченні ряди, ми знайшли елегантну замкнуту формулу

$1+\mathit{р}+{\mathit{р}}^2+{\mathit{р}}^3+\cdots +{\mathit{р}}^{\mathit{п}}=\frac{1}{1-\mathit{р}}-\frac{{\mathit{р}}^{\mathit{п}+1}}{1-\mathit{р}}$.

Потім ми зауважили, що остаточний термін на RHS можна розглядати як «термін помилки», вказуючи суму, на яку LHS відрізняється від$\frac{1}{1-\mathit{р}}$, і зауважив, що для будь-якого заданого значення r між −1 і +1 цей термін помилки «прагне до 0 у міру збільшення потужності n». Ми інтерпретували це як вказівку на те, що можна привласнити значення нескінченній сумі.

$1+\mathit{р}+{\mathit{р}}^2+{\mathit{р}}^3+\cdots$(назавжди) =$\frac{1}{1-\mathit{р}}$.

Таким же чином, в елегантній закритій формулі

$\frac{1}{1·2}+\frac{1}{2·3}+\frac{1}{3·4}+\cdots +\frac{1}{\mathit{п}(\mathit{п}+1)}=1-\frac{1}{\mathit{п}+1}$

кінцевий термін на RHS вказує суму, на яку кінцева сума на LHS відрізняється від 1; і оскільки цей «термін помилки» прагне до 0, коли n збільшується, ми можемо призначити значення нескінченній сумі

$\frac{1}{1·2}+\frac{1}{2·3}+\frac{1}{3·4}+\cdots$(назавжди) = 1.

Тому природно запитати, чи інші нескінченні серії, такі як

$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{}{}$1п2+⋯(на віки віків)

також може бути присвоєно деяке природне скінченне значення. А так як ряд суто числовий (без будь-яких змінних параметрів, таких як «r» в формулі геометричного ряду), то ця відповідь повинна бути строго числовою відповіддю. І це повинно бути точним - хоча все, що нам вдалося довести досі (в Задачі 246 і 247), це те, що ця числова відповідь лежить десь між$\frac{17}{12}$і 1.68.

Це питання виникло закономірно в середині сімнадцятого століття, коли математики почали досліджувати всілякі нескінченні ряди (або «суми, які йдуть назавжди»). З трохи більше роботи в дусі проблем 246 і 247 можна було знайти набагато більш точне приблизне значення. Але те, що потрібно, - це точний вираз, а не неосвічене десяткове наближення. Це прагнення має серйозну математичну основу, і це не просто якась пуристська перевага елегантності. Фактичне десяткове значення дуже близьке до

$1.649934\cdots$.

Але це не передає ніякої структурної інформації. Один не залишається без натяку на те, чому сума має це значення. На відміну від цього, можлива форма точного виразу передбачає зв'язки, значення яких залишається цікавим і донині.

Найбільші уми сімнадцятого і початку вісімнадцятого століття намагалися знайти точне значення для нескінченної суми - і не вдалося. Проблема стала відома як Базельська проблема (після Якоба Бернуллі (1654-1705), який популяризував проблему в 1689 році - одного з декількох членів сім'ї Бернуллі, які всі були пов'язані з університетом в Базелі). Проблема була остаточно вирішена в 1735 році - в воістину захоплюючому стилі - молодим Леонхардом Ейлером (1707-1783) (який був у той час також в Базелі). Відповідь

$\frac{}{}$π26

ілюструє остаточне речення попереднього абзацу несподіваними способами, які ми все ще намагаємося зрозуміти.

У наступному завданні вам пропонується застосувати подібні ідеї до ще більш важливої серії. Частина (а) забезпечує відносно грубий перший аналіз. Частина (b) атакує те саме питання; але вона робить це, використовуючи алгебру та індукцію (а не формулу для суми геометричного ряду) таким чином, який потім додатково уточнюється в частині (c).

Проблема 248

(а) (i) Виберіть відповідний r і доведіть, що$\frac{\mathrm{}}{}$

$\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{\mathit{п}!}<1+\mathit{р}+{\mathit{р}}^2+\cdots +{\mathit{р}}^{\mathit{п}-1}<2$.

(ii) зробити висновок, що

$\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{\mathit{п}!}<3$для кожного$$п⩾0,

а значить, що нескінченна сума

$\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{\mathit{п}!}+\cdots$(назавжди)

може бути присвоєно значення «е» задовольняє$2<$е⩽3.

(b) (i) Доведіть індукцією, що

$\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{\mathit{п}!}⩽3-\frac{1}{\mathit{п}.\mathit{п}!}$, для всіх$$п⩾1.

(ii) Використовуйте частину (i), щоб зробити висновок, що нескінченна сума

$\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{\mathit{п}!}+\cdots$(назавжди)

може бути присвоєно певне значення «е», і що це значення лежить десь між 2,5 і 3.

(c) (Це може допомогти прочитати Примітку на початку рішення частини (c) перед спробою частин (c), (d).)

(i) Доведіть шляхом індукції, що$\frac{\mathrm{}}{}$

$\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{\mathit{п}!}⩽2.75-\frac{1}{\mathit{п}.\mathit{п}!}$для всіх$$п⩾2.

(ii) Використовуйте частину (i), щоб зробити висновок, що нескінченна сума

$\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{\mathit{п}!}+\cdots$(на віки віків)

може бути присвоєно певне значення «е», і що це значення лежить десь між 2,6 і 2,75.

(d) (i) Доведіть шляхом індукції, що

$\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{\mathit{п}!}⩽2.722\cdots (\mathrm{навіки})-\frac{1}{\mathit{п}.\mathit{п}!},$кучерявийпн⩾3.

(ii) Використовуйте частину (i), щоб зробити висновок, що нескінченна сума

$\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{\mathit{п}!}+\cdots$(на віки віків)

може бути присвоєно певне значення «е», і що це значення лежить десь між 2.708 і 2.7222... (назавжди).

Закінчуємо цей розділ ще однією нерівністю в дусі цього розділу, і двома досить різними нерівностями, значення яких стане зрозумілим пізніше.

Проблема 249 Доведіть індукцією, що

$\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots +$1п⩾п, для всіх$$п⩾1.

Задача 250 Нехай a, b бути дійсними числами такими, що$\mathit{a}\ne \mathit{б}$, і$\mathit{a}+\mathit{б}>0$. Доведіть індукцією, що

$2^{\mathit{п}-1}\left({\mathit{a}}^{\mathit{п}}+\right)$бп⩾(a+б)п, для всіх$$п⩾1.

Проблема 251 Нехай x буде будь-яким дійсним числом$⩾-1$. Доведіть індукцією, що

$(1+\mathit{х}{)}^{}$п⩾1+нх, для всіх$$п⩾1