6.4: Нескінченна геометрична серія

Last updated
Save as PDF

Page ID: 65936

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Елементарна математика переважно стосується рівнянь і тотожностей. Але часто неможливо захопити важливі математичні відносини у вигляді точних рівнянь. Це одна з причин, чому нерівності стають більш центральними в міру прогресу; інша причина полягає в тому, що нерівності дозволяють нам робити точні твердження про певні нескінченні процеси.

Один з найпростіших нескінченних процесів виникає в формулі «суми» нескінченного геометричного ряду:

$1 + р + р^{2} + р^{3} + \dots + р^{п} + \dots$ (назавжди).

Незважаючи на використання звичних на вигляд знаків «+», це не може бути звичайним доповненням. Звичайне додавання визначається для двох доводів; і, повторюючи процес, ми можемо додати три доповнення (частково завдяки асоціативному закону додавання). Потім ми можемо додати чотири, або будь-яке кінцеве число доданих. Але це не дозволяє «додавати» нескінченно багато термінів, як у вищевказаній сумі. Щоб обійти це, ми поєднуємо звичайне додавання (з скінченно багатьох термінів) і прості нерівності, щоб знайти новий спосіб надання сенсу вищезгаданої «нескінченної суми». У задачі 116 ви використали факторинг

$р^{п + 1} - 1 = (р - 1) (1 + р + р^{2} + р^{3} + \dots + р^{п})$

вивести замкнуту формулу:

$1 + р + р^{2} + р^{3} + \dots + р^{п} = \frac{1 - р^{п + 1}}{1 - р}$ .

Цю формулу для суми скінченного геометричного ряду можна переписати у вигляді

$1 + р + р^{2} + р^{3} + \dots + р^{п} = \frac{1}{1 - р} - \frac{р^{п + 1}}{1 - р}$

На перший погляд, це може не виглядати розумним ходом! Однак він відокремлює частину, яка не залежить від n, від частини на RHS, яка залежить від n; і це дозволяє нам побачити, як поводиться друга частина, коли n стає великим:

коли $| р | < 1$ , послідовні повноваження r стають все меншими і меншими і швидко сходяться до 0,

тому вищевказана форма ідентичності може бути інтерпретована як має форму:

$1 + р + р^{2} + р^{3} + \dots + р^{п} = \frac{1}{1 - р}$ — («термін помилки»).

Більш того, якщо $| р | < 1$ , то «термін помилки» сходиться до 0 як $п \to \infty$ . Зокрема, якщо $1 > р > 0$ , термін помилки завжди позитивний, тому ми довели, для всіхп⩾1:

$1 + р + р^{2} + р^{3} + \dots + р^{п} < \frac{1}{1 - р}$

різниця між двома сторонами швидко прагне до 0 як $п \to \infty$ .

Потім ми робимо природний (але сміливий) крок, щоб інтерпретувати це, коли $| р | < 1$ , як пропонує нове визначення, яке саме пояснює, що мається на увазі під нескінченною сумою

$1 + р + р^{2} + р^{3} + \dots$ (на віки віків),

заявляючи, що, коли $| р | < 1$ ,

$1 + р + р^{2} + р^{3} + \dots$ (на віки віків) = $\frac{1}{1 - р}$ .

Більш загалом, якщо ми помножимо кожен член на a, ми бачимо, що

$a + ар +$ ар2+ар3+⋯(на віки віків) = $\frac{a}{1 - р}$ .

Задача 243 Інтерпретувати повторюване десяткове число 0.037037037 ··· (назавжди) як нескінченний геометричний ряд, і, отже, знайти його значення як дріб.

Задача 244 Інтерпретувати наступні нескінченні процеси як нескінченні геометричні ряди.

(а) Квадратний пиріг розрізають на чотири чверті, з двома перпендикулярними розрізами через центр, паралельні бокам. Три людини отримують по одній чверті кожен - залишаючи менший квадратний шматок торта. Цей менший шматок потім розрізається таким же чином на чотири чверті, і кожна людина отримує по одному (ще меншому) шматочку - залишаючи ще менший залишковий квадратний шматок, який потім ріжеться таким же чином. І так на віки віків. Яку частку оригінального торта отримує кожна людина в результаті цього нескінченного процесу?

(б) Я даю вам цілий торт. Через півхвилини ви віддаєте мені половину торта назад. Через чверть хвилини повертаю вам одну чверть торта. Через одну восьму частину хвилини ви повертаєте мені одну восьму частину торта. І так далі. Складаючи послідовні часові інтервали, ми бачимо, що

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots$ (назавжди) = 1,

так весь процес завершується рівно за 1 хвилину. Скільки торта у мене в кінці, і скільки у вас?

Проблема 245 Коли Джон фон Нейман (1903-1957) важко захворів у лікарні, відвідувач намагався (досить безчутливо) відвернути його наступною елементарною математичною задачею.

Ви чули той, що про два потяги і льоту? Два поїзди знаходяться на курсі зіткнення на одній трасі, кожен зі швидкістю 30 км/год, супер-політ починається на поїзді А, коли поїзди знаходяться на відстані 120 км один від одного, і летить з постійною швидкістю 50 км/год - від поїзда А до поїзда B, потім назад до поїзда А і так далі. Врешті-решт два поїзди стикаються, і муха роздавлюється. Як далеко подорожувала муха до цього сумного результату?