6: нескінченність - рекурсія, індукція, нескінченний с
- Page ID
- 65916
Математична індукція - тобто доказ повторенням -... нав'язується нам, тому що це... твердження властивості самого розуму.
Анрі Пуанкаре (1854—1912)
Аллез ан авант, et la foi vous viendra. (Натисніть на вперед, і розуміння піде.)
Жан ле Ронд д'Аламбер (1717—1783)
Математика отримала назву «наука про нескінченність». Однак нескінченність - поняття слизьке, і багато прийомів, характерних для сучасної математики, були розроблені саме для того, щоб приборкати цю слизькість. Цей розділ знайомить з деякими відповідними ідеями та прийомами.
Є аспекти історії нескінченності в математиці, які ми не будемо розглядати. Наприклад, астрономи, які вивчають нічне небо та руху планет і зірок, незабаром відзначають його неосяжність, і його, мабуть, «фрактальну» природу - де збільшення деталізації або збільшення виявляє більш-менш однаковий рівень складності в різних масштабах. І важко тоді уникнути питання про те, чи є зоряний всесвіт скінченною чи нескінченною.
У ментальному всесвіті математики, один раз підрахунок, і процес вдвічі, стають рутинно ітераційними процесами, питання про нескінченність і нескінченності практично неминучі. Однак математика визнає концептуальну прірву між скінченним і нескінченним (або нескінченно малим) і відкидає ліниве використання «нескінченності» як метафори для того, що просто «дуже велике». Великі кінцеві числа все ще є числами; і довгі кінцеві суми концептуально сильно відрізняються від сум, які «продовжуються назавжди». Дійсно, в третьому столітті до нашої ери Архімед (бл. 287—212 рр. До н.е.) написав невелику брошуру під назвою «Пісочний розплата», присвячену царю Гелону, в якій він ввів арифметику сил (хоча стародавні греки не мали зручних позначень для написання таких чисел), щоб продемонструвати, що — всупереч тому, що стверджували деякі люди - кількість пісок у відомому Всесвіті повинна бути кінцевою (він вивів верхню межу приблизно 8 × 10 63 Вплив, яким володіють ідеї нескінченності на математику, був глибоким, навіть якщо ми зараз розглядаємо деякі з цих ідей як польоти фантазії -
- від Зенона Елейського (c. 495 р. До н.е. — c. 430 до н.е.), який представив свої парадокси, щоб виділити небезпеки, притаманні міркуванню недбало з нескінченністю,
- через Джордано Бруно (1548—1600), який заявив, що населених всесвітів нескінченно багато, і який був спалений на вогнищі, коли він відмовився втягнути цю та інші «єресі»,
- Георга Кантора (1845—1918), новаторська робота якого у розробці справжньої «математики нескінченності» була нерозривно пов'язана з його релігійними віруваннями.
На відміну від цього, ми зосереджуємося тут на принадах математики, і, зокрема, на тому, як початковий отвір у «ідеї нескінченності» можна підробити з ретельного міркування з кінцевими сутностями. Читачі, які хотіли б вивчити те, що ми передаємо мовчки, могли б зробити гірше, ніж почати з есе на тему «нескінченність» в архіві історії математики MacTutor:
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Infinity.html.
Найпростіші нескінченні процеси починаються з рекурсії — процесу, де ми повторюємо точно таку ж операцію знову і знову (в принципі, продовжуючи назавжди). Наприклад, ми можемо почати з 0 і повторити операцію «додати 1», щоб згенерувати послідовність:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...
Або ми можемо почати з 2 0 = 1 і повторити операцію «помножити на 2», щоб згенерувати:
Або ми можемо почати з 1.000000, і повторити кроки, що беруть участь в «ділення на 7», щоб генерувати нескінченне десяткове для:
Потім ми можемо змінити цю ідею «рекурсії», дозволяючи кожній операції бути «по суті» (а не точно) такою ж, як коли ми визначаємо трикутні числа шляхом «додавання n» на n -му етапі для генерації послідовності:
Іншими словами, послідовність трикутних чисел визначається співвідношенням повторення:
і
коли
Ми можемо змінити цю ідею далі, дозволивши більш складні відносини повторення - такі, які визначають числа Фібоначчі:
і
колиF п - 1 .
Всі ці «образи нескінченності» повертаються до звичного підрахунку чисел.
- Ми знаємо, як починаються числа підрахунку (з 0 або з 1); і
- ми знаємо, що ми можемо «додати 1» знову і знову, щоб отримати все більші числа підрахунку.
Інтуїція, що цей процес, в принципі, нескінченний (так ніколи насправді не завершується), але якимось чином вдається підрахувати всі позитивні цілі числа, - це те, що Пуанкаре назвав «властивістю самого розуму»: тобто ідеєю, що ми можемо визначити нескінченну послідовність, або процес, або ланцюжок відрахувань (за участю цифр, або чисел, або об'єктів, або тверджень, або істини)
- вказуючи, як це починається, і до того часу
- вказуючи єдиним способом «як побудувати наступний член», або «як виконати наступний крок».
Ця ідея полягає в тому, що лежить за «доказом математичної індукції», де ми доводимо, що деяке твердження P (n) має місце для всіх— так демонструючи нескінченно багато окремих висловлювань одним ударом. Обґрунтованість цього методу доказування залежить від фундаментальної властивості натуральних чисел, або послідовності підрахунку
а саме:
Принцип математичної індукції: Якщо підмножина S з натуральних чисел
- містить ціле число «1»
і має властивість, яка - всякий раз, коли в множині S знаходиться ціле число k, то наступне цілезавжди в S теж,
то S містить всі натуральні числа.