3: Проблеми зі словом
- Page ID
- 65957
Всі докази говорять про те, що форми реальності математичні.
Джордж Штайнер (1929—)
Попередній розділ зосереджувався на аспектах арифметики чистих чисел - переважно без будь-якого навколишнього контексту. Однак наш математичний досвід починається не з чистих чисел. На шкільному рівні математичні концепції та міркування, які ми доводимо до розуміння та використання, мають своє коріння в мові. І в реальному житті кожне застосування математики починається з ситуації, яка описується словами, і яку потрібно переформулювати математично, перш ніж ми зможемо розрахувати і робити змістовні математичні висновки. Проблеми зі словами відіграють важливу, якщо обмежену, роль у допомозі студентам цінувати та обробляти тонкощі, пов'язані з
мистецтво використання математики, яку ми знаємо,
вирішувати проблеми, наведені словами.
Це мистецтво використання математики включає два різних - але взаємодіючих - процеси, які ми називаємо тут «спрощенням» та «розпізнаванням структури».
- Щоб ідентифікувати математичне серце проблеми, що виникає в реальному світі, спочатку потрібно спростити - тобто бічні деталі, які здаються неважливими або неактуальними, а потім максимально спростити, не змінюючи основну проблему (наприклад, замінивши якусь незручну особливість за різною величиною, яку легше виміряти, або наближенням, з яким легше працювати).
Цей «спрощуючий» етап добре ілюструється назвою «язик-в-щока» класичного підручника Розглянемо сферичну корову... Джон Харт (1985):
Виробництво молока на молочній фермі було низьким, тому [...] була зібрана багатопрофільна команда професорів. [...] Після] двох тижнів інтенсивного дослідження на місці [...] фермер отримав запис і відкрив його, щоб прочитати [...] «Розглянемо сферичну корову.».
Тут слід підкреслити, що судження, необхідні при «спрощенні», є тонкими, залежать від розуміння конкретної ситуації, що моделюється, і можуть призвести до моделі, яка на перший погляд здається неінтуїтивною, але яка може бути не такою дурною, як здається, - і яка, отже, повинна бути пояснюється чуйно до нематематиків.
На відміну від слів, завдання обходять етап «спрощення» і зосереджуються замість цього на «розпізнаванні структури»: вони представляють вирішувачу задачу, яка вже по суті математична, але де внутрішня структура контекстуалізована і описується словами. Все, що вирішувач повинен зробити, це інтерпретувати словесний опис таким чином, що витягує структуру безпосередньо під поверхнею, і перевести її в звичну математичну форму. Тобто, проблеми слова призначені для розробки об'єкта з процесом «розпізнавання структури», уникаючи при цьому ускладнення очікуючи, що студенти зроблять моделювання суджень такого роду, що вимагається тонким «спрощуючи» процес.
Оскільки проблеми слів зосереджуються на другому процесі «розпізнавання структури», вони, як правило, включають відповідну математичну структуру ізоморфічно. Основну структуру все ще потрібно ідентифікувати та інтерпретувати, але інтерпретації, ймовірно, будуть стандартними, без необхідності образних припущень та спрощень, перш ніж структура може бути розрізнена. Наприклад, якщо проблема в початковій школі стосується невідомого числа «солодощів», які будуть «ділитися» між шістьма дітьми, то колекція «солодощів» ізоморфна до чистого числа (кількості солодощів); а акт «спільного використання» - тонко завуальована посилання на числовий поділ.
Розповідь у проблемі слова може бути чисто математичною задачею в маскуванні. Але мистецтво виявлення відповідності між
дані, наведені в сюжетній лінії, і
математичні сутності, яким вони відповідають і
і між
дії в сюжетній лінії, і
відповідні математичні операції над цими математичними сутностями
є нетривіальним, і повинен бути вивчений важким шляхом. Перша задача нижче ілюструє чудову різноманітність примірників навіть найпростішого віднімання, або різниці.
Як і в розділах 1 і 2, «суть математики» полягає в самих проблемах. Деяке обговорення цієї «суті» представлено в тексті між проблемами; але більшість відповідних спостережень можна знайти або в рішеннях (або в Примітках, які слідують за багатьма рішеннями), або залишаються для читачів, щоб витягти для себе.