9.3: Факти про порівняння дробів
- Page ID
- 67000
Припустимо, a і c - цілі числа, а b і d - підрахунок чисел.
Два дроби, a/b і c/d, еквівалентні тоді і тільки тоді, коли ad = bc. Іншими словами,
\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow ad = bc \nonumber \]
Примітка:\(\Leftrightarrow\) означає «якщо і тільки якщо», тому якщо ad = bc, то два дроби a/b і c/d еквівалентні, і навпаки. Використання цього методу для визначення рівнозначності двох фракцій називається порівнянням перехресних добутків.
Приклади: Визначте, чи є наступні твердження істинними чи хибними, порівнюючи перехресні продукти. Створіть, чи є пара дробів еквівалентною чи ні.
6/8 = 9/12
Рішення
Починаючи з 6\(\cdot\) 12 = 8\(\cdot\) 9, твердження вірно. Тому 3/4 і 9/12 - еквівалентні дроби.
15/24 = 10/18
Рішення
Починаючи з 15\(\cdot\) 18\(\neq\) 24\(\cdot\) 10, твердження є помилковим. Тому 15/24 і 10/18 не є еквівалентними дробами.
Визначте, чи є наступні твердження істинними чи хибними, порівнявши перехресні продукти. Створіть, чи є пара дробів еквівалентною чи ні. Покажіть свою роботу і міркування.
а. 14/25 = 28/50
б. 25/35 = 10/14
в. 12/16 = 25/40
Основний закон дробів:
Для будь-якого раціонального числа a/b і будь-якого цілого числа c, a/b = ac/bc. Дроби a/b і ac/bc називаються еквівалентними дробами.
Запишіть п'ять еквівалентних дробів для кожного заданого дробу:
а. 2/3: __________________________________________________________
б. 5/7: __________________________________________________________
c. 3/8: ______________________________________________________________
Два дроби, a/b і c/d, еквівалентні тоді і тільки тоді, коли чисельники рівні після написання кожного дробу із загальним знаменником.
Визначте, чи є наступні твердження істинними чи хибними. Створіть, чи є пара дробів еквівалентною чи ні.
6/8 = 9/12
Рішення
Запишіть кожен дріб загальним знаменником 24, застосовуючи основний закон дробів: 6/8 = 18/24, а 9/12 = 18/24. Оскільки чисельники рівні, коли кожен дріб пишеться загальним знаменником, 6/8 і 9/12 еквівалентні.
15/24 = 10/18
Рішення
Запишіть кожен дріб загальним знаменником 72, застосовуючи основний закон дробів: 15/24 = 45/72, і 10/18 = 40/72. Оскільки чисельники не рівні, коли кожен дріб записується спільним знаменником, 15/24 і 10/18 не є рівнозначними.
Визначте, чи є наступні твердження істинними чи хибними, написавши кожен дріб загальним знаменником. Створіть, чи є пара дробів еквівалентною чи ні. Покажіть свою роботу і міркування.
а. 14/25 = 28/50
б. 25/35 = 10/14
в. 12/16 = 25/40
Дріб, а/б, знаходиться в найпростішому (зменшеному) вигляді, якщо GCF (a, b) = 1.
Одним із способів спрощення дробів є простий множник чисельник і знаменник, а потім «скасування» будь-яких загальних факторів. Інший спосіб -
(1) знайти GCF чисельника і знаменника,
(2) перепишіть як чисельник, так і знаменник як добуток GCF (a, b) та інший коефіцієнт, а потім
(3) «скасувати» будь-які загальні фактори. Коли ви скасуєте все з чисельника та/або знаменника, завжди є множник 1, який все ще є.
Напишіть 315/350 в найпростішому вигляді, використовуючи кожен з двох описаних способів.
Спосіб 1: Просте факторизація:\[\frac{315}{350} = \frac{3 \times 3 \times 5 \times 7}{2 \times 5 \times 5 \times 7} = \frac{9}{10} \nonumber \]
Спосіб 2: ГКФ (315, 350) = 35:\[\frac{315}{350} = \frac{9 \times 35}{10 \times 35} = \frac{9}{10} \nonumber \]
Запишіть кожен дріб в найпростішому вигляді, використовуючи кожен з двох способів:
(1) основна факторизація та
(2) знаходження GCF, як показано в попередньому прикладі.
Показати фактичну факторизацію для кожного методу, а потім звести до найнижчих термінів.
а. метод 1:\(\frac{378}{675}\)
Спосіб 2:\(\frac{378}{675}\)
б. спосіб 1:\(\frac{247}{323}\)
Спосіб 2:\(\frac{247}{323}\)
Два дроби, a/b і c/d, еквівалентні, якщо два дроби рівні, коли обидва вони записані в найпростішому вигляді.
Приклади: Визначте, чи є такі твердження істинними чи хибними. Створіть, чи є пара дробів еквівалентною чи ні.
6/8 = 9/12
Рішення
У найпростішому вигляді 6/8 = 3/4, а 9/12 = 3/4. Тому 6/8 і 9/12 еквівалентні.
15/24 = 10/18
Рішення
У найпростішому вигляді 15/24 = 5/8, а 10/18 = 5/9. Тому 15/24 і 10/18 не є рівнозначними.
35. Визначте, чи є наступні твердження істинними чи хибними, написавши кожен дріб у найпростішій формі. Створіть, чи є пара дробів еквівалентною чи ні. Покажіть свою роботу і міркування.
а. 14/25 = 28/50
б. 25/35 = 10/14
в. 12/16 = 25/40
Нижче наведено спосіб порівняння двох нерівних дробів за допомогою перехресних добутків.
\[ \begin{aligned} \frac{a}{b} < \frac{c}{d} \Leftrightarrow ad < bc && \text{ and } && \frac{a}{b} > \frac{c}{d} \Leftrightarrow ad > bc \end{aligned} \nonumber \]
Коли ви пишете дроби, a/b < c/d, a - перше записане число, а d - останнє записане число. a і d називаються крайнощами (зовнішні числа, коли записуються як a/b < c/d), а їх твір записується зліва від знака нерівності, коли ви берете перехресні добутки. Інші два числа, b і c, називаються засобами (якщо записані як a/b < c/d, це внутрішні числа), і їх твір пишеться праворуч від знака нерівності, коли ви берете перехресні продукти. Можливі лише три випадки при порівнянні двох дробів, a/b і c/d. або перший дріб (a/b) дорівнює другому (c/d), в цьому випадку ad = bc; перший (a/b) менше другого (c/d), в цьому випадку ad < bc; or the first (a/b) is more than the second (c/d), in which case ad > bc.
Порівняйте 2/5 і 3/7, використовуючи крос-продукти.
Рішення
Множимо крайності (2 і 7) і ставимо зліва. Множимо кошти (5 і 3) і ставимо праворуч. Порівняйте продукти.
Починаючи з 2\(\cdot\) 7 < 5\(\cdot\) 3, то 2/5 < 3/7.
Порівняйте 6/7 і 5/6, використовуючи крос-продукти.
Рішення
Помножте зовнішні цифри (6 і 6) і поставте зліва. Множимо внутрішні числа (7 і 5) і ставимо праворуч. Порівняйте продукти.
Починаючи з\(\cdot\) 6 6 > 7\(\cdot\) 5, потім 6/7 > 5/6.
Використовуйте перехресні продукти для порівняння кожної з наступних фракцій. Використовувати < or >.
| а. 4/5 і 5/8 | б. 12/35 і 11/18 | в. 13/15 і 14/17 |
На початку цього набору вправ ви порівняли кілька дробів за допомогою кола дробів та масиву дробів. Однією з проблем було порівняти 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/8, 1/9, 1/10 і 1/12, і поставити їх у порядку від найменшого до найбільшого, використовуючи символ менше, ніж.
Відповідь була: 1/12 < 1/10 < 1/9 < 1/8 < 1/6 < 1/5 < 1/4 < 1/3 < 1/2
Це можна легко перевірити за допомогою крос-продуктів. Ви можете перевірити по одному: 1/12 < 1/10 з 10 < 12, і 1/10 < 1/9, тому що 9 < 10 і т.д.
Перевірте дійсність відповіді, яку ви отримали за вправу 9а. Напишіть відповідь. Потім перевіряють за допомогою перехресних виробів.
Перевірте дійсність відповіді, яку ви отримали за вправу 9б. Напишіть відповідь. Потім перевіряють за допомогою перехресних виробів.
Додавання та віднімання дробів
Для того щоб додати або відняти дроби, дроби повинні мати спільний знаменник. Нижче наведено правило додавання або віднімання дробів, які мають спільний знаменник.
\[ \begin{aligned} \frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b} && \text{ and } && \frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a-c}{b} \end{aligned} \nonumber \]
Для того, щоб додати дроби, які не мають спільного знаменника, необхідно спочатку переписати кожен дріб як еквівалентний дріб так, щоб обидва дроби мали спільний знаменник, АБО ви можете використовувати наступне правило для додавання дробів.
\[\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd} \nonumber \]
Примітка: Якщо ви збираєтеся додавати дроби, переписуючи кожен дріб загальним знаменником, зазвичай краще знайти найменш спільний знаменник, який є найменш загальним кратним з двох знаменників. Незалежно від того, чи робите ви це чи ні, ви завжди повинні писати відповідь у простій формі після додавання або віднімання.
Множення двох дробів
Правило множення двох дробів полягає в тому, щоб помножити чисельники разом, щоб отримати новий чисельник, і помножити знаменники разом, щоб отримати новий знаменник.
\[ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \nonumber \]
Простіше спочатку «скасувати» будь-які загальні коефіцієнти перед множенням. Це можна зробити шляхом першого простого факторингу чисельників і знаменників, і записуючи в чисельник дробу всі множники чисельника, і всі множники знаменника в знаменник дробу. Потім скасуйте будь-які загальні коефіцієнти перед множенням. Якщо зробити це, то дріб вже буде в найпростішому вигляді.
Ділення двох дробів
Щоб зрозуміти правило ділення двох дробів, подивіться, чи можете ви слідувати міркуванням нижче.
\[\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} \cdot \frac{\frac{d}{c}}{\frac{d}{c}} = \frac{\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}}{\frac{c}{d} \cdot \frac{d}{c}} = \frac{\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}}{1} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \nonumber \]
Правило ділення двох дробів таке: ділення на дріб таке ж, як множення на зворотне цього дробу. Потім скористайтеся правилом для множення, як тільки що пояснено.
\[\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \nonumber \]
Обчисліть кожне з наступних дій, використовуючи порядок операцій. Напишіть кожну відповідь найпростішими словами. Показати всі роботи.
а.\[ \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} - \frac{5}{6} \div \frac{7}{3} \nonumber \]
б.\[\frac{5}{6} \div \frac{4}{5} + \frac{5}{6} \left( \frac{1}{3} - \frac{2}{5}\right) \nonumber \]
На відміну від цілих чисел, між будь-якими двома раціональними числами нескінченно багато раціональних чисел. Не має сенсу говорити про два послідовних раціональних числах. Наприклад, між 4/9 і 5/9 існує нескінченно багато раціональних чисел. Один простий спосіб перерахувати декілька - написати еквівалентні дроби для 7/9 та 8/9. Простим спільним знаменником буде 90, тому подивіться на 70/90 і 80/90. Легко побачити ці раціональні числа між 70/90 і 80/90:71/90, 72/90, 73/90, 74/90, 75/90, 76/90, 77/90, 78/90, 79/90, 79/90. Звичайно, якби я вибрав еквівалентні дроби з більшим знаменником (900 або 900 000 тощо), ви легко зможете перерахувати багато більш раціональних чисел між 7/9 та 8/9.
Якщо ви хотіли перерахувати лише одне раціональне число між 7/9 та 8/9, ви можете вибрати одне з них із наведеного вище списку, або ви можете просто знайти середню точку (або середню) з двох. Щоб знайти середнє значення будь-яких двох чисел, складіть і діліть на 2. Оскільки ділення на 2 - це те ж саме, що і множення на половину, складіть і помножте на половину. Зверніть увагу, що середнє значення 7/9 і 8/9 становить 1/2 (7/9 + 8/9) = 1/2 (15/9) = 15/18 або 5/6.
Знайдіть 5 раціональних чисел, записаних спільним знаменником, між 2/5 і 3/5.
Знайдіть середнє значення 5/11 і 6/11.
Знайти середнє значення 3/7 і 4/7
Якщо вас попросять знайти кілька раціональних чисел між двома раціональними числами, які не мають спільного знаменника, спочатку слід переписати кожен дріб як еквівалентні дроби, що мають спільний знаменник. Наприклад, щоб знайти 4 раціональних числа між 4/7 і 5/6, спочатку перепишіть 4/7 і 5/6 із загальним знаменником 42:24/42 та 35/42. В цьому випадку легко знайти 4 раціональних числа між 4/7 і 5/6:25/42, 26/42, 27/42 і т.д.
Ось ще один: Знайдіть 5 раціональних чисел від 3/4 до 4/5. Спочатку перепишіть 3/4 і 4/5 із загальним знаменником 20:15/20 і 16/20. Потім знайдіть еквівалентні дроби з більшим знаменником, ніж 20:150/200 та 160/200 - це простий вибір, хоча ви могли б вибрати 90/120 та 96/120. У будь-якому випадку варіантів нескінченно багато. Я, напевно, вибрав би 151/200, 152/200, 153/200, 154/200 і 155/200.
Знайдіть 3 раціональних числа, записаних спільним знаменником, між 1/3 і 2/5.
Знайдіть 3 раціональних числа, записаних спільним знаменником, між 1/2 і 1/3. (Будьте обережні: яке число менше, а яке більше?)
Знайдіть 5 раціональних чисел, записаних спільним знаменником, між 5/6 і 4/5.
(Будьте обережні: яке число менше, а яке більше?)
Знайдіть середнє значення 5/8 і 6/7.
Знайдіть середнє значення 5/7 і 5/8.
Тепер ми попрацюємо над деякими проблемами слів, де ми можемо використовувати значення дробів, щоб легко вирішити проблеми. Ми будемо використовувати дробові кола як маніпулятори.
Проблема: Одного разу 24 моїх учнів прийшли на заняття. Це представляло лише 3/4 моїх учнів. Скільки учнів було зараховано до класу? Скільки було відсутнє?
Рішення: Ми знаємо, що 24 - це 3/4 від загальної кількості учнів у класі. Це означає, що 4/4 складає всіх учнів. Дістаньте коло дробу, де 4 рівні частини складають ціле. Ви знаєте, що три з цих частин представляють 24 студентів. Якщо 3 з цих частин представляють 24 учня, то кожна з рівних частин представляє 8 учнів. Оскільки 4 рівні частини представляють собою весь клас, то їх повинно бути 8 · 4, або 32 учні, що навчаються. Одна з рівних частин представляє відсутніх учнів, тому 8 учнів відсутні.
Ви також можете показати це наочно - замість кіл дробів ви бачите кола.
| Крок 1:4 рівні частини складаємо ціле. |
 |
| Крок 2:3 рівні частини, або 3/4, представляє 24 учнів. Частина, що залишилася, представляє 1/4 учнів. |
 |
| Крок 3: Якщо ці три кола представляють 24, то 8 повинні бути в кожному колі. Тепер зрозуміло, що в класі 32 учні, а 8 відсутні. |
 |
Зображення на кроці 3 - це те, як виглядає остаточна картина.
Ось ще один приклад. 14 вчителів були відсутні одного дня. Це 2/11 вчителів, які працюють у школі. Скільки вчителів працює в школі? Оскільки 11 рівних частин складають ціле, а 2 з цих частин представляють 14, то кожна з 11 рівних частин представляє 7 вчителів. Так, 11 рівних частин представляють 77 вчителів.
Ось ще один приклад:
Одного разу 7/9 людей у місцевому бізнесі прийшли на роботу. Там працювало 36 осіб. Скільки людей прийшло на роботу?
Спочатку, так як 9 рівних частин складають ціле, намалюйте 9 кіл. Ви знаєте, 7 з них представляють 7/9 і 2 з них представляють 2/9. Ви також знаєте, що загальна дорівнює 36, а це означає, що 4 йде в кожну рівну частину. Тому 28 прийшли на роботу, а 8 - ні. Ось картинка:
Для кожної з наступних проблем слів намалюйте модель, подібну до попередніх двох прикладів, щоб вирішити проблему. Ви можете використовувати дробові кола, а також.
66 учнів у моєму класі здали перше випробування. Це представляє 11/12 моїх учнів. Скільки студентів не здало?
36 учнів першого класу одного разу принесли ланчбокс до школи. Це було 3/7 першокласників. Скільки не купив обід?
У мене 120 студентів цього семестру. 5/8 моїх студентів - жінки. Скільки жіночої статі і скільки чоловічої статі?
Складіть слово завдання для вирішення за допомогою дробів. Переконайтеся, що ви задали питання. Тоді вирішуйте проблему за допомогою моделей. Поясніть, як працює модель.
Напишіть слово завдання тут:
Вирішити проблему можна за допомогою моделей тут: