8.3: LCM та інші теми

Вам знадобиться: Квадрати простих чисел (Матеріальні картки 19A-19B)

Складене число квадратів (матеріал карти 20A-20B)

Існує кінцева кількість факторів для будь-якого заданого числа. З іншого боку, існує нескінченна кількість ненульових кратних числу. Наприклад, список кратних 2 - це всі парні числа. Перерахувати їх усіх неможливо, тому що це нескінченний набір. Кратне числу c дорівнює nc, де n - ціле число. Іншими словами, щоб знайти кратне c, помножте c на ціле число. Хоча 0 кратне кожному числу, ми зазвичай не перераховуємо його як кратне. Тут перераховані (ненульові) кратні 6:6, 12, 18, 24, 30, 36, 42,...

Щоб перерахувати кратні числу, ви починаєте з самого числа, потім число раз 2, потім число раз 3 і т.д. так як множення повторюється додавання, ви можете повторно додати число, щоб отримати наступний кратний.

Вправа 1

a Перерахуйте перші 10 кратних 8:

б Перерахуйте перші 10 кратних 12:

c. зі списку, який ви створили у частинами a та b, перерахуйте множники, які мають спільні 8 та 12:

d З частини c, що є найменшим кратним, що 8 і 12 мають спільного?

е Чи є найбільший спільний кратний, який 8 і 12 мають спільне? Це так, що це таке? Перш ніж відповісти, пам'ятайте, що в a і b ви перерахували лише перші 10 кратних 8 і 12.

Так само, як і з найбільшим загальним фактором (GCF), багато людей насправді не думають про те, що НАЙМЕНШ ЗАГАЛЬНИЙ МНОЖИННИЙ означає. Кожне число має нескінченну кількість кратних. Кожен набір чисел має нескінченну кількість кратних. НАЙМЕНШИЙ ЗАГАЛЬНИЙ МНОЖИННИЙ - це найменший кратний, який вони мають спільного.

У вправі 1 пишемо НКМ (8, 12) = 24. Порядок чисел в дужках не має значення. Отже, НКМ (8, 12) = НКМ (12, 8). Це НЕ впорядкована пара. Також ви можете знайти найменш поширене кратне великого набору чисел. Незабаром ви дізнаєтеся, як легко знайти найменш поширене кратне декількох чисел; наприклад, LCM (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10). У цьому випадку перерахування декількох кратних кожного з цих чисел, поки ви не знайдете найменший з них, який є спільним, не є ефективним способом його знайти, тому ви будете вивчати інший спосіб знайти його за допомогою простої факторизації.

Вправа 2

a Перерахуйте перші 15 кратних 4:

б Перерахуйте перші 15 кратних 6:

c Перерахуйте перші 15 кратних 10:

d. зі списку, який ви створили в частинами a, b і c, перерахуйте кратні всі три числа (4, 6 і 10) мають спільні:

е. з частини d виконайте наступне: НСМ (4, 6, 10) =

Проблема з спробою знайти найменш поширене множинне таким чином полягає в тому, що вам, можливо, доведеться написати довгий список кратних кожного числа, поки ви, нарешті, не знайдете кратне, яке всі вони мають спільне. Наприклад, якби вас попросили знайти LCM (59,61), ви не знайдете кратне, яке вони мають спільне, поки ви не написали 61 кратне 59 та 59 кратних 61. Це тому, що це прості числа, тому найменш поширеним кратним є їх добуток:\(59 \cdots 61\). Це стосується будь-яких чисел, які також є відносно простими. (Пам'ятайте, що 4 і 15 є відносно простими, хоча жоден з них не є простим.)

Якщо x і y не мають спільних факторів, то GCF (x, y) = 1 і LCM (x, y) = xy.

Також вірно наступне:

Якщо GCF (x, y) = 1, то x і y не мають спільних факторів, а LCM (x, y) = xy.

Якщо LCM (x, y) = xy, то x і y не мають спільних факторів, а GCF (x, y) = 1.

Більш ефективний спосіб знайти найменш поширене кратне набору чисел - знайти просту факторизацію кожного числа, а потім ПОБУДУВАТИ найменш загальне кратне. Вийдіть з просте число квадратів, щоб зробити наступні вправи.

Нижче наведено просту факторизацію трьох чисел, A, B і C.

Нижче наведено, як записати кожне з цих чисел у простій формі факторизації:

\(A = 2 \cdots 3^{2} \cdots 5 \cdots 7\)

\(B = 2^{3} \cdots 5 \cdots 7^{2} \cdots 11\)

\(C = 2^{2} \cdots 3^{2} \cdots 5 \cdots 7 \cdots 11 \cdots 13\)

Один із способів зробити кратний A - просто додати додаткові фактори до факторів A. Примітка: Сам A є кратним A, тому вам не доведеться додавати додаткові фактори, щоб отримати кратний. Існує нескінченна кількість можливостей для кратних A. Нижче наведено три кратні A:

У формі простої факторизації пишеться перший кратний A вище:\(2 \cdots 3^{2} \cdots 5^{3} \cdots 7 \cdots 13\)

Вправа 3

Нижче наведено просту факторизацію числа, B

а Сформуйте число B з простими числами квадратів. Сформуйте кратне B шляхом «кидання» одного або декількох квадратів простих чисел як множників до початкової простої факторизації B, показаної вище. Покажіть зображення кратного B, яке ви сформували.

Напишіть просте факторизацію цього кратного: _____

b Сформуйте число B з простими числами квадратів. Сформуйте кратну B, відмінну від тієї, яку ви сформували в A, шляхом «кидання» одного або декількох квадратів простих чисел як множників до початкової простої факторизації B, показаної вище. Покажіть зображення кратного B, яке ви сформували:

Запишіть просту факторизацію цього кратного B: _____

c Сформуйте число B з простими числами квадратів. Сформуйте ще одне кратне B, «кинувши» один або кілька квадратів простих чисел як множники до початкової простої факторизації B, показаної вище. Запишіть просту факторизацію цього кратного B: _____

Число C показано нижче до середини сторінки. Використовуйте його, щоб зробити вправу 4.

Вправа 4

a Сформуйте число C з простими числами квадратів. Сформуйте кратне C, додавши один або кілька квадратів простих чисел як множників. Напишіть просте факторизацію кратного утвореному вами C:

b Сформуйте число C з простими числами квадратів. Сформуйте інше кратне C, додавши один або кілька квадратів простих чисел як множників. Напишіть просте факторизацію кратного утвореному вами C:

c Сформуйте число C з простими числами квадратів. Сформуйте ще одне кратне C, додавши один або кілька квадратів простих чисел як множників. Напишіть просте факторизацію кратного утвореному вами C:

ПРИМІТКА: X є кратним M, якщо M є множником X. Отже, у вас є кратне числу, якщо прості множники самого числа є множниками в кратному. Це так, ніби ви можете «побачити» число в кратному. Ми збираємося визначити, чи є будь-яке з чисел, показаних праворуч, кратним A, B або C.

Щоб вирішити, чи є X, Y або Z кратними A, подивіться, чи кожен з X, Y або Z має прості множники A як підмножину. Іншими словами, А має один коефіцієнт 2, два множника 3, один коефіцієнт 5 і один множник 7. Будь-яке число, що містить ці фактори, є кратним A. Кратне A може мати більше факторів A, але не може бути відсутнім жодних факторів A.

Вправа 5

a. Перерахуйте будь-яке число праворуч (X, Y та/або Z), кратне A:

б Перелічіть будь-яке число праворуч (X, Y та/або Z), кратне B:

c Перерахуйте будь-яке число праворуч (X, Y та/або Z), кратне C:

Жодне з чисел X, Y або Z не було кратним всім трьом чисел, A, B і C. Числа A, B і C наведені нижче. Нижче наведено лише два приклади кратних, які мають спільні A, B та C.

Вправа 6

Використовуйте квадрати простих чисел, щоб сформувати три інших кратні, які мають спільні A, B і C. Напишіть просту факторизацію кожного з утворених вами кратних.

а. _____

б. _____

c. _____

Тепер ми будемо використовувати просту факторизацію для побудови НАЙМЕНШОГО ЗАГАЛЬНОГО МНОЖИННОГО набору чисел. Найменш поширеним кратним є кратне, що числа мають спільне, але це має найменшу кількість факторів. Утворені вище множники мають 16 і 17 коефіцієнтів відповідно. Щоб побудувати найменш загальне кратне, ми додаємо лише коефіцієнт, якщо це необхідно.

Скажімо, ми хочемо побудувати найменш спільне кратне A, B і C. Для того, щоб бути кратним A, нам потрібно мати фактори A. Отже, ми починаємо будувати кратне, вводячи фактори A:

Фактори B також повинні бути кратними. B має три фактори 2, але поки що є лише один множник 2 у кратному. Отже, загальному кратному знадобиться ще два фактори 2. B має два фактори 7, але поки що є лише один множник 7 у кратному. Отже, загальному кратному знадобиться ще один коефіцієнт 7. В має один коефіцієнт 5, який вже є. B також має один коефіцієнт 11. Тобто там немає, тому треба поставити. Тому два фактори 2, один коефіцієнт 7 і коефіцієнт 11 повинні бути з'єднані з іншими факторами в загальному кратному. Як тільки це буде зроблено, ми побудували найменш загальне кратне A і B:

Прості факторизації A, B і C наведені нижче для вашої зручності.

Ми побудували найменше спільне кратне A і B. Щоб знайти найменш спільне кратне A, B і C, нам потрібно переконатися, що фактори C також є кратними. C має два фактори 2, які вже є кратними, два множники 3, які вже є кратними, один множник кожен з 5, 7 і 11, кожен з яких вже є кратним, і множник 13, який не є кратним. Таким чином, 13 - єдиний фактор, який потрібно з'єднати з факторами, які вже є множинними, які ми будуємо.

Вище є кратним A, B і C. У нас тільки ми побудували кратну, ми насправді побудували НАЙМЕНШ ЗАГАЛЬНИЙ МНОЖИННИЙ A, B і C. Зверніть увагу, що це кратне A, B і C; тому це загальне кратне. Це найменш поширене множинне, тому що якщо будь-який з факторів був видалений, він не буде кратним одному з чисел. Наприклад, якщо множник 2 був видалений, він не буде кратним A. Якщо множник 3 був вилучений, він не був би кратний A або C. Якщо множник 7 був вилучений, він не був би кратний B і т.д. якщо множник 11 був вилучений, він не буде кратним B або C. це не було б кратним C.

Пишемо: НСМ (А, В, С) =\(2^{3} \cdots 3^{2} \cdots 5 \cdots 7^{2} \cdots 11 \cdots 13\)

Вправа 7

Побудуйте найменш поширене кратне A та B, використовуючи квадрати простих чисел. Потім запишіть просту факторизацію найменш спільних кратних A та B. Нехай\(A = 2^{2} \cdots 3^{5} \cdots 5 \cdots 13\) і\(B = 2^{2} \cdots 3^{2} \cdots 7^{3} \cdots 11^{2} \cdots 13\)

LCM (А, Б) = ____

Вправа 8

Побудуйте найменш поширене кратне A, B та C, використовуючи квадрати простих чисел. Потім запишіть просту факторизацію найменш спільних кратних A та B.

Нехай A =\(2^{2} \cdots 11 \cdots 19\) і\(B = 2 \cdots 3^{2} \cdots 7 \cdots 11^{2}\) і\(C = 2^{2} \cdots 3^{4} \cdots 7^{3} \cdots 13^{2} \cdots 19\)

LCM (А, Б, В) = _____

Вправа 9

Побудуйте найменш поширене кратне A, B та C, використовуючи квадрати простих чисел. Потім запишіть просту факторизацію найменш спільних кратних A та B.

Нехай\(A = 2 \cdots 5^{3} \cdots 11 \cdots 19\) і\(B = 2^{4} \cdots 3^{6} \cdots 5^{2} \cdots 23^{2}\) і\(C = 5^{4} \cdots 7^{6} \cdots 11^{2} \cdots 23\)

LCM (А, Б, В) = _____

Озирніться назад на відповідь з вправи 9.

Нехай\(A = 2 \cdots 5^{3} \cdots 11 \cdots 19\) і\(B = 2 \cdots 3^{6} \cdots 5^{2} \cdots 23^{2}\) і\(C = 5^{4} \cdots 7^{6} \cdots 11^{2} \cdots 23\)

Відповідь: НСМ (А, Б, С) =\(2 \cdots 3^{6} \cdots 5^{4} \cdots 7^{6} \cdots 11^{2} \cdots 19 \cdots 23^{2}\)

Якщо числа є простими факторами з використанням експонент, то найменш загальне кратне містить кожен з простих множників, показаних у будь-якому з чисел. Показник на кожному з простих чисел є найвищим показником, виявленим на цьому простому числовому коефіцієнті при простому факторизації чисел.

Наприклад, простими числами у простому факторизації A, B та C є 2, 3, 5, 7, 11, 19 та 23. Отже, почніть з написання добутку цих простих чисел:\(2 \cdots 3 \cdots 5 \cdots 7 \cdots 11 \cdots 19 \cdots 23\)

2 є коефіцієнтом в A і B. Найвища потужність 2 знайдена в будь-якому простому факторизації A і B дорівнює 1. 3 є коефіцієнтом, знайденим у B, як\(3^{6}\). Отже, найвища потужність 3 дорівнює 6. 5 - множник всіх трьох чисел. У А показник на 5 дорівнює 3; в B показник на 5 дорівнює 2; в С показник на 5 дорівнює 4. Отже, найвища потужність 5 дорівнює 4. Аналогічно виконайте те ж саме для всіх інших простих множників. Напишіть найвищий показник на коефіцієнт.

Тому НКМ (А, В, С) =\(2 \cdots 3^{6} \cdots 5^{4} \cdots 7^{6} \cdots 11^{2} \cdots 19 \cdots 23^{2}\)

Вправа 10

Знайдіть найбільший спільний коефіцієнт і найменш спільний кратний для кожного набору чисел, записаних у простій факторизації. Припустимо, a, b, c, d та e - різні прості числа.

а. нехай\(A = 2^{2} \cdots 3^{5} \cdots 5 \cdots 13\) і\(B = 2^{2} \cdots 3^{2} \cdots 7^{3} \cdots 11^{2} \cdots 13\)

ГКФ (А, Б) = ____________________________________________________

ЛСМ (А, Б) = ____________________________________________________

б. нехай\(A = 2^{2} \cdots 11 \cdots 19\) і\(B = 2 \cdots 3^{2} \cdots 7 \cdots 11^{2}\) і\(C = 2^{2} \cdots 3^{4} \cdots 7^{3} \cdots 13^{2} \cdots 19\)

ГКФ (А, Б, В) = __________________________________________________

LCM (А, Б, В) = __________________________________________________

c. нехай\(X = a^{5} \cdots b^{4} \cdots c^{5} \cdots d\) і\(Y = b^{2} \cdots c^{3} \cdots d^{2} \cdots e^{2}\) і\(Z = a^{2} \cdots c^{4} \cdots d^{3} \cdots e^{2}\)

ГКФ (Х, У, З) = __________________________________________________

ЛСМ (Х, У, З) = ______________________________________________________

d. нехай\(X = a^{6} \cdots b^{3} \cdots c \cdots d\) і\(Y = b^{4} \cdots c^{4} \cdots d^{3} \cdots e^{7}\) і\(Z = a^{2} \cdots c^{4} \cdots d^{2} \cdots e^{3}\)

ГКФ (Х, У, З) = __________________________________________________

ЛСМ (Х, У, З) = ______________________________________________________

Поки що було дано просту факторизацію чисел, і все, що вам потрібно було зробити, це побудувати просту факторизацію найменш спільного кратного. Тепер ваша робота буде полягати в тому, щоб спочатку прості множники; тоді ви можете побудувати найменш поширене кратне з простих факторизацій. Зрештою, найменш загальним кратом є число. Помножте коефіцієнти в найменш загальному кратні, щоб знайти одне число, яке є найменш загальним кратним.

Приклад

Знайти найменш поширене кратне 15, 18 і 20

Рішення

Просте множник кожного з цих чисел. \(15 = 3 \cdots 5, 18 = 2 \cdots 3 \cdots 3\), і\(20 = 2 \cdots 2 \cdots 5\)

Побудуйте найменш загальне кратне, спочатку «кинувши» прості множники, які складають просте множник 15; потім «киньте» будь-які прості множники, необхідні для 18; далі «киньте» будь-які прості множники, необхідні для 20. Ми отримуємо

НКМ (15, 18, 20)\(3 \cdots 5 \cdots 2 \cdots 3 \cdots 2 = 2^{2} \cdots 3^{2} \cdots 5\) = 180

Вправа 11

Знайдіть найменш поширені кратні. Показати просту факторизацію кожного числа, і як ви використовуєте його для побудови найменш спільного кратного.

а. НКМ (6, 8, 10) = ______

б. НСМ (25, 35, 40) = ______

с. НСМ (49, 91, 26) = ______

д. НКМ (56, 24, 30) = ______

е. ЛКМ (22, 34, 55) = _____

Зверніть увагу, як легко знайти найменш поширене кратне більшого набору чисел за допомогою простої факторизації. Ми знайдемо: НСМ (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14)

Нам не потрібно чітко записувати просту факторизацію 12 чисел, тому що це досить легко зробити в нашій голові. Наприклад, просте факторизація 4 є\(2 \cdots 2\), просте факторизація 10 є\(2 \cdots 5\), а просте факторизація 13 дорівнює 13.

Ми будуємо LCM 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 і 14, спочатку переконавшись, що просте факторизація 2 є.

Крок 1: Переконайтеся, що основна факторизація 2 є. Поки що LCM: 2

Крок 2: Переконайтеся, що основна факторизація 3 є. Нам потрібно «закинути» 3 в НКМ. Поки що LCM:\(\bf 2 \cdots 3\)

Крок 3: Переконайтеся, що основна факторизація 4 є. Нам потрібно «закинути» 2 до НКМ. Поки що LCM:\(\bf2 \cdots 3 \cdots 2\)

Крок 4: Переконайтеся, що основна факторизація 5 є. Нам потрібно «закинути» 5 до НКМ. Поки що LCM:\(\bf 2 \cdots 3 \cdots 2 \cdots 5\)

Крок 5: Переконайтеся, що основна факторизація 6 є. Нам не потрібно «кидати» будь-який фактор (и) до LCM, тому немає змін до LCM. Поки що LCM:\(2 \cdots 3 \cdots 2 \cdots 5\).

Крок 6: Переконайтеся, що основна факторизація 7 є. Нам потрібно «закинути» 7 в НКМ. Поки що LCM:\(\bf 2 \cdots 3 \cdots 2 \cdots 5 \cdots 7\)

Крок 7: Переконайтеся, що основна факторизація 8 є. Нам потрібно «закинути» 2 до НКМ. Поки що LCM:\(\bf 2 \cdots 3 \cdots 2 \cdots 5 \cdots 7 \cdots 2\)

Крок 8: Переконайтеся, що основна факторизація 9 є. Нам потрібно «закинути» 3 в НКМ. Поки що LCM:\(\bf 2 \cdots 3 \cdots 2 \cdots 5 \cdots 7 \cdots 2 \cdots 3\)

Крок 9: Переконайтеся, що основна факторизація 10 є. Нам не потрібно «кидати» будь-який фактор (и) до LCM, тому немає змін до LCM. Поки що LCM:\(\bf 2 \cdots 3 \cdots 2 \cdots 5 \cdots 7 \cdots 2 \cdots 3\)

Крок 10: Переконайтеся, що основна факторизація 11 є. Нам потрібно «закинути» і 11 до НСМ. Поки що LCM:\(\bf 2 \cdots 3 \cdots 2 \cdots 5 \cdots 7 \cdots 2 \cdots 3 \cdots 11\)

Крок 11: Переконайтеся, що основна факторизація 12 є. Нам не потрібно «кидати» будь-який фактор (и) до LCM, тому немає змін до LCM. Поки що LCM:\(\bf 2 \cdots 3 \cdots 2 \cdots 5 \cdots 7 \cdots 2 \cdots 3 \cdots 11\)

Крок 12: Переконайтеся, що основна факторизація 13 є. Нам потрібно «закинути» 13 в НКМ. Поки що LCM:\(\bf 2 \cdots 3 \cdots 2 \cdots 5 \cdots 7 \cdots 2 \cdots 3 \cdots 11 \cdots 13\)

Крок 13: Переконайтеся, що основна факторизація 14 є. Нам не потрібно «кидати» будь-який фактор (и) до LCM, тому немає змін до LCM. Поки що LCM:\(\bf 2 \cdots 3 \cdots 2 \cdots 5 \cdots 7 \cdots 2 \cdots 3 \cdots 11 \cdots 13\)

Ось і все! Тепер ви створили найменше загальне кратне з усіх 12 номерів! Ви можете перевірити, щоб переконатися, що просте факторизація кожного з 12 чисел дійсно в простому факторизації найменш поширеного множника, який ви побудували. Крім того, якби будь-який з простих множників був видалений, він не був би кратним всім 12 чисел. Тому просте факторизація НКМ виглядає так, як показано нижче:

НКМ (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14) =\(2 \cdots 3 \cdots 2 \cdots 5 \cdots 7 \cdots 2 \cdots 3 \cdots 11 \cdots 13\).

Якщо ці коефіцієнти помножити разом, НКМ (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14) = 360, 360.

Проста факторизація LCM може бути записана з факторами у порядку зростання з використанням показників:\(2^{3} \cdots 3^{2} \cdots 5 \cdots 7 \cdots 11 \cdots 13\)

Вправа 12

Використовуйте просту факторизацію для побудови найменш поширеного кратного. Показувати просту факторизацію у міру побудови числа. Потім помножте фактори, щоб знайти відповідь.

а. НКМ (3, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20) = _______ = _______

б. НСМ (2, 3, 9, 11, 14, 15, 16, 17, 18, 22) = _______ = ________

с. НКМ (5, 6, 7, 8, 12, 14, 15, 17, 18, 25) = _______ = _______

д. НКМ (15, 18, 20, 25, 30, 35, 42, 45) = _______ = _______

Скажімо, ви знаєте, що найбільший загальний коефіцієнт 165 і деяке інше число було 3, а найменш загальне кратне тих же двох чисел було 15,015. Як би ви зрозуміли, що таке інше число?

По-перше, це гарна ідея записати те, що ви знаєте. Нехай N - інше число.

Потім ГКФ (165, Н) = 3 і НКМ (165, Н) = 15,015.

Оскільки 3 є множником, і насправді найбільшим загальним фактором, як 165, так і N, то кожне число може бути записано як 3 рази щось, а інший фактор, який ви отримуєте для 165 повинен бути відносно простим іншим фактором, який ви отримуєте для N, оскільки 3 є найбільшим загальний коефіцієнт 165 і Н.

Отже, перепишемо, LCM (165, N) = 15,015 ось так: LCM (\(3 \times 55\),\(3 \times\) _____) = 15,015

Іншими словами, я знаю N = 3\(\times\) _____, але я повинен з'ясувати, що йде в порожньому вигляді, щоб з'ясувати, що таке N. Якщо ви хочете ввести іншу змінну, як M, замість того, щоб писати порожній, це працює так само добре. Це вирішувати вам.

Щоб знайти LCM\(3 \times 55\) і 3\(\times\) ______, де 55 і число на бланку не мають спільних факторів, ви б помножили\(3 \times 55 \times\) _______. Але ми знаємо, що продукт повинен бути 15,015. Отже, число, яке повинно піти на бланку, має бути 91, так як\(3 \times 55 \times 91 = 15,015\). Отже, тепер ми можемо розібратися, що таке N:\(N = 3 \times 91 = 273\).

Давайте подивимося, якщо це має сенс, спочатку переписуючи 165 і 273 або в просту факторну форму, або як GCF (165 273) раз щось; тоді ми з'ясуємо GCF і LCM з факторної форми, і подивимося, чи згоден він з нашою первісною проблемою.

\(165 = 3 \times 55\)і 273 =\(3 \times 91\). По-перше, переконайтеся, що 3 дійсно коефіцієнт кожного числа!

Тепер переконайтеся, що 3 дійсно є найбільшим загальним фактором 165 і 273, перевіривши, що інший фактор одного числа є відносно простим (немає загальних факторів) з іншим фактором іншого числа. Отже, запитайте себе, якщо 55 та 91 мають спільні фактори (крім 1), якщо ви не впевнені, то спочатку просте множник кожного з цих чисел (\(55 = 5 \times 11\)і\(91 = 7 \times 13\)); зверніть увагу, що вони не мають спільних факторів.

Оскільки 3 є найбільшим загальним коефіцієнтом, то найменш загальне кратне отримується множенням\(3 \times 55 \times 91\), що становить 15,015, що і повинно бути відповідно до вихідної інформації. Тому 273 дійсно було числом, яке ми шукали.

N = 273

Існує ще один спосіб виконати вищевказану проблему за допомогою наступної властивості:

Для будь-яких двох чисел, m та n, завжди вірно наступне:

\(m \times n = GCF(m, n) \times LCM (m, n)\)

Це рівняння невірно для більш ніж двох чисел\(r \times s \times t \neq GCF(r, s, t) \times LCM(r, s, t)\)

Приклад

Перевірте вищевказане властивість для чисел 15 і 18.

Оскільки GCF (15, 18) = 3 і LCM (15, 18) = 90, ми хочемо перевірити, що добуток двох чисел, 15 і 18, дорівнює добутку GCF і LCM двох чисел.

\(15 \cdots 18 = 270\); ГКФ (15, 18)\(\cdots\) НКМ (15, 18) =\(3 \cdots 90 = 270\)

Тому\(15 \cdots 18 =\) ГКФ (15, 18)\(\cdots\) НКМ (15, 18)

Приклад

Показати, що вищевказане властивість не працює для трьох чисел.

Контрприклад: Використовуйте цифри 4, 6 і 8. ГКФ (4, 6, 8) = 2 і НКМ (4, 6, 8) = 24

\(4 \cdots 6 \cdots 8 = 192\); ГКФ (4, 6, 8)\(\cdots\) НКМ (4, 6, 8) =\(2 \cdots 24 = 48\)

Зрозуміло, що\(4 \cdots 6 \cdots 8 \neq\) ГКФ (4, 6, 8)\(\cdots\) НКМ (4, 6, 8)

Приклад

Знайти N, якщо ГКФ (165, Н) = 3 і НКМ (165, Н) = 15,015

У цьому випадку два числа - 165 і N, GCF - 3, а LCM - 15,015. Підключіть ці значення до рівняння, показаного вище, жирним шрифтом.

\(165 N = 3 \times 15,015\). Розділіть обидві сторони на 165, щоб знайти N: N =\(\frac{3 \times 15015}{165} = \) 273

Властивість також може бути використана для пошуку LCM двох чисел, якщо ви знаєте GCF. Наприклад, якщо вас попросили знайти GCF і LCM 24 і 30. Ви без зусиль зможете знайти GCF, який дорівнює 6. Щоб знайти LCM, помножте два числа разом, і розділіть на GCF. (Це має мати сенс для вас інтуїтивно, якщо ви думаєте про це: Ви б не перерахували GCF двічі, коли ви будуєте LCM. Крім того, GCF скасує будь-яке з двох чисел, оскільки це коефіцієнт кожного.) Отже, НКМ (24, 30) =\((24 \cdot 30) \div 6 = 120\).

Вправа 13

Якщо ГКФ (1176, 288) = 24, знайдіть НКМ (1176, 288)

Вправа 14

Знайти Х, якщо ГКФ (2940, Х) = 105 і НКМ (2940, Х) = 79,380

Вправа 15

Якщо найбільший спільний коефіцієнт 3,211, а інше число - 247, а найменш загальне кратне тих же двох чисел 48,165, то яке інше число?

Вправа 16

Якщо вам не дано хоча б одного з чисел, може бути більше одного можливого рішення. З'ясуйте можливості для a і b, якщо все, що ви знаєте, це GCF (a, b) = 2 і LCM (a, b) = 20

Наступні кілька проблем - огляд GCF і LCM. Тепер у вас є кілька методів, які ви можете використовувати, щоб знайти GCF і LCM.

17-20 Знайдіть найбільший спільний коефіцієнт кожної з наступних пар чисел за допомогою простого факторизації, старокитайського методу або евклідового алгоритму. Потім знайдіть LCM кожної пари. Показати всі роботи.

Вправа 17

а. ГКФ (693, 546) = _______

б. НСМ (693, 546) = _______

Вправа 18

а. ГКФ (2117, 2555) = _______

б. НСМ (2117, 2555) =

Вправа 19

а. ГКФ (1369, 10693) = ______

б. НКМ (1369, 10693) =

Вправа 20

а. ГКФ (24300, 14406) = _______

б. НСМ (24300, 14406) =

Вправа 21

Складіть проблему, коли GCF з 2 різних 3-значних чисел дорівнює 32. Наприклад, GCF (x, y) = 32. Знайдіть x і y, які будуть працювати.

Вправа 22

Складіть проблему, коли GCF двох різних 4-значних чисел дорівнює 32. Іншими словами, знайдіть 2 числа, a і b, такі, що GCF (a, b) = 32.

Вправа 23

Складіть проблему, коли GCF з 2 різних 3-значних чисел дорівнює 35. Наприклад, GCF (x, y) = 35. Знайдіть x і y, які будуть працювати.

Вправа 24

Складіть проблему, коли GCF двох різних 4-значних чисел дорівнює 28. Іншими словами, знайдіть 2 числа, a і b, такі, що GCF (a, b) = 28.

Всі парні числа кратні 2. Тому кожне парне число можна записати як добуток 2 і ціле число. Символічно, ми можемо записати кожне парне число можна записати у вигляді: 2k, де k - ціле число. Наприклад, 12 = 2 (6), 20 = 2 (10), 58 = 2 (29) і т.д.

Всі непарні числа можуть бути записані як на одне більше, ніж парне число. Так як парне число можна записати як 2k, то символічно пишемо, що кожне непарне число можна записати у вигляді: 2k + 1, де k - ціле число. Наприклад, 15 = 2 (7) + 1, 41 = 2 (20) + 1 і т.д.

Будь-яке ціле число, яке можна записати у вигляді 2k, парне і будь-яке ціле число, яке неможливо записати у вигляді 2k, не є парним. Будь-яке ціле число, яке можна записати у вигляді 2к+ 1, є непарним, а будь-яке ціле число, яке неможливо записати у вигляді 2к+ 1, не є непарним.

Ми будемо робити деякі докази про парних і непарних чисел. Єдиний спосіб висловити парне число, в загальному, це 2к. Змінною може бути будь-яка буква. Якщо ви хочете висловити більше одного парного числа, ви повинні використовувати нову змінну на кшталт 2m або 2n. Те ж саме справедливо і для непарних чисел.

Для наступних прикладів і вправ припустимо, що всі змінні є цілими числами.

ПРИКЛАДИ: Створіть, яке з наступного завжди представляє парне число, яке з наступного завжди представляє непарне число, а яке іноді парне, а іноді і непарне.

Приклад 1:6н+14

6 + 14

Рішення

6n + 14 = 2 (3n + 7), що знаходиться у вигляді парного числа. Тому 6n + 14 завжди буде представляти парне число (так як n - ціле число).

Приклад 2:4н+23

4 + 23

Рішення

4n + 22 + 1 = 2 (2n + 11) + 1, що знаходиться у вигляді непарного числа. Тому 6n + 14 завжди буде являти собою непарне число.

Приклад 3:5n+2

5н + 2

Рішення

Не можна написати 5н + 2 за формою 2к або 2к + 1. Тому його не можна визначити. Іноді буває парним, а іноді і непарним.

Примітка: Ви можете перевірити ці відповіді, включивши парне число для n, а потім непарне число для n, і подивитися, чи має сенс висновок. У прикладі 1, якщо n = 2, то 6n + 14 = 6 (2) + 14 = 28 (парних). Якщо n = 3, то 6 (3) + 14 = 32 (парні). Отже, результат був парним, коли n замінювалося або парним, або непарним числом. Виконайте ту саму перевірку, наприклад 2 та 3 у наведеному нижче просторі:

Вправа 25

Стан, який із наступного завжди представляє парне число, яке з наступного завжди представляє непарне число, а яке іноді є парним, а іноді і непарним. Обґрунтуйте свою відповідь.

а. 8н + 20

б. 10к+ 9

c. 5х+ 2

Приклад 1

Формально довести, що сума двох непарних чисел парна.

ВАЖЛИВО: Не визначайте два непарних числа однаковими непарними числами. Ви повинні бути загальними, і припустити, що вони можуть бути двома різними непарними числами! Використовуйте різні змінні, щоб бути найзагальнішими.

Рішення

Нехай 2n+1 = одне непарне число, і нехай 2м+1 = ще одне непарне число.

Сума дорівнює: 2n+1 + 2м+1= 2n+2m+2 = 2 (n+m+1), що знаходиться у вигляді парного числа. Тому сума 2 непарних чисел парна.

Приклад 2

Формально довести, що добуток двох непарних чисел непарне.

Рішення

Нехай 2n+1 = одне непарне число, і нехай 2м+1 = ще одне непарне число.

Сума дорівнює: (2n+1) (2м+1) = 4нм + 2n + 1 = 2 (2нм + n + m) +1, що знаходиться у вигляді непарного числа. Тому добуток 2 непарних чисел непарне.

Вправа 26

Формально довести, що сума двох парних чисел парна.

Вправа 27

Формально довести, що сума двох непарних чисел парна.

Вправа 28

Формально довести, що сума парного числа і непарного числа непарна.

Вправа 29

Формально довести, що добуток двох парних чисел парне.

Вправа 30

Формально довести, що добуток двох непарних чисел непарне.

Вправа 31

Формально довести, що добуток парного числа і непарного числа парне.

Ми вивчимо спосіб знайти суму кількох послідовних цілих чисел.

Приклад 1

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6

Приклад 2

Сума перших 100 підрахунку чисел займе багато часу, щоб виписати та обчислити. Пишемо його наступним чином: 1 + 2 + 3\(\dots\) + 98 + 99 + 100

Приклад 3

55 + 56 + 57 + 128\(\dots\) + 129 + 130

Перший приклад досить простий в обчисленні. Але як все більше і більше цифр додаються, обчислення стає громіздким. Перші два приклади починаються з числа, 1. Нашою першою метою буде знайти шаблон, а потім формулу для додавання будь-якого набору послідовних чисел підрахунку, починаючи з 1.

Незважаючи на те, що ми знаємо відповідь на приклад 1, ми будемо використовувати це, щоб знайти шаблон для суми для інших сум. Нехай X = сума, яку ми шукаємо (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6). Зверніть увагу, що станеться, якщо X записано двічі - спочатку у порядку зростання, потім у порядку спадання - а потім два рядки додаються шляхом додавання рядків:

\(\begin{aligned} X = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 \\ + \underline{X} = \underline{6} + \underline{5} + \underline{4} + \underline{3} + \underline{2} + \underline{1} \\ 2X = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 \end{aligned}\)

Ліва сторона дорівнює 2X, що в два рази більше фактичної суми, яку ми хочемо. Скільки стовпців чисел знаходяться на правій стороні знака рівності? _____ Примітка: кількість стовпців збігається з кількістю чисел у фактичній сумі, яку ми намагаємося знайти. Що кожен стовпець на правій стороні знак дорівнює додати до? _____ Так як права сторона знака рівності повторюється додавання, ви можете отримати відповідь, скориставшись множенням. Що це за проблема множення? _________ Так як ліва сторона дорівнює правій стороні (2X = 42), то X = 21. Навіть якщо ви не представляли суму за допомогою змінної, ви б розділили праву сторону на 2, оскільки сума вдвічі більша, оскільки числа в сумі були додані двічі.

Давайте використаємо цю саму техніку, щоб додати перші 100 послідовних чисел підрахунку. Нехай N = фактична сума. Ви заповнюєте третій рядок, додаючи ліву сторону, а потім додаючи всі стовпці з правого боку.

\(\begin{aligned} N = && 1 && + && 2 && + && 3 &&+ && \dots && + && 98 && + && 99 + && 100 \\ + \underline{N} = && \underline{100} && +&& \underline{99} && + && \underline{98} && + && \dots && + && \underline{3} && + && \underline{2} + && \underline{1} \end{aligned}\)

Скільки стовпців (це та ж відповідь, що і кількість чисел в сумі) є праворуч? ______ Оскільки кожен стовпець складається до одного і того ж числа, це повторне додавання. Створіть число, яке правий бік додає до: ___________ Це вдвічі більше фактичної суми, так що дорівнює сума (1 + 2 + 3\(\dots\) + 98 + 99 + 100)? ______

Сподіваємось, ви отримали відповідь 5,050!

Вправа 32

Використовуйте попередню методику, щоб знайти суму перших 80 рахункових чисел. Показати роботу

Спробуємо знайти формулу для знаходження перших n чисел підрахунку за такою ж методикою. Перш ніж записати суму, що таке рахункове число, що передує n? _______ Що таке лічильне число, що передує цьому числу? ______

Нехай X = сума перших n чисел підрахунку. Нижче ми використаємо ту ж техніку, щоб знайти суму. Заповніть суму ліворуч від сторони рівності та суму кожного стовпця праворуч.

До чого складається кожен стовпець праворуч? ________ Знову ж таки, права сторона знову повторюється додавання. Помножте кількість стовпців (що дорівнює кількості чисел у сумі перших n рахункових чисел) на число, до якого складається кожен стовпець.

Що дорівнює права сторона? _____________ Це вдвічі більше фактичної суми, яку ми хочемо.

Що дорівнює фактична сума перших n рахункових чисел? _____________

Сподіваюся, ви отримали таку відповідь:\(\frac{n(n+1)}{2}\)

Звичайно, відповідь залежить від п. Давайте використаємо цю формулу для обчислення суми перших шести підрахункових чисел, що було першим прикладом, який ми зробили. У цьому прикладі n = 6. Отже, вставивши n = 6 в формулу, отримуємо\((6 \cdot 7)\)/2 = 21. Та ж відповідь!

Вправа 33

Скористайтеся формулою, щоб знайти суму перших 80 підрахункових чисел.

Вправа 34

Скористайтеся формулою, щоб знайти цю суму: 1 + 2 + 3\(\dots\) + 248 + 249 + 250.

Що робити, якщо ви хотіли знайти цю суму? 55 + 56 + 57 + 128\(\dots\) + 129 + 130

Якби ви використовували формулу, то у вас була б сума всіх чисел від 1 до 130 замість тільки тих, що знаходяться від 55 на. Одна зі стратегій полягає у використанні формули, а потім відніміть додаткові числа, які ви додали. Наприклад, якщо ви додаєте всі числа від 1 до 130, додаткові числа, які не входять до суми: 1 + 2 + 3\(\dots\) + 52 + 53 + 54. Але цю суму легко обчислити, оскільки ми можемо використовувати формулу, щоб отримати цю суму! Отже, ось стратегія:

55 + 56 + 57 + 128\(\dots\) + 129 + 130

= (сума перших 130 рахункових чисел) — (сума перших 54 рахункових чисел)

= (1 + 2 + 3\(\dots\) + 128 + 129 + 130) — (1 + 2 + 3\(\dots\) + 52 + 53 + 54)

\(\frac{130(131)}{2} - \frac{54(55)}{2}\)= 8,515 - 1,485 = 7,030

Приклад

Знайти суму: 81 + 82 + 83 + 198\(\dots\) + 199 + 200

Рішення

З суми перших 200 рахункових чисел відніміть суму перших 80 рахункових чисел: 200 (201) /2 — 80 (81) /2 = 20,100 — 3,240 = 16 860.

Вправа 35

Знайдіть наступні суми, використовуючи щойно показану стратегію. Показати роботу.

а. 51 + 52 + 53\(\dots\) + 98 + 99 + 100

б. 146 + 147 + 148\(\dots\) + 561 + 562 + 563

c. 500 + 501 + 502\(\dots\) + 798 + 799 + 800

Існує інша стратегія, яку ми можемо використовувати, щоб знайти суму послідовних цілих чисел, які не починаються з числа, 1. Давайте розглянемо інший спосіб обчислення суми цих цілих чисел: 55 + 56 + 57 + 128\(\dots\) + 129 + 130. Ми почнемо з використання тієї ж стратегії, яку ми використовували на початку цієї теми. По-перше, нехай X = сума. Запишіть суму двічі — спочатку у порядку зростання, потім у порядку спадання — а потім додайте два рядки, додавши окремі стовпці. Це показано на наступній сторінці.

\(\begin{aligned} X = & 55 + & 56& + & 57 &+ & \dots &+& 128 &+& 129 &+ &130 \\ \underline{X} =& \underline{130} + &\underline{129}& +& \underline{128} &+ & \dots &+ & \underline{57} &+ & \underline{56}& + \underline{55} \\ 2X = &185 + & 185& +& 185 &+ &\dots &+& 185 &+ &185 &+ &185 \end{aligned}\)

У цей момент ми можемо побачити подібність до того, як ми вивели суму перших n чисел підрахунку, але є одна велика різниця тут. Незрозуміло точно, скільки доповнень 185 знаходяться на правій стороні знака рівності. Більшість людей скажуть, що їх 130 — 55, або 75, але насправді, що міркування (віднімання першого числа з останнього числа) не є правильним. Наприклад, якщо ви додавали числа від 1 до 130, більшість людей погодяться, що додається 130 чисел, що не є тією ж відповіддю, яку ви отримаєте, якби відняти перше число від останнього числа, оскільки 130 - 1 дорівнює лише 129. Подивіться на простіший приклад: 17 + 18 + 19 + 20. Зрозуміло, що в сумі є 4 числа, але якби ви зробили віднімання 20 - 17, ви отримаєте 3, що є неправильною відповіддю. Один із способів з'ясувати, скільки чисел у сумі, - це вирішити, скільки чисел не вистачає з суми, якщо вона починається з 1. Подивіться ще раз на суму: 17 + 18 + 19 + 20 має перші 16 чисел відсутні, тому замість 20 чисел у сумі (скільки було б, якби ми почали з 1), в сумі є 20 - 16 чисел. Гаразд, повернемося до з'ясування того, скільки чисел насправді в сумі вище.

Скільки чисел в сумі: 55 + 56 + 57 + 128\(\dots\) + 129+ 130? _______

Отже, права частина рівняння має 76 185 складених разом, що становить 76\(\cdots\) 185, що дорівнює 14,060. Але, це вдвічі більше, ніж фактична сума, тому після ділення на 2, ми отримуємо фактичну суму 7,030. Це та сама відповідь, яку ми отримали, коли ми робили цю проблему на попередній сторінці, використовуючи іншу стратегію.

Вправа 36

Знайдіть наступні суми, використовуючи щойно показану стратегію. Показати роботу.

а. 51 + 52 + 53\(\dots\) + 98 + 99 + 100

б. 146 + 147 + 148\(\dots\) + 561 + 562 + 563

c. 500 + 501 + 502\(\dots\) + 798 + 799 + 800

d Виклик: k + (k + 1) + (k + 2)\(\dots\) + (n - 2) + (n - 1) + n

Поки що ви навчилися легко знаходити суму декількох послідовних цілих чисел. Давайте зробимо це на крок далі. Що робити, якщо сума, яку ви хочете знайти, - це числа, які не є послідовними. Залежно від послідовності чисел, суму може бути, а може бути непросто знайти. Ми розглянемо суми, які мають послідовні числа, складені разом у маскуванні. Наприклад, подивіться на наступну суму:

7 + 14 + 21\(\dots\) + 693 + 700

Вправа 37

Що ви помічаєте про цифри, складені разом?

Вправа 38

Сподіваюся, ви помітили, що всі числа кратні семи, або, можливо, ви помітили, що ви додаєте сім до кожного числа, щоб отримати наступне число. Візьміть суму і перепишіть проблему, факторинг 7; просто заповніть пробіли нижче:

7 + 14 + 21\(\dots\) + 693 + 700 = 7 (____ + ____ + ____ + ____\(\dots\) + ____ + ____)

Вправа 39

Тепер ви повинні мати можливість з'ясувати суму чисел в дужках. Покажіть свою роботу, щоб з'ясувати суму. Потім відповідають a, b і c.

a Яка сума чисел у дужках? __________

б. так, сума 7 + 14 + 21 + 28\(\dots\) + 700 стає 7 _________

с. отже, 7 + 14 + 21 + 28\(\dots\) + 700 = _______________

Вправа 40

Знайдіть наступні суми. Покажіть свою роботу.

а. 8 + 16 + 24\(\dots\) + 992 + 1000 = ____________

б. 11 + 22 + 33\(\dots\) + 935+ 946 = _____________

c. 20 + 40 + 60 + 80\(\dots\) + 2980 + 3000 = _____________

Гаразд, лише ще один поворот... це все поєднує. Розглянемо цю суму:

112 + 116 + 120\(\dots\) + 524 + 528

Вправа 41

Цього разу, що ви помічаєте про цифри, складені разом?

Вправа 42

Сподіваюся, ви помітили, що всі числа були кратні чотирьом, або що ви додали чотири до кожного числа, щоб отримати наступне число. Візьміть суму і перепишіть проблему факторингом 4; просто заповніть пробіли нижче:

112 + 116 + 120\(\dots\) + 524 + 528 = 4 (____ + ____ + ____ + _____\(\dots\) + _____ + _____)

Вправа 43

Тепер ви повинні мати можливість з'ясувати суму чисел в дужках. Зверніть увагу, що сума не починається з 1. Покажіть свою роботу, щоб з'ясувати суму. Потім відповідають a, b і c.

a Яка сума чисел у дужках? __________

б. так, сума 112 + 116 + 120\(\dots\) + 524 + 528 стає 4 _________

c. отже, 112 + 116 + 120\(\dots\) + 524 + 528 = _______________

Вправа 44

Знайдіть наступні суми. Покажіть свою роботу.

а. 85 + 90 + 95\(\dots\) + 735 + 740 = ____________

б. 430 + 473 + 516\(\dots\) + 2838+ 2881 = _____________

Ось деякі проблеми для вас, щоб з'ясувати, які цифри знаходяться на числовому рядку. Для кожної задачі з'ясуйте, де на числовому рядку (який номер) чоловік може стояти. Там, де є більше однієї можливості, тільки перерахуйте номери від 1 до 1000.

Вправа 45

Вправа 46

Вправа 47

Вправа 48

Вправа 49

Вправа 50

Вправа 51

Вправа 52

(Насправді існує дев'ять можливостей від 1 до 1000 для цієї проблеми.)

Вправа 53

Вправа 54

Вправа 55

Вправа 56

Яка з підказок в #53 була не потрібна, якщо чоловік стоїть лише на одному єдиному номері? #54 та #55 повинні допомогти вам відповісти на це. Наприклад, якщо ви отримали більше однієї можливості для #54 або #55, то ця проблема не надала достатньо підказок. Для того, хто дав рівно одну можливість, це було достатньо підказок, тому підказка від #53, яка бракувала, насправді не потрібна.

Вправа 57

Вправа 58

Вправа 59

Вправа 60

Якщо людина у вправі #59 стоїть лише на одному номері в цій проблемі, чи потрібні всі три підказки?

Так чи ні: _________ Поясніть: