8.1: Цифрові коріння та подільність
- Page ID
- 67059
Корисно зрозуміти, що мається на увазі під цифровим корінням числа, оскільки вони використовуються в тестах на подільність, а також використовуються для перевірки арифметичної задачі. ЦИФРОВИЙ КОРІНЬ числа - це одна з таких цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 або 8.
Визначення: ЦИФРОВИЙ КОРІНЬ числа - це залишок, отриманий при діленні числа на 9.
Розділіть кожне з наступних чисел на 9. Потім напишіть залишок.
| а. 25 | ч. 8 |
| б. 48 | я. 54 |
| c. 53 | дж. 74 |
| д. 829 | к. 481 |
| д. 5402 | л. 936 |
| ф. 3455 | м. 8314 |
| г. 47522 | п. 647 |
Нижче наведено ще один більш простий спосіб знайти цифровий корінь числа.
Крок 1: Додайте окремі цифри числа.
Крок 2: Якщо після додавання всіх цифр є більше однієї цифри, повторіть цей процес, поки не отримаєте одну цифру. Якщо кінцева сума дорівнює 9, напишіть 0, тому що 9 і 0 еквівалентні в цифрових коренях (оскільки залишок - це число менше 9). Саме тому цифровий корінь числа - це тільки одна з цих цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 або 8. Це єдині можливі залишки, які можна отримати, коли число ділиться на 9! Це не може бути 9. Єдина цифра, з якою ви нарешті закінчите, - це ЦИФРОВИЙ КОРІНЬ числа.
Приклади: Знайдіть цифрові коріння наступних чисел.
34: Складіть цифри: 3 + 4 = 7
Цифровий корінь з 34 дорівнює 7
321: Складіть цифри: 3 + 2 + 1 = 6
Цифровий корінь з 321 дорівнює 6
58: Складіть цифри: 5 + 8 = 13 Складіть цифри ще раз: 1 + 3 = 4
Цифровий корінь з 58 дорівнює 4
97: Складіть цифри: 9 + 7 = 16 Складіть цифри ще раз: 1 + 6 = 7
Цифровий корінь з 97 дорівнює 7
72: Додайте цифри: 7 + 2 = 9 У цифрових коренях 9 збігається з 0
Цифровий корінь з 72 дорівнює 0
346 721: Складаємо цифри, отримуємо 3 + 4 + 6 + 7 + 2 + 1= 23 Знову
складаємо цифри: 2 + 3 = 5
Цифровий корінь 346 725 дорівнює 5
Зверніть увагу, що не слід писати 97 = 16 = 7. 97 НЕ ДОРІВНЮЄ 7!! Цифровий корінь 97 дорівнює 7. Я використовую тире, двокрапки або стрілки для запису цифрового кореня, тому він виглядає приблизно так: 346 721\(\rightarrow\) 23\(\rightarrow\) 5. Не використовуйте знаки рівності!!!
Інший метод пошуку цифрових коренів використовує той факт, що 9 і 0 еквівалентні цифровим корінням. Процес пошуку цифрових коренів також називається виливанням дев'яток. Коли ви додаєте цифри, вам не потрібно додавати цифру 9 або будь-яку комбінацію чисел, які складаються до 9 (наприклад, 2 і 7, або 5 і 4, або 2 і 3 і 4 тощо) — ви можете «вигнати» всі 9, перетягніть їх, а потім додайте інші цифри разом. Наступний приклад ілюструє, як «відкидання дев'яток» спрощує процес знаходження цифрового кореня великої кількості.
Знайдіть цифровий корінь 5 624 398.
Без закидання дев'яток: 5 + 6 + 2 + 4 + 3 + 9 + 8 = 37. Додаємо ще раз: 3 + 7 = 10. Додаємо ще раз: 1 + 0 = 1.
Виливання дев'яток: Оскільки 5 і 4 додати до 9, схрестити їх:\(\not{5}, 6, \not{24}, \not{398}\). Починаючи з 6 і 3 додайте до 9, також перехрестіть їх:\(\not{5}, \not{6}, \not{24}, \not{398}\). Також перехрестити 9:\(\not{5}, \not{6}, \not{24}, \not{398}\). Єдині цифри, які потрібно додати, - це 2 і 8, що дорівнює 10. Цифровий корінь з 10 дорівнює 1. Таким чином, 1 - це цифровий корінь 5,624 398, що є тією ж відповіддю, отриманою без попереднього викидання дев'яток.
Нижче цифрові коріння для прикладів 4, 5 і 6 на попередній сторінці обчислюються знову за допомогою виливання дев'яток. Зверніть увагу, що цифровий корінь залишається колишнім.
97: Перехрестити 9. Залишається тільки 7. Цифровий корінь дорівнює 7.
72:7 + 2 = 9, тому перехрестіть їх. Тому цифровий корінь дорівнює 0.
346,721: Перехрестити 3 і 6, а також 7 і 2. Єдині цифри, які потрібно додати, - це 4 і 1. Тому цифровий корінь дорівнює 5.
Знайдіть цифрові коріння наступних чисел, використовуючи будь-який метод. Пам'ятайте, що 9 - це не цифровий корінь. Запишіть нуль (0), якщо сума дорівнює 9 (вигнання 9).
| а. 25 | ч. 8 |
| б. 48 | я. 54 |
| c. 53 | дж. 74 |
| д. 829 | к. 481 |
| д. 5402 | л. 936 |
| ф. 3455 | м. 8314 |
| г. 47522 | п. 647 |
Чи отримали ви однакові відповіді на вправи 1 і 2?
Примітка: Цей метод пошуку цифрового кореня має відношення лише до числа 9. Ви не можете знайти залишок числа при діленні на 7 шляхом додавання цифр.
Використання цифрових коренів - це перевірка проблем додавання та множення.
Щоб перевірити проблему додавання, додайте цифрові коріння додатків. Потім перевірте, чи цифровий корінь цієї суми збігається з цифровим корінням фактичної суми доповнення. Це працює, чи є лише два доповнення або декілька доповнень.
Нижче наведено кілька прикладів того, як перевірити додавання. Фактичне додавання показано зліва. Стрілки використовуються для показу цифрових коренів доповнення та суми. Для перевірки цифрові коріння додатків складаються разом, а потім обчислюється цифровий корінь цієї суми. Порівняйте його з цифровим коренем фактичної суми. Якщо вони рівні, поставте галочку, щоб вказати відповідь, ймовірно, вірна. ПРИМІТКА: Існує невелика ймовірність того, що цифрові коріння збігаються, але відповідь все ще не правильна через якусь іншу помилку, наприклад транспонування цифр. Наприклад, у прикладі 1 нижче, можливо, хтось може записати 1153 для відповіді. Цифрові коріння в чеку збігаються. Можливість цього невелика, тому ми, як правило, припускаємо, що проблема була зроблена правильно, якщо цифрові корені перевіряють. З іншого боку, якщо цифрові коріння не перевіряють, ви знаєте, що це неправильно.
\(\begin{aligned} 723 & \rightarrow 3 \\ \underline{+ 412} & \rightarrow 7 \\ 1135 & \rightarrow 1 \end{aligned}\)
Ск: 3 + 7 = 10\(\rightarrow\) 1\(\surd\) Правильно!
Пояснення: Щоб перевірити, додайте цифровий корінь додатків (3 + 7 = 10); потім знайдіть цифровий корінь 10 (1). Переконайтеся, що це дорівнює цифровому кореню суми, 1135 (1). Оскільки це так, проблема додавання, ймовірно, була зроблена правильно.
\(\begin{aligned} 463 & \rightarrow 4 \\ \underline{+ 529} & \rightarrow 7 \\ 1630 & \rightarrow 1 \end{aligned}\)
Ск: 4 + 7 = 11\(\rightarrow\) 2 Неправильно!
Пояснення: Щоб перевірити, додайте цифровий корінь додатків (4 + 7 = 11); потім знайдіть цифровий корінь 11 (2). Це повинно дорівнювати цифровому кореню суми, 1630 (1). Оскільки це не так, є помилка, і проблема додавання була зроблена неправильно.
Хтось робив такі проблеми додавання, але тільки записував відповіді. Перевірте відповідь на кожну проблему за допомогою цифрових коренів. Зверніть увагу, що процедура однакова, якщо є більше двох доповнень. Додайте цифрові коріння всіх доповнень. Показати роботу!
| а.\(\begin{aligned} 4983 \\ \underline{+ 6829} \\ 10802 \end{aligned}\) | б.\(\begin{aligned} 5567 \\ \underline{+ 4987} \\ 10554 \end{aligned}\) | c.\(\begin{aligned} 3467 \\ \underline{+ 2541} \\ 5908 \end{aligned}\) |
| д.\(\begin{aligned} 8972 \\ 8876 \\ \underline{+ 5873} \\ 23721 \end{aligned}\) | е.\(\begin{aligned} 5873 \\ 3674 \\ \underline{+ 4763} \\ 13260 \end{aligned}\) | ф.\(\begin{aligned} 4789 \\ 9835 \\ \underline{+ 5301} \\ 19925 \end{aligned}\) |
Для задачі множення перевірка аналогічна, крім перевірки, ви множите цифрові корені чисел, які ви множите. Щоб перевірити додавання, ви ДОДАЄТЕ цифрові коріння додатків і перевіряєте цифровий корінь суми. Щоб перевірити множення, ви МНОЖИТЕ цифровий корінь чисел, що множаться, і перевірити на цифровий корінь продукту. Ось кілька прикладів, які дають відповідь хтось, можливо, записав після виконання завдання множення на іншому аркуші паперу.
\(\begin{aligned} 85 & \rightarrow 13 \rightarrow 4 \\ \underline{\times 63} & \rightarrow 0 \\ 5355 & \rightarrow 18 \rightarrow 0 \end{aligned}\)
Ck:\(4 \times 0 = 0\) Правильно!
Пояснення: Щоб перевірити, помножте цифрові коріння чисел, які ви множите (\(4 \times 0 = 0\)); потім знайдіть цифровий корінь 0 (0). Переконайтеся, що він дорівнює цифровому кореню продукту, 5355 (0). Оскільки це так, проблема множення, ймовірно, була зроблена правильно.
\(\begin{aligned} 43 & \rightarrow 7 \\ \underline{\times 52} & \rightarrow 7 \\ 2136 & \rightarrow 3 \end{aligned}\)
Ck:\(7 \times 7 = 49\)\(\rightarrow\) 4 Неправильно!
Пояснення: Щоб перевірити, помножте цифрові коріння чисел, які ви множите (\(7 \times 7 = 49\)); потім знайдіть цифровий корінь 49 (4). Це повинно дорівнювати цифровому кореню продукту, 2136 (3). Оскільки це не так, є помилка. Тому проблема множення була зроблена неправильно.
Хтось робив такі проблеми множення, але тільки записував відповіді. Перевірте відповідь на кожну проблему за допомогою цифрових коренів. Показати роботу!
| а.\(\begin{aligned} 74 \\ \underline{\times 53} \\ 3922 \end{aligned}\) | б.\(\begin{aligned} 29 \\ \underline{\times 36} \\ 944 \end{aligned}\) | c.\(\begin{aligned} 68 \\ \underline{\times 28} \\ 1904 \end{aligned}\) |
| д.\(\begin{aligned} 65 \\ \underline{\times 79} \\ 5125 \end{aligned}\) | е.\(\begin{aligned} 81 \\ \underline{\times 55} \\ 4455 \end{aligned}\) | ф.\(\begin{aligned} 48 \\ \underline{\times 52} \\ 2596 \end{aligned}\) |
| г.\(\begin{aligned} 569 \\ \underline{\times 61} \\ 34709 \end{aligned}\) | ч.\(\begin{aligned} 653 \\ \underline{\times 524} \\ 242172 \end{aligned}\) | я.\(\begin{aligned} 2333 \\ \underline{\times 1203} \\ 2806599 \end{aligned}\) |
Додайте або помножте наступне, як зазначено, а потім використовуйте цифрові корені, щоб перевірити відповідь на кожну проблему. Показати роботу!
| а.\(\begin{aligned} 7362 \\ \underline{+ 5732} \end{aligned}\) | б.\(\begin{aligned} 8308 \\ \underline{ + 956} \end{aligned}\) |
| д.\(\begin{aligned} 6784 \\ \underline{ + 6835} \end{aligned}\) | е.\(\begin{aligned} 9994 \\ \underline{ + 8721} \end{aligned}\) |
| ф.\(\begin{aligned} 57 \\ \underline{\times 8} \end{aligned}\) | г.\(\begin{aligned} 34 \\ \underline{\times 7} \end{aligned}\) |
| г.\(\begin{aligned} 87 \\ \underline{\times 52} \end{aligned}\) | ч.\(\begin{aligned} 825 \\ \underline{\times 13} \end{aligned}\) |
Використання цифрових коренів - це перевірка проблем віднімання.
Щоб перевірити віднімання, ви зазвичай додаєте різницю (відповідь) до віднімання (число, яке було віднімано) і дивитеся, чи отримаєте ви minuend (число, з якого ви віднімали). Іншими словами, щоб перевірити, що 215 — 134 = 81 було зроблено правильно, просто додайте 81 і 134, що дорівнює 215. Щоб перевірити віднімання за допомогою цифрових коренів, просто додайте цифровий корінь різниці до цифрового кореня віднімання і перевірте, чи отримаєте ви цифровий корінь minuend. Щоб перевірити, що 215 — 134 = 81 було зроблено правильно, просто додайте цифрові корені 81 і 134:0 + 8 = 8. Переконайтеся, що 8 - це цифровий корінь minuend, 215. Це так! Ось ще один приклад. Скажімо, хтось зробив таку проблему віднімання: 5462 — 2873 = 2589. Щоб перевірити, додайте цифрові коріння 2589 і 2873, або 6 + 2, щоб отримати 8. Оскільки 8 також є цифровим корінням 5462, відповідь, ймовірно, правильна.
Ось ще кілька прикладів того, як перевірити віднімання за допомогою цифрових коренів.
\(\begin{aligned} 7362 & \rightarrow 0 \\ \underline{ – 5732} & \rightarrow 8 \\ 1630 & \rightarrow 1 \end{aligned}\)
Ck: 1 + 8 = 9\(\rightarrow\) 0\(\surd\) Правильно!
Пояснення: Для перевірки додайте цифровий корінь різниці і відніміть (1 + 8 = 9). Цифровий корінь 9 дорівнює 0. Переконайтеся, що це дорівнює цифровому кореню minuend, 7632 (0). Оскільки це так, віднімання, ймовірно, було зроблено правильно.
\(\begin{aligned} 5073 & \rightarrow 6 \\ \underline{ – 878} & \rightarrow 5 \\ 4205 & \rightarrow 2 \end{aligned}\)
Ск: 2 + 5 = 7 НЕПРАВИЛЬНО!
Пояснення: Для перевірки додайте цифровий корінь різниці і відніміть (2 + 5 = 7). Це повинно дорівнювати цифровому кореню мінуенда, 5073 (6). Оскільки це не так, віднімання було зроблено неправильно.
Хтось робив такі проблеми віднімання, але тільки записував відповіді. Перевірте відповідь на кожну проблему за допомогою цифрових коренів. Показати роботу!
| а.\(\begin{aligned} 572 \\ \underline{– 356} \\ 216 \end{aligned}\) | б.\(\begin{aligned} 296 \\ \underline{– 189} \\ 107 \end{aligned}\) | c.\(\begin{aligned} 501 \\ \underline{– 327} \\ 284 \end{aligned}\) |
| д.\(\begin{aligned} 3217 \\ \underline{– 2391} \\ 926 \end{aligned}\) | е.\(\begin{aligned} 3546 \\ \underline{– 1138} \\ 2408 \end{aligned}\) | ф.\(\begin{aligned} 7502 \\ \underline{– 4729} \\ 2773 \end{aligned}\) |
Відніміть, додайте або помножте наступне, як зазначено, а потім використовуйте цифрові корені, щоб перевірити відповідь на кожну проблему. Показати роботу!
| а.\(\begin{aligned} 7362 \\ \underline{– 5732} \end{aligned}\) | б.\(\begin{aligned} 8308 \\ \underline{– 956} \end{aligned}\) |
| д.\(\begin{aligned} 6784 \\ \underline{– 6335} \end{aligned}\) | е.\(\begin{aligned} 9994 \\ \underline{– 8721} \end{aligned}\) |
| ф.\(\begin{aligned} 557 \\ \underline{+ 348} \end{aligned}\) | г.\(\begin{aligned} 834 \\ \underline{+ 767} \end{aligned}\) |
| ч.\(\begin{aligned} 48 \\ \underline{\times 6} \end{aligned}\) | я.\(\begin{aligned} 13 \\ \underline{\times 29} \end{aligned}\) |
Використання цифрових коренів - це перевірка проблем поділу.
Щоб перевірити ділення, ви множите дільник (число, на яке ви ділите) на частку (відповідь), а потім складіть залишок. Правильно, якщо отримана відповідь дорівнює дивіденду (числу, на яке ви поділили). Іншими словами, ось як перевірити це ділення,\(431 \div 34 = 12\) р. 23: Помножте 34 на 12 і додайте 23. Ось кроки:\(34 \times 12 + 23 = 408 + 23 = 431\). Оскільки 431 - це дивіденди, ця проблема була виконана правильно. Щоб перевірити поділ за допомогою цифрових коренів, просто помножте цифровий корінь дільника на цифровий корінь частки та додайте цифровий корінь залишку. Якщо цифровий корінь цього числа дорівнює цифровому кореню дивіденду, це, ймовірно, правильно.
Примітка: Після того, як цифрові коріння дільника та частки множаться, ви можете спочатку знайти цифровий корінь цього продукту, перш ніж додати цифровий корінь залишку.
Ось як перевірити проблему поділу, яку ми зробили вище, використовуючи цифрові коріння. Помножте цифровий корінь дільника, 34, на цифровий корінь частки, 12:\(7 \times 3 = 21\). Потім додайте цифровий корінь залишку, 23:21 + 5 = 26. Визначте цифровий корінь того числа, 26, що дорівнює 8. Перевірте, чи відповідає 8 цифровому кореню дивідендів, 431. Це робить. Як зазначено в примітці, ви можете визначити цифровий корінь 21, перш ніж додати цифровий корінь залишку. У цьому випадку це виглядало б так:\(7 \times 3 = 21 \rightarrow 3\). Потім додайте цифровий корінь залишку, 23:3 + 5 = 8. Переконайтеся, що це дорівнює цифровому кореню дивідендів, 431. Це робить. Тому поділ, ймовірно, було зроблено правильно. Далі наведено більше прикладів. Справа показана перевірка без цифрових коренів. Цифрова перевірка кореня показана під задачею поділу.
Нижче наведено ще один приклад для вас для вивчення.
Хтось робив такі проблеми поділу, але тільки записував відповіді. Перевірте відповідь на кожну проблему за допомогою цифрових коренів. Показати роботу. Вам не потрібно робити фактичну перевірку, як показано праворуч від останніх трьох прикладів. Покажіть роботу!
|
а.  |
б.  |
|
c.  |
д.  |
Ще одна застереження щодо використання цифрових коренів:
У задачі 9d поширена помилка, яку роблять деякі люди, - це забути поставити нуль у частку, 102. Замість цього відповідь могла бути написана як 12 r. 32. Використовуючи цифрові коріння, відповідь перевірить. Отже, слід також перевірити обгрунтованість відповіді шляхом наближення. Наприклад,\(78 \times 12\) це близько 80 разів 10 або 800, що навіть не близько до зрівнювання дивідендів, 7988. Інший раз цифрові коріння можуть зазнати невдачі, коли хтось переносить цифри числа. Якщо відповідь на проблему була 465, і вона була написана як 456, використання цифрових коренів не виявило б помилки.
Виконайте наступну задачу поділу та перевірте відповідь за допомогою цифрових коренів. Показати роботу.
\(23972 \div 156\)= ____________
Пізніше в цьому модулі ми вивчимо прості числа, складові числа, найбільший спільний множник двох або більше чисел і найменш спільний кратний двом або більше чисел. Факторинг - це метод, який використовується для пошуку простого факторизації складеного числа, і він також може бути використаний для пошуку найбільшого спільного фактора та найменш спільного кратного набору чисел. Однією з проблем факторингу великих чисел є те, що іноді незрозуміло, чи є він простим чи складовим. Іншими словами, незрозуміло, чи є у нього якісь фактори, крім 1 або самого себе. Більшість з нас знає, що якщо остання цифра числівника парна, то 2 розділиться на неї; або якщо вона закінчується на 0, 10 розділиться на неї; або якщо вона закінчується на 0 або 5, то 5 розділиться на неї. Іноді люди навіть мають проблеми з визначенням, якщо відносно невеликі числа є простими. Наприклад, багато людей думають, що 91 є основним, але насправді це не так. Знання деяких тестів на подільність полегшує завдання, тому ми незабаром займемо деякий час, щоб обговорити тести на подільність для декількох чисел. По-перше, нам потрібно перейти на деякі позначення, що стосуються подільності.
Коли ви бачите 12/3, це означає 12 «, розділене на" 3. Коса риса, яка нахиляється вправо, - це ще один спосіб написати знак поділу,\(\div\). 12/3 (або\(12 \div 3\)) - проблема поділу, а відповідь - 4.
Ось щось зовсім інше. Якщо я кажу «3 ділить 12", я роблю заяву. «3 ділить 12" - це не проблема поділу, яку потрібно зробити. Це твердження, яке буває правдою. Символ, який використовується для представлення слова «ділить», є вертикальною лінією. Отже, «3 ділення 12» можна записати «3|12". Знову ж таки, це твердження, факт, а не проблема поділу. Спосіб вираження «не ділить» полягає в тому, щоб проставити слеш через символ:\(\not{l}\)
Отже, як дізнатися, що «3 ділить 12" - це істинне твердження? Визначення «ділить» наступне:
Означення: «a ділить b», якщо існує ціле число, n, таке, що an = b Це просто говорить про те, що «a ділить b» означає a - множник b! У скороченому позначенні це пишеться «a | b якщо існує ціле число, n, таке, що an = b, або a | b означає, що a - множник b».
Гаразд, так що саме робить «існує ціле число, п, такий, що an = b» означає? Ну, це означає, що перше число разів деяке ціле число дорівнює другому числу. Або ви можете подумати, що «a ділить b» вірно, якщо\(b \div a\) це ціле число.
Давайте повернемося до того, чому «3 ділить 12" - це справжнє твердження. Хммм... ви можете бути формальними і запитати себе: Чи є ціле число n таке, що 3n = 12? Або ви можете просто запитати себе: це 3 множник (або дільник) 12? У будь-якому випадку відповідь - так, тому твердження вірне.
Давайте трохи більше попрацюємо над різницею між твердженням, що використовує «ділиться», і актуальною задачею поділу.
Приклади: Визначте, чи є кожне з наведених нижче твердженням, чи це проблема поділу. Якщо це твердження, вкажіть, якщо воно є істинним чи хибним, і створіть резервну копію вашої відповіді. Якщо це проблема поділу, вкажіть відповідь на проблему поділу.
4|20
Рішення
Це вірне твердження, тому що 4 - коефіцієнт 20 (так як\(4 \cdot 5 = 20\))
20/6
Рішення
Це проблема поділу. Відповідь - 3 р. 2
15|3
Рішення
Це помилкове твердження, оскільки 15 - це не коефіцієнт 3.
6 дільників 20
Рішення
Це помилкове твердження, оскільки 6 - це не фактор 20.
3 ділення 21
Рішення
Це вірне твердження, оскільки 3 - коефіцієнт 21 (оскільки\(3 \cdot 7 = 21\))
Визначте, чи є кожне з наступних тверджень, чи це проблема поділу. Якщо це твердження, то вирішіть, чи це правда чи помилково, і створіть резервну копію вашої відповіді. Якщо це проблема поділу, вкажіть відповідь на проблему поділу. Вивчіть приклади на попередній сторінці, якщо вам потрібна допомога з початку роботи.
| а. 35/7 |
| б. 35|7 |
| c. 7|35: |
| д. 40/7 |
| д. 56|8 |
| ф. 7|40: |
| г. 12 ділить 60 |
| ч. 80 ділиться на 30 |
| i. 70 розділити на 5 |
| м. 42 ділення 3 |
| к. 6 дільників 42 |
| л. 80 розділити на 10 |
| м. 100/2 |
| п. 4|100 |
| о. 4|90: |
| с. 25|5 |
Повернемося до формального визначення «ділить»:
Визначення: a|b, якщо існує ціле число, n, таке, що an = b.
Нам потрібно використовувати це формальне позначення для того, щоб зробити деякі докази. Розглянемо наступне:
Чи вірно наступне твердження? Якщо a|b і a|c, то a| (b+c).
a|b і a|c означає, що a є множником b, а a - це також множник c. Ми повинні визначити, чи це обов'язково означає, що a також є коефіцієнтом суми, b + c. Перший рядок стратегії полягає в тому, щоб перевірити його на кількох числах і подивитися, чи можна знайти контрприклад. Якщо ви знайдете зустрічний приклад, відповідь - ні, і все готово. Якщо ви не можете знайти контрприклад, можливо, це правда. Якщо ви вважаєте, що це правда, ви повинні ДОВЕСТИ це, будучи загальним і офіційним.
Я б почав з вибору будь-якого числа для а, як a = 3, а потім вибрати числа для b і c, для яких 3 є фактором, як 15 і 18. Підключіть їх: «Якщо 3|15 і 3|18, робить 3| (15+18)?» Починаючи з 3|33, відповідь - так. Схоже, це твердження може бути правдою.
Виберіть різні числа для a, b та c у «Якщо a|b та a|c, то a| (b+c)», щоб побачити, чи здається, що оператор істинним.
Заява «Якщо a|b і a|c, то a| (b+c)», виявляється істинним. Ви повинні написати доказ, щоб довести, що це завжди правда. Ось один із способів написати офіційний доказ:
Чи вірно наступне твердження? : Якщо a|b і a|c, то a| (b+c).
Рішення
Якщо a|b, то an = b для деякого цілого числа, n. Якщо a|c, то am = c для деякого цілого числа, m. Використовуючи ці заміни для b та c, ми отримуємо, що a| (b + c) є істинним, якщо a| (an + am), що є істинним, якщо a є множником + am. Коефіцієнт: an + am = a (n + m). Це чітко показує, що a дійсно є фактором + am. Тому якщо a|b і a|c, то a| (b+c).
Напишіть формальний доказ, щоб показати, що таке вірно: Якщо x|y та x|z, то x| (y + z).
Чи вірно наступне твердження? Якщо a| (b+c), то a|b і a|c.
a| (b + c) означає, що a - це множник суми, b + c. Питання запитує, чи обов'язково це означає, що a є множником b, а також множником c. Перший рядок стратегії полягає в тому, щоб перевірити його на кількох числах і подивитися, чи можна знайти контрприклад, чи схоже, що це правда. Якщо ви знайдете зустрічний приклад, відповідь - ні, і все готово. Якщо ви вважаєте, що це правда, ви повинні ДОВЕСТИ це, будучи загальним і офіційним.
Почніть з вибору будь-якого числа для а, як a = 3 і вибір числа для суми b + c, для якого 3 є множником, як 15 або 18 і т.д. нехай b + c = 15. Зауважте, що існує безліч комбінацій чисел, які складаються до 15:1 + 14, 2 + 13, 3 + 12, 7 + 8 і т.д. вас запитують, якщо 3 ділиться на суму будь-яких двох цілих чисел, чи обов'язково вона розділиться на кожне окреме додаток? Наприклад, якщо ви розбили 15 як суму 9 і 6, це буде твердження: «Якщо 3| (9 + 6), то 3|9 і 3|6». Використовуючи ці цифри, це правда, і ви не знайшли зустрічного прикладу. Спробуйте розбити 15 іншим способом, можливо, як сума 10 і 5. Потім твердженням стає: «Якщо 3| (10 + 5), то 3|10 і 3|5». Відповідь - ні, і тому ці цифри можуть бути використані як зустрічний приклад, який доводить, що твердження є помилковим. Пам'ятайте: для того, щоб твердження було істинним, воно повинно бути для всіх значень a та b, з іншого боку, достатньо лише одного зустрічного прикладу, який показує, що він не відповідає дійсності, щоб довести, що твердження є помилковим.
Розглянемо твердження: «Якщо a| (b+c), то a|b і a|c». Надайте приклад з використанням чисел, відмінних від a = 3, b = 9 та c = 6, що робить його схожим на те, що це твердження може бути істинним.
Розглянемо твердження: «Якщо a| (b+c), то a|b і a|c». Надайте контрприклад, використовуючи числа, відмінні від a = 3, b = 10 та c = 5, щоб показати, що це твердження є помилковим.
Розглянемо твердження: «Якщо a|c і b|c, то (a + b) |c.» Наведіть контрприклад, щоб показати, що це твердження є помилковим.
Розглянемо твердження: «Якщо (a + b) |c, то a|c і b|c». Наведіть контрприклад, щоб показати, що це твердження є помилковим.
Доведіть, що таке твердження вірно: «Якщо a|b і a|c, то a| (bc)»
Доведіть, що таке твердження вірно: «Якщо a|b і a| (b + c), то a|c»
Рішення
Якщо a|b, то am = b для якогось цілого числа, m Якщо a| (b + c), то an = b + c для якогось цілого числа, n. Майте на увазі, що оскільки b і c є додатними, то (b + c) > b, що означає n > m. Ми намагаємося довести, що a є множником c. Оскільки am = b, ми можемо замінити a в рівняння an = b + c, який означає an = am + c Розв'язування для c, це еквівалентно an — am = c. Отже, якщо a є множником an — am, то a є множником c. Коефіцієнт: an — am = a (n — m). Це чітко показує, що a є коефіцієнтом a — am, що означає a є множником c, тому твердження «Якщо a|b та a| (b + c), то a|c» є істинним. (Примітка: n — m має бути цілим числом, оскільки n та m — цілі числа, а n > m.)
Доведіть, що таке твердження вірно: «Якщо c|a і c| (a + b), то c | b»
Гаразд, нарешті перейдемо до тестів на подільність. Ми будемо використовувати наші нові позначення для ділів (|).
Всі підрахункові числа можна вважати коефіцієнтами нуля. Іншими словами, для всіх чисел підрахунку m, m|0 завжди вірно, оскільки завжди є декілька разів m, що дорівнює нулю, а саме нулю.
Припустимо, n є додатним цілим числом. Нижче наведено тести на подільність, щоб визначити, які числа діляться на n, або які числа є множниками n.
Тест на подільність для 2:2|n, якщо остання цифра n парна (0, 2, 4, 6 або 8)
Використовуйте тест на подільність для 2, щоб визначити, чи є наступне істинним чи хибним
1. 2|97
Це помилково, тому що остання цифра (7) не є парною
2. 2|356
Це вірно тому, що остання цифра (6) парна
Тест на подільність для 4: (подумайте про 4 як\(2^{\mathbf{2}}\))
4|n якщо 4| (число, яке представлено двома останніми цифрами n)
Використовуйте тест на подільність для 4, щоб визначити, чи є наступне істинним чи хибним.
1. 4|527
Це помилково, оскільки 4 не ділить 27, (оскільки 4 не є коефіцієнтом 27).
2. 4|25 356
Це вірно тому, що 4|56.
3. 4|624
Це вірно тому, що 4|24.
Тест на подільність для 8: (подумайте про 8 як\(2^{\mathbf{3}}\))
8|n якщо 8| (число представлено трьома останніми цифрами n)
Використовуйте тест на подільність для 8, щоб визначити, чи є наступне істинним чи хибним.
1. 8 | 42 527
Це помилково, тому що 8 не ділить 527
2. 8|25 336
Це правда, тому що 8|336
3. 8 | 7 624
Це вірно, тому що 8 ділить 624, (оскільки 8 - коефіцієнт 624)
Вам повинно бути зрозуміло, що якщо число не ділиться на 2, воно не ділиться на 4 або 8; а якщо воно не ділиться на 4, воно не ділиться на 8. І навпаки, якщо число ділиться на 8, то воно ділиться як на 2, так і на 4; а якщо воно ділиться на 4, воно ділиться на 2.
Використовуйте тести на подільність для 2, 4 та 8, щоб визначити, чи є наступне істинним чи хибним. Підтримайте свою відповідь причиною, використовуючи відповідний тест на подільність.
| а. 2|9,712 _____ |
| б. 2|5 643 _____ |
| c. 4|5 690 _____ |
| д. 4|63 868 _____ |
| е. 4|854 100 _____ |
| ф. 8|12 345 248 _____ |
| г. 8 | 54 094 422 _____ |
Тест на подільність для 5:5|n, якщо остання цифра n дорівнює 0 або 5
Використовуйте тест на подільність для 5, щоб визначити, чи є наступне істинним чи хибним.
1. 5|527
Це неправда, тому що 7 - остання цифра 527
2. 5|25 335
Це вірно, тому що 5 - остання цифра 25 335
3. 5|7 620
Це вірно тому, що 0 - остання цифра 7,620
Тест на подільність для 10:10|n, якщо остання цифра n дорівнює 0
Використовуйте тест на подільність для 10, щоб визначити, чи є наступне істинним чи хибним.
1. 10|527
Це неправда, тому що 7 - остання цифра 527
2. 10|25 335
Це неправда, тому що 5 - остання цифра 25,335
3. 10|7 620
Це вірно тому, що 0 - остання цифра 7,620
Використовуйте тести на подільність для 5 та 10, щоб визначити, чи є наступне істинним чи хибним. Підтримайте свою відповідь причиною, використовуючи відповідний тест на подільність.
| а. 5|9,750 _____ |
| б. 5|5 645 _____ |
| c. 5|5 696 _____ |
| д. 10|63 860 _____ |
| е. 10|854 105 _____ |
Тест на подільність для 3:3|n, якщо 3| (цифровий корінь n)
Примітка: Це еквівалентно вимові 3|n, якщо цифровий корінь n дорівнює 0, 3 або 6
Використовуйте тест на подільність для 3, щоб визначити, чи є наступне істинним чи хибним.
1. 3|97
Це помилково, оскільки 3 не ділить 7, що є цифровим коренем 97
2. 3|356
Це помилково, оскільки 3 не ділить 5, що є цифровим коренем 356
3. 3|738
Це вірно тому, що 3|0, де 0 - цифровий корінь 738
Використовуйте тест на подільність для 3, щоб визначити, чи є наступне істинним чи хибним. Підтримайте свою відповідь причиною, використовуючи тест на подільність для 3. Показати роботу.
| а. 3|9,750 ______ |
| б. 3|5 645 ______ |
| c. 3|5 696 ______ |
| д. 3|63 860 ______ |
| е. 3|854,115 ______ |
Тест на подільність для 9:9|n, якщо 9| (цифровий корінь n)
Примітка: Це еквівалентно тому, що цифровий корінь n повинен дорівнювати нулю. Знайдіть хвилинку, щоб подумати про цей тест на подільність для 9. У вправі 16 ми виявили, що цифровий корінь числа такий же, як і решта, яку ви отримуєте, діливши число на 9. Для того, щоб число ділилося на 9, залишок дорівнював би нулю, що саме таким буде цифровий корінь.
Використовуйте тест на подільність для 9, щоб визначити, чи є наступне істинним чи хибним.
1. 9|627
Це помилково, оскільки 9 не ділить 6, який є цифровим коренем 627.
2. 9|25 334
Це помилково, оскільки 9 не ділить 8, що є цифровим коренем 25 334.
3. 9|7 533
Це вірно, тому що цифровий корінь 9 дорівнює 0.
Використовуйте тест на подільність для 9, щоб визначити, чи є наступне істинним чи хибним. Підтримайте свою відповідь причиною, використовуючи тест на подільність для 9. Показати роботу.
| а. 9|9,753 ______ |
| б. 9|5 646 ______ |
| c. 9|5 697 ______ |
| д. 9|63 576 ______ |
| е. 9|854 103 ______ |
Тест на подільність для 6:6|п, якщо 2|n І 3|n. (Подумайте про 6 як\(2 \cdot 3\))
Важливе зауваження: Число ділиться на 6, тільки якщо воно проходить тест на подільність як для 2, так і для 3. Якщо він не проходить один з тестів, то він не ділиться на 6. Щоб показати, що він ділиться на 6, ви повинні показати, що він проходить обидва тести.
Використовуйте тест на подільність для 6, щоб визначити, чи є наступне істинним чи хибним.
1. 6|627
Це помилково, тому що 2 не ділить 7 (остання цифра, яка не парна).
2. 6|25 334
Це помилково, оскільки 3 не ділить 25 334, оскільки 3 не ділить цифровий корінь, який дорівнює 8.
3. 6|7 620
Це вірно тому, що 2|7,620 (оскільки остання цифра, 0, парна) І 3|7,620 (починаючи з 3|6, де 6 - цифровий корінь 7,620).
Використовуйте тест на подільність для 6, щоб визначити, чи є наступне істинним чи хибним. Підтримайте свою відповідь причиною, використовуючи тест на подільність для 6.
| а. 6|9,753 |
| б. 6|5 645 |
| з.6|5 696 |
| д. 6|63 876 |
| д. 6|854 103 |
Тест на подільність для 15:15|п, якщо 5|п І 3|п. (Подумайте про 15 як\(5 \cdot 3\))
Важливе зауваження: Число ділиться на 15, тільки якщо воно проходить тест на подільність як для 5, так і для 3. Якщо він не проходить один з тестів, то він не ділиться на 15. Щоб показати, що він ділиться на 15, ви повинні показати, що він проходить обидва тести.
Використовуйте тест на подільність для 15, щоб визначити, чи є наступне істинним чи хибним.
1. 15|623: Це помилково, оскільки 5 не ділить 623 (оскільки остання цифра не дорівнює 0 або 5).
2. 15|24,335: Це помилково, оскільки 3 не ділить 24 335, оскільки 3 не ділить цифровий корінь, який дорівнює 8.
3. 15|7,620: Це вірно тому, що 5|7,620 (оскільки остання цифра дорівнює 0) І 3|7,620 (починаючи з 3|6, де 6 - цифровий корінь 7,620).
Використовуйте тест на подільність для 15, щоб визначити, чи є наступне істинним чи хибним. Підтримайте свою відповідь причиною, використовуючи тест на подільність для 15.
| а. 15|9,753 |
| б. 15|6 645 |
| зб. 15|5 690 |
| д. 15|63 872 |
| д. 15|654 105 |
Тест на подільність для 7 : Цей тест непросто описати. Нижче наведені кроки.
Крок 1: Перехрестіть цифру числа, щоб отримати число з одним меншим значенням місця.
Крок 2: Подвоїти цифру, яку ви перекреслили, і відніміть з нового числа, отриманого з відсутньою цифрою.
Крок 3: Якщо 7 ділить число, яке ви отримаєте після віднімання, воно ділить початкове число. В іншому випадку, це не так. Якщо ви не впевнені, повторіть процедуру на новому номері, повернувшись до кроку 1.
Використовуйте тест на подільність для 7, щоб визначити, чи є наступне істинним чи хибним. Те, як ви показуєте кроки, використовуючи цифри, показано праворуч від пояснення.
|
1. 7|91: Перехрестити 1, подвоїти його (2) і відняти від того, що залишилося (9). Відповідь - 7 (9 — 2 = 7). Починаючи з 7|7, 7|91 є правдою.  |
|
2. 7|96: Перехрестити 6, подвоїти його (12) і відняти від того, що залишилося (9). Коли ви віднімаєте, ігноруйте знак (просто зробіть 12 - 9 = 3). Оскільки 7 не ділить 3, 7|96 є помилковим.  |
|
3. 7|638: Перехрестити 8, подвоїти його (16) і відняти від того, що залишилося (63). Відповідь - 47 (63 — 16 = 47). Оскільки 7 не ділить 47, то 7|638 є помилковим. (Якщо ви не були впевнені, чи 7 розділили 47, ви можете зробити крок далі; це показано праворуч.)  |
|
4. 7|4564: Перехрестити 4, подвоїти його (8) і відняти від того, що залишилося (456). Відповідь - 448 (456 — 8 = 456). Перехрестіть 8, подвоюйте його (16) і відніміть з того, що залишилося (44). Відповідь 28 (44 - 16 = 28). Починаючи з 7|28, то 7|4564 вірно.  |
|
5. 7|56161: Перехрестити 1, подвоїти його (2) і відняти від того, що залишилося (5616 — 2 = 5614). Перехрестити 4, подвоїти його (8) і відняти від того, що залишилося (561 - 8 = 553). Перехрестити 3, подвоїти його (6) і відняти від того, що залишилося (55 - 6 = 49). Починаючи з 7|49, то 7|56161 вірно.  |
Використовуйте тест на подільність для 7, щоб визначити, чи є наступне істинним чи хибним. Підтримайте свою відповідь причиною, використовуючи тест на подільність для 7. Показати роботу.
| а. 7|833 |
| б. 7|5 645 |
| з.7|4 795 |
| д. 7|14 763 |
Тест на подільність для 11:11|п, якщо різниця між сумою цифр в місцях, які є парними степенями 10, і сумою цифр в місцях, які є непарними степенями 10, ділиться на 11.
Цей тест більш заплутаний для опису, ніж робити. Те, що ви робите, це скласти кожну іншу цифру. Потім складіть ті, які ви пропустили. Потім відніміть ці два числа і подивіться, чи ділить це число 11.
Використовуйте тест на подільність для 11, щоб визначити, чи є наступне істинним чи хибним.
a. 11|4,365: Додати 4 + 6 = 10 Додати 3 + 5 = 8 Відніміть 10 - 8 = 2 Оскільки 11 не ділить 2, то 11 не ділить 4365. Тому 11|4365 є помилковим.
б. 11|540,879,216: Додати 5 + 0 + 7 + 2 + 6 = 20. Додайте 4 + 8 + 9 + 1 = 22. Відніміть 22 - 20 = 2 Оскільки 11 не ділить 2, 11|540,879,216 є помилковим.
c. 11|542,879,216: Додати 5 + 2 + 7 + 2 + 6 = 22 Додати 4 + 8 + 9 + 1 = 22 Відніміть 22 - 22 = 0 Починаючи з 11|0, тоді 11|542 879,216 вірно.
d. 11|4,052,631: Додати 4 + 5 + 6 + 1 = 16 Додати 0 + 2 + 3 = 5 Відніміть 16 - 5 = 11 З 11|11, то 11|4,052,631 вірно.
Використовуйте тест на подільність для 11, щоб визначити, чи є наступне істинним чи хибним. Підтримайте свою відповідь причиною, використовуючи тест на подільність для 11. Показати роботу.
| а. 11|9,053 |
| б. 11 | 63 920 876 |
| зд. 11|568 696 |
| д. 11|513 645 |
| д. 11|803 003 808 |
Нижче перераховані тести на подільність, які ви повинні знати. Важливо розуміти, що кожен з тестів працює тільки для зазначеного числа. Іншими словами, ви не можете використовувати тест на подільність для 3, щоб визначити, чи 7 ділить число. Тест на подільність для 7 не має нічого спільного з цифровими корінням!
Тест на подільність для 2:2|n, якщо остання цифра n парна (0, 2, 4, 6 або 8)
Тест на подільність для 3:3|n, якщо 3| (цифровий корінь n); АБО 3|n, якщо цифровий корінь n дорівнює 0, 3 або 6
Тест на подільність для 4:4|n if 4| (число, представлене двома останніми цифрами n)
Тест на подільність для 5:5|n, якщо остання цифра n дорівнює 0 або 5
Тест на подільність для 6:6|п, якщо 2|n І 3|n. (Подумайте про 6 як\(2 \cdot 3\))
Тест на подільність для 7: Кроки цього тесту описані нижче.
- Крок 1: Перехрестіть цифру числа, щоб отримати число з одним меншим значенням місця.
- Крок 2: Подвоїти цифру, яку ви перекреслили, і відніміть з нового числа без цифри.
- Крок 3: Якщо 7 ділить число, яке ви отримаєте після віднімання, воно ділить початкове число. В іншому випадку, це не так. Якщо ви не впевнені, повторіть процедуру на новому номері, повернувшись до кроку 1.
Тест на подільність для 8:8|n if 8| (число представлено трьома останніми цифрами n)
Тест на подільність для 9:9|n, якщо 9| (цифровий корінь n); АБО 9|n, якщо цифровий корінь n дорівнює нулю
Тест на подільність для 10:10|n, якщо остання цифра n дорівнює 0
Тест на подільність для 11:11|п, якщо різниця між сумою цифр в місцях, які є парними степенями 10, і сумою цифр в місцях, які є непарними степенями 10, ділиться на 11
Тест на подільність для 15:15|п, якщо 5|п І 3|п