4.2: Алгоритми множення
- Page ID
- 66928
Вам знадобиться: Базові блоки (Матеріальні карти 4-15)
Існує безліч алгоритмів множення. Особисто я вважаю, що те, як більшість з нас навчилися цьому в школі, є одним із найскладніших алгоритмів. Це важка битва, що отримує нові методи в шкільну систему. Але, це варто переслідувати. Добре знати, що означає множення, і як помножити будь-які два числа разом. Однак немає ніяких підстав для того, щоб кожен повинен використовувати один і той же метод, щоб отримати відповідь. У цьому наборі вправ ви дізнаєтеся деякі нові алгоритми множення. Ви також дізнаєтеся, як множити в різних базах.
Багато людей використовують повторне додавання весь час для розмноження. Розглянемо задачу множення 26 разів 17. В основному це означає додати 26 сімнадцяти разом. Це можна зробити, складаючи їх разом по одному. Це займе багато часу.
Іншим підходом було б додати 10 сімнадцять разом спочатку, щоб отримати 170, потім додати ще 10 сімнадцять разом, щоб отримати 170 знову, потім додати ще 5 сімнадцять разом, що становить 85, а потім додати ще один сімнадцять. Додавання 10 сімнадцяти (170), 10 сімнадцяти (170), 5 сімнадцяти (85) і 1 сімнадцять (17) дає 170 + 170 + 85 + 17 = 442, що точно відповідає 26 разів 17. Це не повинно бути несподіванкою, оскільки ми додали 26 (10+10+5+1) сімнадцять років разом.
Хтось може додати 10 сімнадцять (170), 10 сімнадцять (170), 3 сімнадцять (51) і ще 3 сімнадцять (51), щоб отримати 170 + 170 + 51 + 51 = 340 + 102 = 442.
Є кілька інших способів, які люди можуть розбити число 26 і все ще отримати правильну відповідь. Цей підхід може бути одним ви часто або, можливо, це перший раз, коли ви думали про це таким чином. У будь-якому випадку, це відрізняється від того, щоб просто робити це тим же старим способом.
Через комутативну власність ви могли б зробити 17 разів 26 замість цього. Можливо, ви додасте 10 двадцять шісток (260), потім ще 5 двадцять шісток (130) і ще 2 двадцять шісток (52), щоб отримати 260 + 130 + 52 = 442.
Однією з причин, чому вигідно робити множення за допомогою повторного додавання, є те, що багато проблем можна зробити у вашій голові таким чином. Але, звичайно, кожен новий метод вимагає практики і звикання, і люди зазвичай повертаються до використання своїх старих, знайомих методів, навіть якщо це займає більше часу і вимагає паперу. Це теж нормально. Однак дуже важливо, щоб вчитель знав кілька способів, щоб він міг надати більше можливостей для студентів. Те, що здається очевидним для одного студента, є чужим для іншого, тому ви даєте альтернативи та представляєте різні способи погляду на речі.
Використовуйте деяку форму повторного додавання, щоб зробити наступні множення. Поясніть, як ви робите кожен з них.
а.\(23 \times 13\)
б.\(14 \times 14\)
Один новий алгоритм (для більшості з вас читає це) називається Duplation. Це насправді дуже старий алгоритм, який використовувався в давні часи єгиптянами. Також використовується принцип, згідно з яким множення - це просто повторне додавання. Його називають дуплацією, оскільки вона використовує ідею подвоєння чисел, щоб отримати відповідь. Давайте знову подивимося на перше множення, яке ми зробили в цьому розділі. Це було\(26 \times 17\). Оскільки 26 сімнадцять повинні бути складені разом, число 26 розбивається на повноваження двох. Це легко отримати повноваження двох: просто почати з 1, потім подвоїти його, щоб отримати 2, потім подвоїти його, щоб отримати 4, потім подвоїти його, щоб отримати 8, а потім подвоїти його, щоб отримати 16 і т.д. щоб з'ясувати, як далеко ви повинні піти в процесі подвоєння, зупинити, якщо подвоєння дає число більше, ніж число, яке ви намагаєтеся зламати (26, в цей випадок). Тепер все це звучить складніше, ніж є насправді. Перш ніж пояснювати занадто багато іншого, зверніть увагу, як ви це будете писати. Напишіть 26 вгорі і підкреслюйте його. Під ним почніть з 1, потім, подвійний безперервно, зупиняючись на 16, оскільки якщо ви подвоїте інший раз, ви отримаєте число більше 26. Праворуч від 26 напишіть цифру 17 і підкресліть її.
Під ним спочатку напишіть 17, потім двічі 17, щоб отримати 34, потім двічі 34, щоб отримати 68, подвійний 68, щоб отримати 136 і т.д., поки у вас не буде такої ж кількості чисел під 17, як ви робите під 26.
\(\begin{aligned} &\begin{matrix}\underline{26} && \times & \underline{17} \\ 1 && 17 \\ 2 && 34 \\ 4 && 68 \\ 8 && 136 \\ 16 && 272 \end{matrix} \\ &\begin{matrix} \cdots \cdots && \cdots \cdots \end{matrix} \end{aligned}\)
Ви бачите відповідні цифри? 1 відповідає 17, тому що 17 є\(1 \times 17\), 2 відповідає 34, тому що 34 є\(2 \times 17\), 4 відповідає 68, тому що 68 є\(4 \times 17\), 8 відповідає 136, тому що 136 є\(8 \times 17\), а 16 відповідає 272, тому що 272 є\(8 \times 17\). Тепер вам, можливо, доведеться подумати про це протягом декількох хвилин. Ліва сторона відстежує, скільки з деякого числа ви додаєте разом. Отже,\(1 \times 17\) повинно бути зрозуміло. Отже,\(2 \times 17\) це просто 17 в два рази. Тепер, якщо\(2 \times 17\) 34,\(4 \times 17\) то в два рази більше, ніж\(2 \times 17\), так подвійний 34, щоб отримати 68. Це продовжується і далі. Так, якщо\(8 \times 17\) 136, то якщо ми подвоїти 136, ми повинні мати\(16 \times 17\). Хіба це не акуратно, як ми це знаємо,\(16 \times 17 = 272\) і ми просто подвоїти кілька цифр, щоб потрапити туди?
Гаразд, тепер нам потрібно лише додати 26 сімнадцяти разом. Просто почніть у нижній частині першого стовпця та позначте цифри, які складаються до 26 (це як робити це в базі два). Після того, як ви відзначте цифри в лівій колонці, обведіть або вказуйте на відповідні їм цифри в правій колонці. Це ті цифри в правій колонці, які ви додаєте разом, щоб отримати відповідь. Слідкуйте за тим, як робиться решта проблеми:
Давайте знову зробимо ту ж задачу, але скористаємося комутативною властивістю множення. Іншими словами, використовуйте метод duplation для обчислення:\(17 \times 26\). На цей раз, в лівій колонці, ви перевіряєте цифри, які складають до 17 випадково, що мені довелося подвоїти до 16 знову і зупинитися. У правій колонці почніть з 26 і подвоюйте.
Ось ще два приклади для вивчення. Я зроблю\(15 \times 35\) і\(35 \times 15\).
Звичайно, через комутативного властивості множення відповідь - 525, незалежно від того, яким способом ви це робите. Чи готові ви спробувати пару власних проблем з дубляцією? Ну, готові чи ні, ось вони приходять!
\(13 \times 29\)Розмножуємо за допомогою дубляції. Потім,\(29 \times 13\) розмножуємо за допомогою дубляції. Покажіть всі свої роботи. Дайте зрозуміти, що складається разом для кожної проблеми.
Використовуйте duplation, щоб помножити 27 на 14, а потім 14 на 27. Покажіть свою роботу.
Ось приклад того, як єгиптяни множилися за допомогою дубляції.
Використовуйте дупляцію для множення
.
Робіть проблему цілком єгипетською мовою.
Ви збираєтеся дізнатися прохолодний і простий спосіб помножити числа разом. Але спочатку я покажу вам, як помножити 2 одиничні цифри разом. Зробіть квадрат з діагоналлю в ньому. Одне число покладіть зверху, а інше праворуч від квадрата. Помножте дві цифри разом і поставте відповідь в поле з діагоналлю. Подивіться на приклади праворуч.
Метод, який ви зараз збираєтеся вивчити, називається МЕТОД РЕШІТКИ, і він може бути використаний для множення 2 цифр або 3 цифр або навіть більших чисел разом. Приклад, який ми робимо, є\(47 \times 32\).
КРОК 1: Для початку поставте одне з чисел у верхній частині (47) прямокутника (який має пробіл для кожної цифри числа) та інше число уздовж сторони (32) того ж прямокутника (який має пробіл для кожної цифри). У цьому випадку нам потрібен прямокутник, який має два пробіли вгорі і 2 пробіли уздовж сторони. Потім, ви робите діагоналі. Подивіться праворуч.
КРОК 2: Помножте кожну з цифр вгорі на кожну з цифр уздовж сторони, і поставте відповідь там, де вони будуть зустрічатися. Наприклад, подивіться, де 12 йде, коли ви множите 4 рази 3.
КРОК 3: Є ще три множення: 7 разів 3, 4 рази 2 і 7 разів 2. Бачите, як заповнюються всі відповіді? Не має значення, які з них ви розмножуєте і ставите в першу чергу.
КРОК 4: Є чотири діагоналі (складаються з маленьких трикутників), косі вправо всередині прямокутника. Починаючи з тієї, що знаходиться в правому нижньому кутку, складіть цифри всередині кожної діагоналі і заповніть суму в «чашку» під її діагоналлю. У першій діагоналі дорівнює 4, тому 4 ставиться в «чашку» під її діагоналлю (праворуч знизу прямокутника). У наступній діагоналі три цифри a 1, 1 і 8, який додає до 10, тому покладіть 0 в чашку під цією діагоналлю (внизу зліва) і 1 (для перенесення) в одному з трикутників зліва. Наступна діагональ має 2, 2, 0 і 1, яка додає до 5, і йде в «чашку» під її діагоналлю (зліва, знизу). В останній діагоналі є якраз 1, тому 1 ставиться в «чашку» під її діагоналлю (зліва, зверху). Подивіться, як я заповнював цифри по одному.
КРОК 5: Числа, які ви заповнили під кожною діагоналлю в «чашках» (поза прямокутником), утворюють відповідь. Він читається, починаючи з лівого верху і читаючи вниз, а потім по низу. В даному випадку відповідь - 1504. Хіба це не круто? Ось і все, що є в ньому!
Більшість моїх учнів люблять цей дуже старий метод множення решітки. Він працює так само легко для невеликих чисел, як і для великих чисел. Спочатку ви просто робите ряд простих однозначних множень, а потім додаєте, з перенесенням. Насправді ви могли б використовувати зліва направо (з підкресленням для перенесення) метод додавання для останнього кроку. Основним недоліком є те, що вам доведеться намалювати решітку, яка є невеликою ціною, щоб зробити множення простішим і менш складним. Швидше за все, це займає менше часу, ніж використання стандартного алгоритму з перенесенням, тому що менше шансів на помилку та плутанину з усім цим множенням і перенесенням тощо Я пропоную всім учням спочатку навчитися множенню таким чином, і нехай вони залишаться з ним, якщо їм це подобається. Кому потрібно скоротити його і зробити складніше, ніж це насправді? Ах, ну, я вважаю, що ви розумієте мою думку.
Використовуйте решітки, надані в a - d, для множення заданих чисел. Потім напишіть відповідь в наданому просторі. Для e, намалюйте власну решітку для обчислення множення. До речі, вам не доведеться малювати маленькі чашки. Це був мій власний маленький винахід, тому було б легко визначити відповідь. На наступній сторінці є ще дві проблеми (f і g). Перевірте свої відповіді за допомогою калькулятора
|
а.\(63 \times 57\) = ____  |
б.\(342 \times 85\) = ____  |
|
c. Складіть проблему: |
d. скласти проблему: |
| e.\(58 \times 67\) = ____ Намалюйте власну решітку. |
а. вийти з вашої бази чотири блоки. Візьміть 41 одиниць, і торгуйте ними, використовуючи свої блоки Base Four. У вас повинні бути квартири, лонги та одиниці, які ви можете написати як числівник у базовій четвірці.
Напишіть тут цифру Base Four:
б Якщо ви хочете помножити 2 рази це число, вам потрібно буде зробити дві палі, що представляють це число, об'єднати дві рівні купи разом (оскільки множення повторюється додавання), а потім взяти нову купу і зробити trade-ins. Зробіть дві рівні палі з блоками, де кожна купа така ж, як та, яку ви сформували з trade-ins частково a.Намалюйте картину того, як виглядають дві палі.
c Приєднатися до двох паль разом і зробити trade-ins, щоб отримати нову базу чотири числівники. Напишіть цю Базову Чотири числівники тут:
d Заповніть перший порожній з тим, що ви отримали для частини a, а другий порожній з тим, що ви отримали для частини c Ви тільки що зробили проблему множення в Base Four, використовуючи повторне додавання!
\(2_{\text{four}} \times\)_____\(_{\text{four}} = \) _____\(_{\text{four}}\)
а) Напишіть базову четвірку з 6а тут:
б Якщо ви хочете помножити 3 рази це число, вам потрібно буде зробити три палі, що представляють це число, об'єднати три рівні купи разом (оскільки множення повторюється додавання), а потім взяти нову купу і зробити торгові інси. Зробіть три рівні палі з блоками, де кожна купа така ж, як та, яку ви утворили з trade-ins в частині a Намалюйте картину того, як виглядають три палі.
c Приєднатися до трьох паль разом і зробити trade-ins, щоб отримати нову базу чотири числівники. Яку базу чотири числівники ви отримали?
d Заповніть перший порожній з тим, що ви отримали для частини a, а другий порожній з тим, що ви отримали для частини c Ви тільки що зробили ще одну проблему множення в Base Four, використовуючи повторне додавання!
\(3_{\text{four}} \times\)_______\(_{\text{four}} =\) _____\(_{\text{four}}\)
Використовуючи ту ж процедуру, що і в 6 і 7, вийміть свою базу три блоки і виконайте наступне множення:\(2_{\text{three}} \times 221_{\text{three}}\). Поясніть свою роботу, і покажіть фотографії.
Якщо ви хочете зробити\(10_{\text{three}} \times 221_{\text{three}}\), вам потрібно було б торгувати long (\(10_{\text{three}}\)) протягом трьох одиниць, зробити три палі, використовуючи три базові блоки\(221_{\text{three}}\), що представляють, і зробити те ж саме, що ви зробили у вправі 7. Поясніть, як ви це робите, і покажіть фотографії.
Цей метод повторного додавання з блоками був би занадто громіздким, якби ми працювали з більш високими числами. Наприклад, якщо ви намагалися використовувати цей метод для множення\(321_{\text{four}} \times 312_{\text{four}}\), перше число при розбивці на окремі одиниці буде складатися з більш ніж 50 одиниць, і це було б занадто багато паль, щоб зробити! Замість цього ми подумаємо і з'ясуємо, що означає множення, використовуючи великі блоки, ніж одиниці. Наприклад, ми з'ясуємо, що плоский раз довгий є, або що довгий час квартира знаходиться в будь-якій базі! Ми будемо використовувати ці скорочення: U для одиниці, L для довгого, F для плоского, B для блоку, LB для довгого блоку, FB для плоского блоку та BB для блоку блоку.
а. отримати з вашої бази три блоки. Ви збираєтеся знайти продукт довгого і довгого, схожого на те, як ви робили продукти з C-смужками в наборі вправ 1. \(L \times L\)виходить, поклавши одну довгу в горизонтальне положення, а другу довгу - у вертикальне положення, знизу і перпендикулярно перпендикулярно першій довгій. Потім сформуйте під ним прямокутник з довжин. Візьміть прямокутник (не включайте верхню горизонтальну довжину) і торгуйте на основі три, якщо це можливо. Що таке твір довгого і довгого в базовій трійці?
б. отримати з вашої бази чотири блоки. Знайдіть добуток довгого і довгого в базовій четвірці за допомогою методу, поясненого в частині а Що таке добуток довгого і довгого в базовій четвірці?
c Вийдіть з вашої бази п'ять блоків. Знайти добуток довгого і довгого в базовій п'ятірці за допомогою методу, поясненого в частині а Що є добутком довгого і довгого в базовій п'ятірці?
d У будь-якій базі, що таке твір довгого і довгого? \(L \times L =\)
а. отримати з вашої бази три блоки. Ви збираєтеся знайти продукт плоский і довгий зараз. По-перше, нам потрібно перетворити квартиру на лонги, щоб ми могли зробити горизонтальний поїзд через вершину T. Потім покладіть довгу в вертикальне положення, під ним і перпендикулярно довгому шлейфу, роблячи верхню частину Т. Потім сформуйте прямокутник з довгих довжин під ним. Візьміть прямокутник (не включайте жодних лонгів з верхньої горизонтальної частини T) і торгуйте трьома базовими, якщо це можливо. Що таке твір плоских і довгих в основі три?
б. отримати з вашої бази чотири блоки. Знайти добуток плоского і довгого в базовій четвірці за допомогою методу, поясненого в частині а Що таке добуток плоских і довгих в базовій четвірці?
c Вийдіть з вашої бази шість блоків. Знайти добуток плоского і довгого в базовій шести за допомогою методу, поясненого в частині а Що таке добуток плоского і довгого в базовій шести?
d У будь-якій основі, що таке твір плоского і довгого? \(F \times L =\)
а. отримати з вашої бази три блоки. Ви збираєтеся знайти продукт блоку і вже давно. Спочатку нам потрібно перетворити будинок на квартири, а потім квартиру на лонги, щоб ми могли зробити горизонтальний поїзд через вершину Т. Потім покладіть довгу в вертикальне положення, під ним і перпендикулярно довгому шлейфу, роблячи верхню частину Т. Потім сформуйте прямокутник з довгих довжин під ним. Візьміть прямокутник (не включайте жодних лонгів з верхньої горизонтальної частини T) і торгуйте трьома базовими, якщо це можливо. Що таке добуток блоку і довгого в базовій трійці?
б. отримати з вашої бази чотири блоки. Знайдіть добуток блоку та довгого в базовій четвірці за допомогою методу, поясненого в частині а Що таке добуток блоку і довгого в базовій четвірці?
c Вийдіть з вашої бази два блоки. Знайдіть добуток блоку та довгого в базі два за допомогою методу, поясненого в частині а Що таке добуток блоку і довгого в базі два?
d У будь-якій базі, що таке твір блоку і довгого? \(B \times L =\)
Підсумуйте результати з частини d вправ 10, 11 і 12.
а.\(L \times L =\) _______
б.\(L \times F =\) _______
c.\(L \times B =\) ________
Використовуйте комутативну властивість множення, щоб обчислити наступне:
д.\(F \times L =\) ________
е.\(B \times L =\) ________
За вашими власними словами, що відбувається, коли щось множиться на довге?
Ви помітили, що коли щось множиться на довге, це набігає на наступне місце значення. Це аналогічно множенню на 10 в базі 10, оскільки 10 є довгим у базовій десятці. Наприклад, в базі 10 347 представляє 3 сотні, 4 десятки і 7 одиниць; при множенні ви отримуєте 3470\(347 \times 10\), 3 тисячі, 4 сотні і 7 десятків, значення місця для кожної цифри переміщається вгору на одне місце.
Розглянемо множення\(312_{\text{four}} \times 10_{\text{four}}\). Це означає, що ви множите число в базовій четвірці на довге в базовій четвірці. Вийдіть з вашої бази чотири блоки і представляйте число\(312_{\text{four}}\).
а. у вас ____ квартир, _____ лонгів і _____ одиниць.
б Якщо помножити кожен з них на довгий, тепер скільки з кожного типу блоку значення місця у вас є в базовій четвертій?
Для множення двозначного числівника, X, в основі на деяке число, Y, в цій основі може бути використана ідея повторного додавання. Наприклад, якщо ми представляємо число з базовими блоками, ми хочемо створити «купу відповідей», де ми ставимо блоки, що представляють добуток, коли ми множимо на двозначну цифру. Кожна одиниця в X, помножена на Y, дає нам один набір базових блоків, що містяться в Y у купі відповідей. Кожен довгий X, помножений на Y, дає нам наступне значення місця для кожного з базових блоків, що містяться в Y. Це набагато складніше пояснити, ніж робити з блоками. Отже, давайте зробимо приклад.
Вийдіть з вашої бази чотири блоки. Ми помножимо\(23_{\text{four}} \times 32_{\text{four}}\). З вашими блоками, представляють це як проблему множення. Він повинен виглядати приблизно так:
Нагадаємо, що кожна довга внизу помножена на вершину змушує кожну верхню частину рухатися до наступного блоку значення вище місця. Отже, коли перша нижня довга множиться на верхнє число, в купу відповідей йдуть 2 квартири і 3 лонги. Коли другий нижній довгий множиться на верхнє число, ще 2 квартири і 3 лонги йдуть у купу відповідей. Коли третя нижня довжина множиться на верхнє число, ще 2 квартири і 3 лонги потрапляють у купу відповідей. Коли я роблю це з блоками, я зазвичай переміщаю кожну частину множника (нижній номер) я зробив так далеко вправо або з шляху. У будь-якому випадку, у вашій купі відповідей тепер ви повинні мати 6 квартир і 9 лонгів у стосі відповідей. Нам ще доведеться помножити на кожну з двох одиниць. Кожна одиниця, помножена на верхнє число, дає набір верхнього числа; це як множення на 1. Отже, коли перша нижня одиниця множиться на верхнє число, в купу відповідей йдуть 2 лонга і 3 одиниці. Коли друга нижня одиниця множиться на верхнє число, в купу відповідей йдуть ще 2 лонга і 3 одиниці. Створіть місце для купи відповідей і зробіть це з вашими блоками. Спробуйте самі, після чого перевірте на наступній сторінці.
Я покажу купу відповідей нижче: кожен рядок показує, що я отримав, коли я помножив кожен нижній шматок (3 лонги і 2 одиниці) зверху. До речі, ви могли б спочатку помножити на одиниці, а потім на лонги, я зроблю це таким чином для наступного прикладу. Все це просто врешті-решт потрапляє в купу відповідей, і всі обміни повинні зробити врешті-решт, так що ви можете написати його в Base Four. Це\(23_{\text{four}} \times 32_{\text{four}}\):
СТОПКА ВІДПОВІДЕЙ ПОКАЗАНА НИЖЧЕ:
Тепер зробіть всі ваші торгові інси з цими шматочками. Ви повинні в кінцевому підсумку з 2 блоків, 1 квартира, 2 лонги і 2 одиниці, що є числом\(2122_{\text{four}}\), написаним в базовій четвертій.
Далі ми будемо множити\(132_{\text{four}} \times 23_{\text{four}}\). З вашими блоками, представляють це як проблему множення. Він повинен виглядати приблизно так:
Кожна одиниця, помножена на верхнє число, дає набір верхнього числа, це як множення на 1. Отже, коли перша нижня одиниця множиться на верхнє число, в купу відповідей йде квартира, 3 лонга і 2 одиниці. Коли друга нижня одиниця множиться на верхнє число, інша квартира, 3 лонга і 2 одиниці йдуть у купу відповідей. Коли третя нижня одиниця множиться на верхнє число, ще одна квартира, 3 лонги і 2 одиниці йдуть у купу відповідей. Створіть місце для купи відповідей і зробіть це з вашими блоками. Коли я роблю це з блоками, я зазвичай переміщаю кожну частину множника, який я зробив до цих пір вправо або з шляху. У будь-якому випадку, у вашій купі відповідей тепер ви повинні мати 3 квартири, 9 лонгів і 6 одиниць у стосі відповідей. Нам ще доведеться помножити на кожен з двох лонгів. Нагадаємо, що кожна довга, помножена на вершину, змушує кожну верхню частину рухатися до наступного блоку значення вище місця. Отже, коли перша нижня довга множиться на верхнє число, блок, 3 квартири і 2 лонги йдуть у купу відповідей. Коли друга нижня довжина множиться на верхнє число, інший блок, 3 квартири і 2 лонги йдуть у купу відповідей. Я покажу купу відповідей нижче: кожен рядок показує, що я отримав, коли я помножив кожен нижній шматок (3 одиниці та 2 лонги) зверху. До речі, ви могли б спочатку помножити на лонги, а потім на одиниці. Все це просто врешті-решт потрапляє в купу відповідей, і всі обміни повинні зробити врешті-решт, так що ви можете написати його в Base Four. Це\(132_{\text{four}} \times 23_{\text{four}}\):
СТОПКА ВІДПОВІДЕЙ ПОКАЗАНА НИЖЧЕ:
Тепер зробіть всі ваші торгові інси з цими шматочками. Ви повинні в кінцевому підсумку з 1 довгий блок, 1 блок, 2 лонги і 2 одиниці, що є числом\(11022_{\text{four}}\), написаним в базовій четвертій. Переконайтеся, що ви робите і розумієте ці останні дві проблеми, перш ніж продовжувати.
Помножте кожен з наступних, використовуючи базові блоки. Потім поясніть і намалюйте кроки в просторі нижче, як це зроблено в попередніх двох прикладах.
a. використовувати базові чотири блоки для множення\(12_{\text{four}} \times 31_{\text{four}}\)
б Використовуйте базові три блоки для множення\(112_{\text{three}} \times 21_{\text{three}}\)
а. отримати з вашої бази три блоки. Ви збираєтеся знайти продукт квартири і квартири зараз. Нам потрібно перетворити першу плоску в лонги, зробити поїзд, і поставити цей горизонтальний поїзд через вершину Т. Потім, перетворіть другу плоску в лонги, зробіть поїзд, поставте цей поїзд у вертикальне положення, під і перпендикулярно довгому шлейфу лонгів, роблячи верхню частину Т. Потім сформуйте прямокутник з купи довгих лонгів під ним. Візьміть прямокутник (не включайте жодних лонгів з верхньої горизонтальної частини T) і торгуйте якомога більше в базовій третій, якщо це можливо. Що таке твір плоских і плоских в основі три?
б. ось ще один спосіб знайти твір плоскі і плоскі в основі три. Для кожної одиниці в першій квартирі покладіть плойку в стопку відповідей. Візьміть всі ці квартири у купі відповідей і торгуйте ними, щоб побачити, що ви отримаєте. Що таке твір плоских і плоских в основі три?
c Вийдіть з вашої бази два блоки. Знайти добуток плоских і плоских в основі два за допомогою методу, поясненого в частині a або b Що таке добуток плоскої і плоскої в основі два?
d Заповніть наступне: У будь-якій базі\(F \times F =\) _____
Ще один спосіб подумати про те, що відбувається, коли ви множите на квартиру, - це думати про квартиру як довго. Припустимо, ви щось множите на квартиру. Спочатку помножте його на довгий, що означає, що він рухається вгору на одне місце значення, а потім помножте цю відповідь на довгу ще раз, що означає, що вона рухається вгору на ще одне місце. Таким чином, все, що помножене на довгий рухається вгору на одне місце значення, і все, що помножене на плоский рухається вгору два значення місця. Множення на квартиру аналогічно множенню на 100 в базовій десятці. 100b в будь-якій основі b являє собою плоску. Подумайте, що відбувається, коли блок множиться на що-небудь.
Виконайте наступне:
| а.\(U \times U =\) ____ | ф.\(F \times U = \) _______ |
| б.\(U \times L = \) _____ | г.\(B \times U = \) _______ |
| c.\(U \times F = \) _____ | ч.\(L \times L = \) _______ |
| д.\(U \times B = \) _____ | i.\(L \times F = \) _______ |
| е.\(L \times U = \) _____ | j.\(L \times B = \) _______ |
Використовуйте базові шість блоків, щоб помножити наступні. \(105_{\text{six}} \times 123_{\text{six}}\). Якщо у вас виникли проблеми, перейдіть на наступну сторінку, де це пояснено, а потім спробуйте ще раз. Покажіть кроки і схему.
Якщо у вас виникли проблеми з #19, нижче наведено скорочене зображення кроків. Множення, показане зліва,\(105_{\text{six}} \times 123_{\text{six}}\) і множення, показане праворуч, є\(123_{\text{six}} \times 105_{\text{six}}\) В обох випадках я почав множити з найбільшим блоком внизу і перемістився зліва направо. В обох випадках кінцевий результат однаковий, і після того, як всі обміни були зроблені, є 1 довгий блок, 3 блоки, 4 квартири і 3 одиниці, що написано в базі шість.\(13403_{\text{six}}\) Це вимагає багато практики, щоб дійсно зробити це з блоками. Але це весело, як тільки ви отримаєте його!
Використовуйте базові три блоки для множення\(102_{\text{three}} \times 120_{\text{three}}\). Показати кроки, як зроблено в прикладі, показаному вище.
Ми можемо скоротити цей процес множення з блоками ще далі. У вправі 18 ви показали продукти, отримані при множенні двох базових блоків разом. Цікавим є те, що квартира раз довгий - це блок, незалежно від того, в якій базі ви знаходитесь. Ви можете насправді скласти діаграму множення для використання блоків.
Заповніть решту діаграми множення нижче.
| \(\times\) | U | Л | F | Б |
| U | ||||
| Л | Л | Б | ||
| F | ФБ | |||
| Б | ФУНТ |
У нашому першому прикладі з блоками ми обчислили\(23_{\text{four}} \times 32_{\text{four}}\). Оскільки ми множимо 2 лонги та 3 одиниці на 3 лонги та 2 одиниці, множення можна записати як\((2L + 3U) \times (3L + 2U)\). Застосовуючи дистрибутивне властивість (або FOIL), отримуємо
\((2L + 3U) \times (3L + 2U)\)
=\(2L \times 3L + 2L \times 2U + 3U \times 3L + 3U \times 2U\)
=\(\bf (2 \times 3)(L \times L) + (2 \times 2)(L \times U) + (3 \times 3)(L \times U) + (3 \times 2)(U \times U)\)
= 6Ф + 4Л + 9Л + 6У
= 6Ф + 13Л + 6У**
У цей момент мають бути зроблені обміни. У базовій четвірці,
6Ф = 1Б+ 2Ф, 13Л = 3Ф+ 1Л і 6У = 1Л+ 2У
= 1Б + 2Ф + 3Ф + 1Л + 1Л + 2У
= 1Б + 5Ф + 2Л + 2У
Зараз 5 квартир обмінюються на будинок і квартиру
= 1Б + 1Б + 1Ф + 2Л + 2У
= 2Б + 1Ф + 2Л + 2У
який написаний як\(2122_{\text{four}}\) в базовій четвірці. Це та сама відповідь, яку ми отримали раніше.
** Якби я\(23 \times 32\) робив в іншій базі, всі кроки до цього моменту точно такі ж. Наприклад, на наступній сторінці та ж основна проблема виконана в базовій шістці. Всі кроки однакові, але зауважте, що після здійснення обмінів вони робляться з базовими шістьма блоками на увазі.
Крім того, не потрібно виписувати крок, який виділений жирним шрифтом. Це застосування комутативних та асоціативних властивостей, і я хотів показати цей крок для роз'яснення.
Ось така ж основна проблема, що і в Base Six.
\( \begin{aligned} & 23_{\text{six}} \times 32_{\text{six}} = (2L + 3U) \times (3L + 2U) \\ &= 2L \times 3L + 2L \times 2U + 3U \times 3L + 3U \times 2U \\ &= (2 \times 3)(L \times L) + (2 \times 2)(L \times U) + (3 \times 3)(L \times U) + (3 \times 2)(U \times U) \\ &= 6F + 4L + 9L + 6U \\ &= 6F + 13L + 6U \\ &= 1B + 2F + 1L + 1L \\ &= 1B + 2F + 2L \\ &= 1220_{\text{six}} \end{aligned} \)
Ось та ж основна проблема, виконана в Base Nine.
\( \begin{aligned} & 23_{\text{nine}} \times 32_{\text{nine}} = (2L + 3U) \times (3L + 2U) \\ &= 2L \times 3L + 2L \times U 3U \times 3L + 3U \times 2U \\ &= 6F + 4L + 9L + 6U \\ &= 6F + 13L + 6U \\ &= 6F + 1F + 4L + 6U \\ &= 7F + 4L + 6U \\ &= 746_{\text{nine}} \end{aligned}\)
Покажіть кроки за допомогою блоків, як показано в попередніх прикладах, щоб помножити наступні.
а.\(23_{\text{five}} \times 32_{\text{five}}\)
б.\(42_{\text{eight}} \times 53_{\text{eight}}\)
Ось приклад використання цього методу для числівників з більш ніж двома цифрами кожен. Ви все ще використовуєте розподільну властивість. Кожен член в перших дужках множиться на кожен член у другій дужці.
\(\begin{aligned} & 212_{\text{five}} \times 102_{\text{five}} = (2F + 1L + 2U) \times (1F + 2U) \\ &= 2F \times 1F + 2F \times 2U + 1L \times 1F + 1L \times 2U + 2U \times 1F + 2U \times 2U \\ &= 2LB + 4F + 1B + 2L + 2F + 4U \\ &= 2LB + 1B + 6F + 2L + 4U \\ &= 2LB + 1B + 1B + 1F + 2L + 4U \\ &= 2LB + 2B + 1F + 2L + 4U \\ &= 22124_{\text{five}} \end{aligned} \)
\(\begin{aligned} & 212_{\text{eight}} \times 102_{\text{eight}} = (2F + 1L + 2U) \times (1F + 2U) \\ &= 2F \times 1F + 2F \times 2U + 1L \times 1F + 1L \times 2U + 2U \times 1F + 2U \times 2U \\ &= 2LB + 4F + 1B + 2L + 2F + 4U \\ &= 2LB + 1B + 6F + 2L + 4U \\ &= 21624_{\text{eight}} \end{aligned} \)
У цьому останньому прикладі ми пішли, не роблячи жодних обмінів. Нам не так пощастило в цьому наступному прикладі, який знаходиться в базі три. Base Three важче працювати, оскільки це займає лише три чогось, перш ніж ви повинні зробити обмін. Іноді це
здається, що все, що ви робите, - це обмін!
\( \begin{aligned} & 212_{\text{three}} \times 102_{\text{three}} = (2F + 1L + 2U) \times (1F + 2U) \\ &= 2F \times 1F + 2F \times 2U + 1L \times 1F + 1L \times 2U + 2U \times 1F + 2U \times 2U \\ &= 2LB + 4F + 1B + 2L + 2F + 4U \\ &= 2LB + 1B + 6F + 2L + 4U \\ &= 2LB + 1B + 2B + 2L + 1L + 1U \\ &= 2LB + 3B + 3L + 1U \\ &= 2LB + 1LB + 1F + 1U \\ &= 3LB + 1F + 1U \\ &= 1FB + 1F + 1U \\ &= 100101_{\text{three}} \end{aligned}\)
Покажіть кроки за допомогою блоків, як показано в попередніх прикладах для множення:
\(212_{\text{four}} \times 102_{\text{four}}\)
Покажіть кроки за допомогою блоків, як показано в попередніх прикладах для множення:
а.\(361_{\text{nine}} \times 15_{\text{nine}}\)
б.\(111_{\text{two}} \times 11_{\text{two}}\)
Ще один спосіб множення з блоками - за допомогою діаграми. Це схоже на те, як ми це зробили для додавання. Це насправді дуже схоже на те, щоб зробити це за допомогою регулярного алгоритму множення, за винятком того, що ми не повинні писати нести, як ми йдемо. Ви просто множите кожну цифру одного числівника на кожну цифру в іншому числівнику, і ставите її у відповідний стовпець. Потім ви додаєте подібні терміни, і все одно робите обміни. Ось приклад виписування його з розподільним властивістю. Нижче контрастуйте з методом за допомогою діаграми.
\( \begin{aligned} & 23_{\text{six}} \times 32_{\text{six}} = (2L + 3U) \times (3L + 2U) \\ &= 2L \times 3L + 2L \times 2U + 3U \times 3L + 3U \times 2U \\ &= 6F + 4L + 9L + 6U \\ &= 6F + 13L + 6U \\ &= 1B + 2F + 1L + 1L \\ &= 1B + 2F + 2L \\ &= 1220_{\text{six}} \end{aligned}\)
На першому кроці виконуються окремі множення. Якщо ви отримаєте 2-значний числівник, просто запишіть його. Не потрібно носити з собою. На кроці 2 додаються подібні терміни. Потім виробляються обміни. Я зробив обмін, спочатку обмінявши одиниці. У кроці 3, Коли 6 одиниць були обміняні, у мене було 0 одиниць і 1 більше довго, тому я перетнув 13 і покласти 14 в наступному стовпці зліва. У кроці 4 я обміняв 14 лонгів на 2 квартири і 2 лонги, тому я перетнув 6 у плоскій колонці, і додав ще 2, щоб отримати 8, і перетнув 14 в довгій колонці, так як залишилося тільки 2. На останньому кроці обмінюються 8 квартир на 1 будинок і 2 квартири. Я показав окремі кроки, вся робота показана на кроці 5. Ось і весь простір, який він займає.
Ось ще три приклади використання діаграм для множення з блоками.
| \(36_{\text{eight}} \times 45_{\text{eight}}\) | \(23_{\text{five}} \times 14_{\text{five}}\) | \(212_{\text{three}} \times 22_{\text{three}}\) |
 |
 |
 |
| =\(2126_{\text{eight}}\) | =\(432_{\text{five}}\) | =\(12222_{\text{three}}\) |
Використовуйте діаграми базових блоків, спочатку записуючи цифри з точки зору фактичних базових блоків, як показано у наведених вище прикладах, щоб обчислити наступне. Покажіть всі свої роботи та кроки нижче.
 а.\(34_{\text{six}} \times 25_{\text{six}}\) = |
б.\(32_{\text{eleven}} \times 4T_{\text{eleven}}\) = |
|
с.\(111_{\text{two}} \times 101_{\text{two}}\) = |
д.\(1E_{\text{twelve}} \times 53_{\text{twelve}}\) = |
|
е.\(212_{\text{three}} \times 22_{\text{three}}\) = |
ф.\(23_{\text{four}} \times 32_{\text{four}}\) = |
Врешті-решт, було б непогано мати можливість робити множення без необхідності думати з точки зору фактичних блоків. Можна використовувати традиційний алгоритм. Для цього ви повинні переконатися, що ви негайно конвертуєте в задану базу, перш ніж писати відповідь. Наприклад,\(4_{\text{five}} \times 4_{\text{five}} = 31_{\text{five}}\) тому що 4 одиниці разів 4 одиниці 16 одиниць, що в базовій п'ятірці перетворюється на 3 лонги і 1 одиницю, яка написана як\(31_{\text{five}}\) в базовій п'ятірці. Хорошим початком є складання деяких таблиць множення в інших базах. Таблиця множення базової сімки показана на наступній сторінці. Майте на увазі, що в базовій семи є сім цифр, тому у вас буде таблиця для заповнення, яка становить 7 рядків по 7 стовпців. Через комутативного властивості в таблиці присутня симетрія, а значить багато відповідей дублюються. Крім того, множення на 0 або 1 є тривіальним. У верхній частині таблиці ми вкажемо, що він знаходиться в основі семи, а потім залишимо від написання основи праворуч і нижче кожного числівника.
Таблиця\(\PageIndex{1}\): База Сім Таблиця множення
| \(\times\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 11 | 13 | 15 |
| 3 | 0 | 3 | 6 | 12 | 15 | 21 | 24 |
| 4 | 0 | 4 | 11 | 15 | 31 | 26 | 33 |
| 5 | 0 | 5 | 13 | 21 | 26 | 34 | 42 |
| 6 | 0 | 6 | 15 | 24 | 33 | 42 | 51 |
Переконайтеся, що ви не читаєте їх як базові десять числівників. 26 означає «дві шість, базова сімка», яка становить 2 лонги і 6 одиниць, або 20 базових десяти одиниць! Простий спосіб розпочати це зробити два рядки і два стовпці, де ви помножити на 0 і 1, потім, вниз по діагоналі, від верхнього лівого до нижнього правого. Потім заповніть цифри над діагоналлю. Використовуючи комутативне властивість, заповніть нижню частину діагоналі.
Складіть таблицю множення для кожної зазначеної бази.
| a. база дві таблиці множення | b. базова три таблиці множення |
| c. базова шість таблиця множення | d Базова вісім Таблиця множення |
| e Базова дванадцять таблиць множення |
Якщо ви можете швидко з'ясувати відповідь на множення двох одиничних цифр в будь-якій заданій базі, тепер ви можете використовувати решітку або стандартний алгоритм, щоб зробити множення в різних базах. Ось кілька прикладів множення чисел в різних підставах за допомогою методу решітки.
|
\(54_{\text{six}} \times 23_{\text{six}} = 2210_{\text{six}}\)  |
\(42_{\text{twelve}} \times 58_{\text{twelve}} = 1E74_{\text{twelve}}\)  |
|
\(202_{\text{three}} \times 21_{\text{three}} = 12012_{\text{three}}\)  |
\(111_{\text{two}} \times 11_{\text{two}} = 10101_{\text{two}}\)  |
Використовуйте решітку, щоб помножити кожне з чисел у заданій базі.
 |
|
|
|
 |
 |
 |
Нарешті, ви можете використовувати стандартний алгоритм множення з перенесенням. Це найкоротший алгоритм з точки зору простору на папері, але ви повинні бути досить досвідченими в розумових розрахунках, що не приходить природно для більшості з нас при роботі в інших базах.
Перш ніж перейти до стандартного алгоритму множення, нам потрібно помітити ще кілька моментів. Перш за все, згадайте, коли ми працювали з блоками, щоб з'ясувати\(L \times L\), і т.д.? Коли щось множилося на довге, все перемістилося вгору на одне місце значення. У базовій десятці, коли ви множите ціле число на 10, ефект полягає в тому, що відповідь є вихідним числом з нулем, прикріпленим до кінця. Тобто кожна цифра переміщала вгору значення місця. Це вірно у всіх підставах. Наприклад,\(524_{\text{seven}} \times 10_{\text{seven}} = 5240_{\text{seven}}\) і\(1T6_{\text{twelve}} \times 10_{\text{twelve}} = 1T60_{\text{twelve}}\). Якщо ви множите на 100 в будь-якій базі, до кінця прив'язуються два нулі і так далі. Цей принцип можна використовувати для множення,\(2000 \times 400\) скориставшись комутативними та асоціативними властивостями множення, як показано нижче:
\(2000 \times 400 = 2 \times 1000 \times 4 \times 100 = 2 \times 4 \times 1000 \times 100 = 8 \times 100000 = 800000\).
Звичайно, немає необхідності виписувати всі кроки назовні. Просто помножте 2 рази 4 і закріпіть на п'ять нулів. Ось один в базовій вісім:\(3000_{\text{eight}} \times 500_{\text{eight}} = 1700000_{\text{eight}}\).
Алгоритм часткових продуктів використовує вищевказаний факт. Алгоритм часткових добутків подібний до того, як ми використовували розподільну властивість для множення з блоками (назад у вправі 22). Наприклад, щоб помножити, перепишіть проблему так:
\(\begin{aligned} & 346 \times 72 = (300 + 40 + 6) \times (70 + 2) \\ &= (300 + 40 + 6) \times 70 + (300 + 40 + 6) \times 2 \\ &= 300 \times 70 + 40 \times 70 + 6 \times 70 + 300 \times 2 + 40 \times 2 + 6 \times 2 \\ &= 21000 + 2800 + 420 + 600 + 80 + 12 \\ &= 24912 \end{aligned}\)
Часткові продукти показані в третьому рядку в прикладі вище. Ними є:
\(300 \times 70, 40 \times 70, 6 \times 70, 300 \times 2, 40 \times 2 \text{ and } 6 \times 2\)
Простіше написати це у вертикальному форматі. Я покажу цю проблему двома способами. Не має значення, які часткові продукти ви розмножуєте в першу чергу. Другий спосіб показаний більш схожий на наш стандартний алгоритм, де ми починаємо з одиниці значення нижнього числа і в кінцевому підсумку працюємо до більших значень місця.
| \(\begin{aligned} 346 \\ \times \underline{ 72} \\ 21000 && (300 \times 70) \\ 2800 && (40 \times 70) \\ 420 && (6 \times 70) \\ 600 && (300 \times 2) \\ 80 && (40 \times 2) \\ \underline{12} && (6 \times 2) \\ 24912 \end{aligned}\) | \(\begin{aligned} 346 \\ \times \underline{ 72} \\ 12 && (2 \times 6) \\ 80 && (2 \times 40) \\ 600 && (2 \times 300) \\ 420 && (70 \times 6) \\ 2800 && (70 \times 40) \\ \underline{21000} && (70 \times 300) \\ 24912 \end{aligned}\) |
Зліва перші три часткові продукти,\(346 \times 70\) а другі - три часткові продукти\(346 \times 2\). Праворуч перші три часткові продукти,\(2 \times 346\) а другі три часткові продукти -\(70 \times 346\).
Наш стандартний алгоритм - це просто скорочення алгоритму часткових продуктів. Ми не пишемо всі нулі, і ми робимо перенесення, пов'язане з додаванням більше одного часткового продукту одночасно в нашій голові. Звичайно, це коротше, але легше помилятися.
\(\begin{aligned} 346 \\ \times \underline{ 72} \\ 692 && (2 \times 346) \\ \underline{24220} && (70 \times 346) \\ 24912 \end{aligned}\)
Зазвичай ми просто переходимо на одне місце зліва, щоб врахувати нуль на своєму місці і не записуємо нуль у 24220. Ми «думаємо» 7 разів 346.
Для кожної задачі випишіть часткові добутки у вертикальному форматі, щоб помножити числа разом. Покажіть свою роботу, визначаючи множення для кожного часткового продукту, як показано в прикладі внизу попередньої сторінки.
| а.\(\begin{aligned} 538 \\ \times \underline{34} \end{aligned}\) | б.\(\begin{aligned} 257 \\ \times \underline{941} \end{aligned}\) |
Нарешті, я наведу кілька прикладів того, як виглядає множення, коли стандартний алгоритм використовується для множення чисел в різних базах. Ви повинні пам'ятати, щоб записати номер і всі несе в базі, в якій ви працюєте. Ми, як правило, завжди ставимо числівник з найбільшою кількістю цифр вгорі, але це не обов'язково. Ось три способи розмноження\(563_{\text{eight}} \times 24_{\text{eight}}\).
ВАЖЛИВЕ ЗАУВАЖЕННЯ:
Кожен числівник нижче знаходиться в базовій вісім, хоча «вісімка» не написана на кожному проміжному кроці. Наприклад,\(4 \times 3\) у першому множенні нижче, робиться в базі 8; отже\(4 \times 3 = 14\).
| \(\begin{aligned} 563&_{\text{eight}} \\ \times \underline{ 24}&_{\text{eight}} \\ 2714 \\ \underline{13460} \\ 16374&_{\text{eight}} \end{aligned}\) | \(\begin{aligned} 24&_{\text{eight}} \\ \times \underline{ 563}&_{\text{eight}} \\ 74 \\ 1700 \\ \underline{14400} \\ 16374&_{\text{eight}} \end{aligned}\) | \(\begin{aligned} 563&_{\text{eight}} \\ \times \underline{ 24}&_{\text{eight}} \\ 14 && (4 \times 2) \\ 300 && (4 \times 60) \\ 2400 && (4 \times 500) \\ 60 && (20 \times 3) \\ 1400 && (20 \times 60) \\ \underline{12000} && (20 \times 500) \\ 16374&_{\text{eight}} \end{aligned}\) |
Помножте наступні числа разом за допомогою двох різних алгоритмів (або перемикання порядку чисел навколо, як показано вище). Покажіть свою роботу. Не робіть цього, перетворюючи кожне число в базову десятку, множивши їх разом, а потім конвертуйте назад в задану базу. Використовуйте кожен алгоритм хоча б один раз; решітку, часткові добутки, стандартний алгоритм, використовуючи блоки з діаграмами, використовуючи розподільну властивість з блоками або без них. У вас є багато варіантів, але завжди майте на увазі, в якій базі ви працюєте. Вам потрібно знати всі алгоритми іспиту, тому обов'язково спробуйте їх усі. Гаразд, отримуйте задоволення!
\(23_{\text{five}} \times 43_{\text{five}}\)
| Перший спосіб: | Другий спосіб: |
\(612_{\text{seven}} \times 35_{\text{seven}}\)
| Перший спосіб: | Другий спосіб: |
\(1011_{\text{two}} \times 1101_{\text{two}}\)
| Перший спосіб: | Другий спосіб: |
\(2121_{\text{three}} \times 202_{\text{three}}\)
| Перший спосіб: | Другий спосіб: |
\(4T1_{\text{tweleve}} \times 27_{\text{tweleve}}\)
| Перший спосіб: | Другий спосіб: |
\(423_{text{six}} \times 145_{\text{six}}\)
| Перший спосіб: | Другий спосіб: |
\(2212_{\text{three}} \times 210_{\text{three}}\)
| Перший спосіб: | Другий спосіб: |
\(5421_{\text{six}} \times 44_{\text{six}}\)
| Перший спосіб: | Другий спосіб: |
\(10110_{\text{two}} \times 1111_{\text{two}}\)
| Перший спосіб: | Другий спосіб: |
\(E4T_{\text{twelve}} \times E2_{\text{twelve}}\)
| Перший спосіб: | Другий спосіб: |
\(6661_{\text{eight}} \times 72_{\text{eight}}\)
| Перший спосіб: | Другий спосіб: |
\(1212_{\text{four}} \times 302_{\text{four}}\)
| Перший спосіб: | Другий спосіб: |
\(4234_{\text{five}} \times 244_{\text{five}}\)
| Перший спосіб: | Другий спосіб: |