4.1: Визначення та властивості
- Page ID
- 66920
Цей набір вправ представляє інший, складний спосіб для вас, щоб подивитися на множення. Ви будете використовувати сантиметрові смужки (С-смужки) для вивчення та виявлення комутативних, асоціативних та розподільних властивостей множення. Нижче наведено нагадування про різні C-смужки, з якими ми працюватимемо разом із абревіатурою, яка використовується для кожного виділеного жирним шрифтом:
| 1 см на 1 см | МИ БІЛИМ | 1 см на 2 см | Р ЕД |
| 1 см на 3 см | L СВІТЛО-ЗЕЛЕНИЙ | 1 см на 4 см | P ФІОЛЕТОВИЙ |
| 1 см на 5 см | ЖОВТИЙ | 1 см на 6 см | D ТЕМНО-ЗЕЛЕНИЙ |
| 1 см на 7 см | ЧОРНИЙ К | 1 см на 8 см | КОРИЧНЕВИЙ N |
| 1 см на 9 см | B СИНІЙ | 1 см на 10 см | O ДІАПАЗОН |
| 1 см на 11 см | S СРІБЛО | 1 см на 12 см | ЯСКРАВО-РОЖЕВИЙ |
Почнемо з визначення способу «множення» двох С-смужок разом. Подумайте про множення фіолетової C-смужки на жовту C-смужку. Використовуючи скорочення, напишемо\(P \times Y\), які будемо читати вголос як «P cross Y». Першим кроком у цьому «множенні» є розміщення першої смуги (P) вниз в горизонтальному положенні, а потім розмістити другу смугу (Y) під першою смугою так, щоб вона була перпендикулярна першій смузі. Другий крок - заповнити більше жовтих С-смужок поруч з уже наявною, щоб сформувати прямокутник з жовтих смужок, де довжина - жовта смужка, а ширина - фіолетова смужка. Останнім видаліть горизонтальну смугу (фіолетову в даному випадку) і сформуйте шлейф вертикальної смуги (смуги) (жовтої в даному випадку). Цей поїзд є\(P \times Y\) і показаний нижче. Дивіться ілюстрації трьох кроків.
Ми говоримо\(P \times Y\), що це поїзд, що складається з 4 жовтих С-смуг. Важливо зауважити, що відповіддю є шлейф, який утворюється тільки жовтими смужками, що є другою літерою в множенні.
а) Зробіть поїзд,\(P \times Y\) як пояснено вище. Збережіть його, поки не закінчите частину d.
b Знайдіть,\(Y \times P\) дотримуючись тієї ж процедури, яка використовується для пошуку\(P \times Y\), виконавши перші два кроки та показавши їх нижче.
| Крок 1: | Крок 2: |
c Цей поїзд, з яким ви в кінцевому підсумку закінчите, повинен складатися лише з фіолетових С-смужок. Скільки існує фіолетових смужок? Намалюйте малюнок поїзда\(Y \times P\).
d Помістіть два поїзди,\(P \times Y\) і\(Y \times P\), пліч-о-пліч і порівняйте довжини двох поїздів. Що ви помічаєте?
Щоб зробити позначення простими, погодьмося сказати, що два поїзда рівні, якщо вони мають однакову довжину. Іншими словами, з того, що ви виявили у вправі 1,\(P \times Y = Y \times P\).
Для наступних вправ опишіть поїзди, утворені шляхом виконання наступних множень за допомогою С-смужок. Ви повинні фізично сформувати кожен поїзд, пройшовши ті самі кроки, які використовувалися для множення\(P \times Y\) на попередній сторінці. Для частини а і б заповніть перший бланк числівником (скільки), а другий бланк кольором. Збережіть кожен поїзд для того, щоб відповісти частина c Використовуйте спостереження, щоб написати рівняння, запитані у вправі 1d. Наприклад, оскільки ви виявили\(P \times Y = Y \times P\), це означає\(4 \times 5 = 5 \times 4\), що P має довжину 4 см, а Y - 5 см завдовжки. Використовуйте цей приклад, щоб заповнити пробіли для вправ 2, 3 і 4.
Знайти\(P \times Y\). Цей поїзд складається з
Знайти\(Y \times P\). Цей поїзд складається з
а. знайти\(R \times D\). Цей поїзд складається з _____ С-смуг
б. знайти\(D \times R\). Цей поїзд складається з ______ С-смуг
c.\(R \times D\) складається з ____ білих смужок і\(D \times R\) складається з _____ білих смужок.
d Що ви помічаєте, коли порівнюєте довжини поїздів\(R \times D\) і\(D \times R\)?
е З вашої роботи в частинами a - d напишіть рівняння, що включає С-смужки R і D; потім переведіть рівняння в одиницю з числами.
а. знайти\(K \times L\). Цей поїзд складається з _____ С-смуг
б. знайти\(L \times K\). Цей поїзд складається з _____ С-смуг
c.\(K \times L\) складається з ____ білих смужок і\(L \times K\) складається з _____ білих смужок.
d Що ви помічаєте, коли порівнюєте довжини поїздів\(K \times L\) і\(L \times K\)?
е З вашої роботи в частинами a - d напишіть рівняння, що включає С-смужки K і L; потім переведіть рівняння в одиницю з числами.
а. знайти\(H \times W\). Цей поїзд складається з _____ С-смуг
б. знайти\(W \times H\). Цей поїзд складається з _____ С-смуг
c.\(H \times W\) складається з ____ білих смужок і\(W \times H\) складається з ____ білих смужок.
d Що ви помічаєте, коли порівнюєте довжини поїздів\(H \times W\) і\(W \times H\)?
е З вашої роботи в частинами a - d напишіть рівняння, що включає С-смужки H і W; потім переведіть рівняння в одиницю з числами.
Наведені вище завдання ілюструють комутативну властивість множення для поїздів.
Комутативна властивість множення для поїздів стверджує, що якщо s і t - будь-які два поїзди, то\(s \times t = t \times s\)
Примітка: Поїзд може складатися з однієї або декількох С-смуг. Іншими словами, одна біла (або будь-якого іншого кольору) С-смужка насправді є шлейфом. Там не повинно бути кабуз і двигун!
Заповніть пробіли до кожної з наступних завдань. Для цього візьміть кольорову c-смужку, показану після знака множення, і зробіть з того кольору шлейф, який по довжині дорівнює c-смужці з правого боку знака рівності. По-друге, візьміть шлейф і сформуйте його в прямокутник. Потім знайдіть c-смужку, яка підходить по ширині прямокутника. Напишіть абревіатуру для цієї c-смужки в порожньому бланку.
| а. ____\(\times R = H\) | б. ____\(\times P = P\) | c. ____\(\times L = D\) |
| д. ____\(\times R = N\) | е. ____\(\times L = B\) | ф. ____\(\times W = K\) |
| г. ____\(\times R = D\) | ч. ____\(\times D = H\) | i. ____\(\times Y = O\) |
а. вийміть гарячу рожеву (H) C-смужку. Використовуйте свої C-смужки (один колір за раз), щоб побачити, чи можете ви сформувати поїзд, що складається з c-смужок того ж кольору, рівного по довжині яскраво-рожевій c-смужці іншими словами, подивіться, чи можете ви зробити це з усіма білими (завжди можливо для будь-якого поїзда), або всі червоні, або всі світло-зелені тощо Ви повинні бути в змозі зробити шість різних поїзди кожен поїзд складається з одного кольору. Намалюйте малюнок кожного з цих поїздів під показаним Hot Pink. Я намалював два потяги для вас вже один просто яскраво-рожева смуга (поїзд, що складається тільки з однієї c-смуги), а другий складається з трьох фіолетових c-смуг.
б Ваша робота з вправи 5 повинна допомогти завершити цю вправу. Візьміть кожен шлейф, по одному, і покладіть кожну смужку у вертикальне положення, але поруч, щоб сформувати прямокутник. Потім знайдіть c-смужку, яка підходить по ширині (або вершині) прямокутника. Це повинно підказати, з якої проблеми множення утворився кожен поїзд. Напишіть рівняння за допомогою c-смужок, а потім перекладіть до рівняння з числами. Наприклад, для поїзда 2, спочатку я б зробив прямокутник з трьох фіолетових c-смуг. Далі я б спробував знайти c-смужку, щоб помістилася поперек верху, яка була б світло-зеленим. Тому шлейф 2 утворився з множення\(L \times P\) пам'ятайте, що так як шлейф утворений фіолетовими c-смужками, P - друга буква в множенні. Отже, рівняння в c-смужках є\(L \times P = H\), а числовий еквівалент є\(3 \times 4 = 12\). Дотримуйтесь цієї ж процедури для інших чотирьох поїздів, які ви зробили в частині a.
Поїзд 1 ілюструє множення\(W \times H = H\), або\(1 \times 12 = 12\). (Зверніть увагу, що якщо яскраво-рожева смужка вертикальна, біла c-смужка поміщається вгорі.)
Поїзд 2 ілюструє множення\(L \times P\) = H, або\(3 \times 4 = 12\)
Потяг 3 ілюструє множення\(\times\) ____ ____ = H, або ____\(\times\) ____ = 12
Потяг 4 ілюструє множення\(\times\) ____ ____ = H, або ____\(\times\) ____ = _____
Поїзд 5 ілюструє множення\(\times\) ____ ____ = H, або ____\(\times\) ____ = _____
Потяг 6 ілюструє множення\(\times\) ____ ____ = H, або ____\(\times\) ____ = _____
Для тренування 2 у вправі 6 я зробив шлейф з фіолетових c-смужок, рівних по довжині яскраво-рожевої c-смужці. Тепер зробіть шлейф з фіолетових c-смужок, рівних по довжині коричневій (N) c-смужці. Візьміть шлейф фіолетових c-смужок і складіть його в прямокутник.
Який колір c-strip вимірює ширину цього прямокутника? ______
Поставте відповідь (абревіатура від c-смужки) в бланк для вирішення множення: ____\(\times\) P = N.
Тепер ми розглянемо більше про рівняння, сформовані у вправі 5. Розглянемо частину а. Ви повинні були написати\(D \times R = H\). Це аналогічно твердженню\(6 \times 2 = 12\). Але, якщо ви насправді подивитеся на оригінальний поїзд, який був сформований, щоб знайти відповідь, ви побачите, що було 6 червоних c-смуг, які зробили поїзд рівним по довжині гарячої рожевої c-смуги. Це породжує одне з цілих числових визначень множення. Множення - це дійсно те ж саме, що і повторне додавання.
Якщо a і b є цілими числами, то a\(\times\) b = b + b+ b+ b +... + b, де в цій сумі є додатки b.
Мені подобається думати про використання такого визначення:
3\(\times\) 4 означає 3 четвірки, складені разом або 3\(\times\) 4 = 4 + 4 + 4 = 12
4\(\times\) 3 означає 4 трійки, складені разом, або 4\(\times\) 3 = 3 + 3 + 3 = 12
5\(\times\) 2 означає 5 двійки, складені разом, або 5\(\times\) 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
2\(\times\) 5 означає 2 п'ятірки, складені разом, або 2\(\times\) 5 = 5 + 5 = 10
Зверніть увагу, що хоча 3\(\times\) 4 дає ту ж відповідь, що і 4\(\times\) 3, це не означає те ж саме! Один означає 4 + 4 + 4, а інший означає 3 + 3 + 3 + 3. Перш ніж ми заглибимось далі в цю дискусію, я хочу, щоб ви використали повторне визначення додавання для обчислення наступного:
Використовуйте повторне додавання визначення множення, щоб обчислити наступне. Спочатку випишіть значення множення, а потім обчислюйте відповідь.
а. 6\(\times\) 3 =
б. 2\(\times\) 9 =
c. 9\(\times\) 2 =
Тепер вам може здатися очевидним, що 3\(\times\) 4 - це та ж відповідь, що і 4\(\times\) 3. Це тому, що ви, без сумніву, використовували комутативну властивість додавання протягом багатьох років. Незалежно від того, чи дійсно ви думали про те, чому це правда, інша справа. Але, хоча 3\(\times\) 4 дає ту ж відповідь, що і 4\(\times\) 3, це не означає те ж саме. Один означає 4 + 4 + 4, а інший означає 3 + 3 + 3 + 3. Щоб дитина тільки дізналася про додавання і множення, немає підстав для них робити висновок, що одна сума (4 + 4 + 4) дає таку ж відповідь, як і інша сума (3 + 3 + 3 + 3). Наприклад, якби мене попросили обчислити наступні дві суми, мені взагалі не було б очевидно, що відповідь на кожну буде в кінцевому підсумку однаковою:
| 17 + 17 + 17 + 17 і 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 |
Насправді, я вважаю це досить дивним, що вони рівні. Але, дійсно, вони є, тому що перша сума походить від проблеми множення 4\(\times\) 17 (так як є 4 сімнадцяти разом), а друга сума походить від проблеми множення 17\(\times\) 4 (так як є 17 четвірки разом). Пізніше, коли ми обговорюємо більш геометричне визначення множення, стає очевидним, чому комутативне властивість множення вірно.
Комутативна властивість множення для цілих чисел говорить, що якщо a і b є будь-якими двома числами, то
\[a \times b = b \times a. \nonumber \]
Отже, дуже захоплююча річ про комутативну властивість множення полягає в тому, що, враховуючи проблему, як 100\(\times\) 7, де це займе багато часу, щоб виписати і обчислити відповідь, використовуючи суворе визначення множення, додаючи 7 знову і знову, ми можемо використовувати наші знання про комутативне властивість, тобто 100\(\times\) 7 = 7\(\times\) 100, і обчислити друге множення замість цього. Чи не згодні ви, що 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 швидше і простіше обчислити, ніж скласти 100 сімок? Слава богу за комутативну властивість множення!!!
Перш ніж перейти до іншого властивості, давайте на практиці перевіримо, що комутативне властивість множення вірно для деяких чисел за допомогою повторного додавання визначення множення. Комутативна властивість вимагає двох чисел (вони не повинні бути двома різними числами), і є дві сторони рівняння для перевірки. Різниця між виразами a\(\times\) b і b\(\times\) a полягає в тому, що порядок чисел різний. Пам'ятайте, що комутативна власність означає, що відбулася зміна порядку. Щоб перевірити комутативну властивість множення, потрібно використовувати повторне додавання визначення множення і скласти зліва направо, по одному числу за раз. Наступний приклад показує, як перевірити комутативну властивість множення, задану множину з двох чисел.
Переконайтеся, що комутативне властивість множення вірно для заданого набору чисел. Вам доведеться пам'ятати, як додати в базову шість, щоб зробити частину b.
a. {5, 3}
Рішення
Мені потрібно показати\(5 \times 3 = 3 \times 5\). Так як\(5 \times 3\) = 3 + 3 + 3 + 3 = 6 + 3 + 3 + 3 = 9 + 3 + 3 = 12 + 3 = 15 і так як\(3 \times 5\) = 5 + 5 + 5 = 10 + 5 = 15, то\(5 \times 3 = 3 \times 5\), тому що обидва рівні 15.
б. {\(3_{\text{six}}, 4_{\text{six}}\)}
Рішення
Мені потрібно показати\(3_{\text{six}} \times 4_{\text{six}} = 4_{\text{six}} \times 3_{\text{six}}\) Відтоді\(3_{\text{six}} \times 4_{\text{six}} = 4_{\text{six}} + 4_{\text{six}} + 4_{\text{six}} = 12_{\text{six}} + 4_{\text{six}} = 20_{\text{six}}\) і з тих пір\(4_{\text{six}} \times 3_{\text{six}} = 3_{\text{six}} + 3_{\text{six}} + 3_{\text{six}} + 3_{\text{six}} = 10_{\text{six}} + 3_{\text{six}} + 3_{\text{six}} = 13_{\text{six}} + 3_{\text{six}} = 20_{\text{six}}\)\(3_{\text{six}} \times 4_{\text{six}} = 4_{\text{six}} \times 3_{\text{six}}\), тому що обидва рівні\(20_{\text{six}}\).
Перевірте комутативну властивість множення, написавши рівняння, яке повинно бути істинним, і використовуючи повторне додавання визначення множення істинно, використовуючи задану множину чисел. Спрощуйте кожен вираз окремо; потім покажіть, що вони рівні.
| a. {4, 3} |
| б. {\(2_{\text{five}}\),\(3_{\text{five}}\)} |
| c Складіть набір в базу, відмінну від 10, і перевірте комутативну властивість множення. |
Ми також можемо використовувати повторне додавання визначення множення для множення в інших системах числення. Вивчіть наступні приклади, а потім опрацюйте проблеми у вправі 10.
Зверніть увагу, що всі ці приклади виконані повністю в заданій системі числення. Всі кроки показані в цій системі числення. Ось як ви повинні робити проблеми у вправі 10. Якщо ви хочете, ви можете перевірити відповідь після завершення проблеми, перетворивши на базову десятку. Наприклад, приклад майя в десятій основі 2\(\times\) 132. Так що відповідь повинна бути 264. Якщо ви конвертуєте остаточну відповідь на базову десятку, це також 264.
Використовуйте повторне додавання визначення множення, щоб обчислити наступне. Переконайтеся, що ви виписуєте сенс множення в наведеній системі (див. приклади на попередній сторінці), показуючи всі роботи і обміни (якщо необхідно), щоб обчислити відповідь. Не робіть проблему в базовій десятці, хоча ви можете використовувати базову десятку, щоб перевірити відповідь, коли закінчите.
|
а.  |
|
б.  |
|
c.  |
Далі ми будемо формувати поїзди для\((R \times L) \times P\) і для\(R \times (L \times P)\). Ми можемо працювати лише по одному. В обох випадках спочатку потрібно зробити те, що знаходиться всередині дужок.
а. по-перше, зробимо\((R \times L) \times P\). Почніть з формування поїзда\(R \times L\) для використання в частині b.
б. далі нам потрібно сформувати шлейф\((R \times L) \times P\). Перша частина\(R \times L\), яку ви сформували в частині а, повинна знаходитися в горизонтальному положенні, а фіолетова с-смужка йде під неї, перпендикулярно шлейфу\(R \times L\). Зверніть увагу,\(R \times L\) що хоча і складається з більш ніж однієї c-смуги, вона все ще утворює один поїзд через вершину. У просторі праворуч намалюйте картину того, як це виглядає досі.
c Зробіть множення, заповнивши решту фіолетових c-смужок у вертикальному положенні під поїздом\(R \times L\); потім сформуйте поїзд з прямокутника фіолетових c-смужок. Тримайте цей поїзд, поки не закінчите всі вправи 11. Скільки фіолетових c-смужок у поїзді, утвореному шляхом множення\((R \times L) \times P\)?
d Тепер, ми зробимо\(R \times (L \times P)\). Почніть з формування поїзда\(L \times P\) для використання в частині е.
е. далі формуємо поїзд\(R \times (L \times P)\). Першу частину, R, покладіть в горизонтальне положення. Друга частина\(L \times P\), утворена в частині d, повинна йти у вертикальному положенні як один довгий поїзд, під і перпендикулярно до поїзда R. Не відокремлюйте фіолетові смуги в\(L \times P\) лінію вгору як один довгий вертикальний поїзд (складається з більш ніж однієї фіолетової С-смуги) під червоною c-смугою. Праворуч намалюйте картину того, як це виглядає досі.
f Зробіть множення, заповнивши решту фіолетових c-смужок, щоб сформувати прямокутник; потім зробіть поїзд з прямокутника фіолетових c-смужок. Скільки фіолетових c-смужок у поїзді, утвореному шляхом множення\(R \times (L \times P)\)?
г Порівняти довжину поїзда\((R \times L) \times P\), з частини c з довжиною поїзда\(R \times (L \times P)\), з частини f Що ви помітили?
h З вашого спостереження напишіть рівняння за допомогою c-смужок:
i. переведіть рівняння з частини h в одиницю з числами:
j Запишіть ліву частину рівняння, яке ви записали в частині i (яка має числа, а не c-смужки), і спростити, дотримуючись порядку операцій, виконайте те, що знаходиться в дужках спочатку. Потім виконайте те ж саме для правої частини рівняння.
Ліва сторона:
Права сторона:
k Чи є два вирази, які ви спростили в частині (j) рівними? Якщо так, ви переконалися, що рівняння з частини (i) є істинним
Далі ми будемо формувати поїзди для (\(Y \times R) \times L\)і для\(Y \times (R \times L)\).
а. спочатку зробимо (\(Y \times R) \times L\). Почніть з формування поїзда\(Y \times R\).
б. далі нам потрібно сформувати шлейф (\(Y \times R) \times L\). Перша частина\(Y \times R\), яку ви сформували в частині а, повинна знаходитися в горизонтальному положенні, а світло-зелена с-смуга повинна йти під неї, перпендикулярно шлейфу\(Y \times R\). Зверніть увагу,\(Y \times R\) що хоча складається з більш ніж однієї c-смуги, він все ще утворює один поїзд, який знаходиться через вершину. Це нормально. Нижче намалюйте картину того, як це виглядає досі.
c Зробіть множення, заповнивши решту світло-зелених c-смужок, а потім зробивши поїзд з прямокутника світло-зелених c-смужок. Тримайте цей поїзд, поки не закінчите всі вправи 12. Скільки світло-зелених c-смужок у поїзді, утвореному шляхом множення\((Y \times R) \times L\)?
d Тепер, ми зробимо\(Y \times (R \times L)\). Почніть з формування поїзда\(R \times L\).
е. далі формуємо поїзд\(Y \times (R \times L)\). Першу частину, Y, покладіть в горизонтальне положення. Друга частина\(R \times L\), утворена в частині d, повинна йти у вертикальному положенні як один довгий поїзд, під і перпендикулярно до поїзда Y. не відокремлюйте світло-зелені смуги в\(R \times L\) лінію вгору як один довгий вертикальний поїзд (складається з більш ніж однієї світло-зеленої С-смуги) під жовтою c-смугою. Праворуч намалюйте картину того, як це виглядає досі.
f Зробіть множення, заповнивши решту світло-зелених c-смужок, щоб сформувати прямокутник, а потім зробивши поїзд з прямокутника світло-зелених c-смужок. Скільки світло-зелених c-смужок в поїзді, утвореному множенням\(Y \times (R \times L)\)?
г Порівняйте довжину поїзда\((Y \times R) \times L\), з частини c з довжиною поїзда\(Y \times (R \times L)\), з частини f Що ви помічаєте?
h З вашого спостереження напишіть рівняння за допомогою c-смужок:
i. переведіть рівняння з частини h в одиницю з числами:
j Запишіть ліву частину рівняння, яке ви записали в частині i (яка має числа, а не c-смужки), і спростити, дотримуючись порядку операцій, виконайте те, що знаходиться в дужках спочатку. Потім виконайте те ж саме для правої частини рівняння.
Ліва сторона:
Права сторона:
k Чи є два вирази, які ви спростили в частині (j) рівними? Якщо так, ви переконалися, що рівняння з частини (i) є істинним.
Вправи 11 і 12 ілюструють асоціативну властивість множення для поїздів.
Асоціативна властивість множення для поїздів стверджує, що якщо r, s і t - будь-які три поїзди, то\((r \times s) \times t = r \times (s \times t\)).
Перш ніж перейти до будь-яких інших властивостей, ми будемо практикувати перевірку того, що асоціативне властивість множення вірно для деяких чисел в основі десять пізніше, ми зробимо це і в інших базах, теж. Асоціативна властивість вимагає трьох чисел (вони не повинні бути трьома різними числами), і на кожній стороні рівняння є різні вирази. Різниця між лівою і правою сторонами полягає в тому, що круглі дужки знаходяться навколо різної пари чисел. Пам'ятайте, що асоціативне властивість означає, що є зміна дужок, тоді як комутативна властивість означає, що відбулася зміна порядку. Для перевірки потрібно використовувати порядок операцій при спрощенні кожної сторони. Якщо кожен вираз спрощує одне і те ж, рівняння є істинним. У порядку операцій ви завжди спрощуєте те, що знаходиться в дужках першим. Нижче наведено кілька прикладів того, як перевірити асоціативне властивість множення, задане набір з трьох чисел.
Асоціативне властивість множення для цілих чисел говорить, що якщо a, b і c - будь-які три числа, то\(( a \times b ) \times c = a \times ( b \times c )\).
Переконайтеся, що асоціативна властивість множення є істинною, використовуючи три числа {4, 5, 7} у вашому прикладі.
Примітка: Оскільки асоціативна властивість держави\((a \times b) \times c = a \times (b \times c)\), одне з заданих чисел ставиться для a, інше для b, а інше для c. Наприклад, ми можемо показати, що будь-яке з наступних шести рівнянь є істинним:
| а.\((4 \times 5) \times 7 = 4 \times (5 \times 7)\) або д.\((4 \times 7) \times 5 = 4 \times (7 \times 5)\) |
| б.\((5 \times 4) \times 7 = 5 \times (4 \times 7)\) або е.\((7 \times 4) \times 5 = 7 \times (4 \times 5)\) |
| в.\((7 \times 5) \times 4 = 7 \times (5 \times 4)\) або ф\((5 \times 7) \times 4 = 5 \times (7 \times 4)\). |
Якби це було питання на тесті, вам доведеться лише перевірити одне з шести показаних рівнянь, завжди є шість можливостей, які можна вибрати, залежно від того, які числа ви введете для a, b або c Я покажу вам, як це зробити, якщо ви вирішили перевірити рівняння (е). Я також перевіряю це для іншого рівняння (f). Потім, для практики, ви можете перевірити інші чотири рівняння.
Одне рішення для прикладу 1: Я покажу:\((7 \times 4) \times 5 = 7 \times (4 \times 5)\)
Ліва сторона:\((7 \times 4) \times 5 = 28 \times 5 = 140\) і права сторона:\(7 \times (4 \times 5) = 7 \times 20 = 140\)
Так як я використовував порядок операцій для спрощення кожного виразу, і обидва вирази рівні, асоціативне властивість істинно з використанням чисел 4, 5 і 7.
Ось інший спосіб перевірити це за допомогою іншого рівняння.
Ще одне рішення для прикладу 1: Я покажу:\((5 \times 7) \times 4 = 5 \times (7 \times 4)\)
Ліва сторона:\((5 \times 7) \times 4 = 35 \times 4 = 140\) і права сторона:\(5 \times (7 \times 4) = 5 \times 28 = 140\)
Так як я використовував порядок операцій для спрощення кожного виразу, і обидва вирази рівні, асоціативне властивість істинно з використанням чисел 4, 5 і 7.
Перевірте асоціативне властивість множення істинно за допомогою чисел 4, 5 і 7, виконавши порядок операцій з кожного боку. Зробіть це чотири рази, використовуючи рівняння a, b, c, а потім d, як показано на попередній сторінці.
| а. перевірити:\((4 \times 5) \times 7 = 4 \times (5 \times 7)\) |
| б Перевірте:\((5 \times 4) \times 7 = 5 \times (4 \times 7)\) |
| c Перевірте:\((7 \times 5) \times 4 = 7 \times (5 \times 4)\) |
| d) Перевірте:\((4 \times 7) \times 5 = 4 \times (7 \times 5)\) |
Щоб перевірити асоціативну властивість множення істинно на прикладі, спочатку ви повинні написати рівняння, яке повинно бути істинним, використовуючи будь-які три числа (або використовуючи три конкретні числа, дані вам.) Потім, виконуючи порядок операцій з кожного боку (кожен окремий вираз), ви повинні показати, що кожна сторона рівняння дає однаковий результат.
Переконайтеся, що асоціативне властивість є істинним, використовуючи цифри 10, 8 і 3.
а Я покажу це рівняння вірно:\((10 \times 8) \times 3 = 10 \times (8 \times 3)\)
Так як\((10 \times 8) \times 3 = 80 \times 3 = 240\) і\(10 \times (8 \times 3) = 10 \times 24 = 240\), то\((10 \times 8) \times 3 = 10 \times (8 \times 3)\) рівняння вірно.
Переконайтеся, що асоціативна властивість є true за допомогою заданих чисел.
a. {9, 7, 6}
б. будь-які три числа на ваш вибір.
Час працювати над іншим об'єктом нерухомості...
КРОК 1: Формуємо поїзд\(P \times (R + L)\). Для цього фіолетову смужку слід помістити в горизонтальне положення, а шлейф R + L розташувати у вертикальному положенні під фіолетовою c-смужкою. Потім прямокутник потрібно заповнити. В останню чергу зробіть довгий шлейф з прямокутника. Зверніть увагу, що цей шлейф складається з 8 c-смужок (4 червоних і 4 світло-зелені). Збережіть цей поїзд.
КРОК 2: Сформуйте два поїзди:\(P \times R\) і\(P \times L\). Потім складіть два потяги разом (іншими словами,\(P \times R + P \times L)\) щоб сформувати один довгий поїзд. Зверніть увагу, що цей шлейф складається з 8 c-смужок (4 червоних і 4 світло-зелені). Порівняйте довжину поїзда, сформованого на кроці 1, з цим поїздом. Вони однакової довжини? Вони складаються з однакових точних c-смужок?
Ми щойно показали і перевірили це\(P \times (R + L) = P \times R + P \times L\).
а Сформуйте поїзд\(L \times (P + Y)\), спочатку сформувавши поїзд P + Y., Потім зробіть множення\(L \times (P + Y)\). Які саме c-смужки складають цей поїзд?
б. формувати поїзд\(L \times P\) і\(L \times Y\). Тепер складіть їх разом, щоб сформувати один довгий шлейф. Які саме c-смужки складають цей поїзд?
c. порівняйте поїзди з частини a і b, і запишіть рівняння (з c-смужками).
d) Перевести рівняння з частини c шляхом написання рівняння з використанням чисел.
e Перевірте рівняння, яке ви написали в частині d, спочатку спростивши ліву частину рівняння, використовуючи порядок операцій, а потім спростивши праву частину. Якщо відповідь на кожен вираз однакова, ви перевірили рівняння.
ліва сторона:
права сторона:
а Сформуйте поїзд\(R \times (W + D)\), спочатку сформувавши поїзд W + D Потім виконайте множення\(R \times (W + D)\). Які саме c-смужки складають цей поїзд?
б. формувати поїзд\(R \times W\) і\(R \times D\). Тепер складіть їх разом, щоб сформувати один довгий шлейф. Які саме c-смужки складають цей поїзд?
c. порівняйте поїзди з частини a і b, і запишіть рівняння (з c-смужками).
d) Перевести рівняння з частини c шляхом написання рівняння з використанням чисел.
e Перевірте рівняння, яке ви написали в частині d, спочатку спростивши ліву частину рівняння, використовуючи порядок операцій, а потім спростивши праву частину. Якщо відповідь на кожен вираз однакова, ви перевірили рівняння.
ліва сторона:
права сторона:
Наведені вище завдання ілюструють розподільну властивість множення над складанням для поїздів.
Розподільна властивість множення над складанням для поїздів стверджує, що якщо r, s і t - будь-які три поїзди (кожен поїзд може складатися з однієї або декількох c-смуг), то\(r \times (s + t) = (r \times s) + (r \times t)\).
Тепер настав час практикувати перевірку розподільної властивості множення над додаванням вірно для деяких чисел у базовій десятці - пізніше ми зробимо це і в інших базах. Розподільна властивість вимагає трьох чисел (вони не повинні бути трьома різними числами), і є дві сторони рівняння для перевірки. Зверніть увагу на різницю між лівою і правою сторонами. Для перевірки потрібно використовувати порядок операцій при спрощенні кожної сторони. У порядку операцій ви завжди спрощуєте те, що знаходиться в дужках першим. Якщо кожен вираз спрощує одне і те ж, рівняння є істинним. Нижче наведено кілька прикладів того, як перевірити розподільне властивість множення, задане набір з трьох чисел.
Розподільна властивість множення над додаванням для цілих чисел стверджує, що якщо a, b і c - будь-які три числа, то\(a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)\).
Переконайтеся, що розподільна властивість множення є істинним, використовуючи три числа {4, 5, 7} у вашому прикладі.
Примітка: Оскільки розподільна властивість держави\(a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)\), одне з заданих чисел ставиться для a, інше для b, а інше для c. Наприклад, ми можемо показати, що будь-яке з наступних шести рівнянь є істинним:
| а.\(4 \times (5 + 7) = (4 \times 5) + (4 \times 7)\) або д.\(5 \times (7 + 4) = (5 \times 7) + (5 \times 4)\) |
| б.\(4 \times (7 + 5) = (4 \times 7) + (4 \times 5)\) або е.\(7 \times (4 + 5) = (7 \times 4) + (7 \times 5)\) |
| в.\(5 \times (4 + 7) = (5 \times 4) + (5 \times 7)\) або ф.\(7 \times (5 + 4) = (7 \times 5) + (7 \times 4)\) |
Якби це було питання на тесті, вам доведеться перевірити лише одне з шести показаних рівнянь. Завжди існує шість можливостей, які можна вибрати, залежно від того, які числа ви введете для a, b або c Я покажу вам, як це зробити, якщо ви вирішили перевірити рівняння (c). Я також перевіряю це для іншого рівняння (f). Потім, для практики, ви можете перевірити інші чотири рівняння.
Одне рішення для прикладу 1: Я покажу:\(5 \times (4 + 7) = (5 \times 4) + (5 \times 7)\)
Ліва сторона:\(5 \times (4 + 7) = 5 \times (11) = 55\) і права сторона:\((5 \times 4) + (5 \times 7) = 20 + 35 = 55\)
Так як я використовував порядок операцій для спрощення кожного виразу, і обидва вирази рівні, розподільне властивість істинно з використанням чисел 4, 5 і 7.
Ось інший спосіб перевірити це за допомогою іншого рівняння.
Ще одне рішення для прикладу 1: Я покажу:\(7 \times (5 + 4) = (7 \times 5) + (7 \times 4)\)
Ліва сторона:\(7 \times (5 + 4) = 7 \times 9 = 63\) і права сторона:\((7 \times 5) + (7 \times 4) = 35 + 28 = 63\)
Так як я використовував порядок операцій для спрощення кожного виразу, і обидва вирази рівні, розподільне властивість істинно з використанням чисел 4, 5 і 7.
Перевірте розподільне властивість множення істинно за допомогою чисел 4, 5 і 7, виконавши порядок операцій з кожного боку. Зробіть це чотири рази, використовуючи рівняння a, b, d, а потім e, як показано на попередній сторінці.
| а. перевірити:\(4 \times (5 + 7) = (4 \times 5) + (4 \times 7)\) |
| б Перевірте:\(4 \times (7 + 5) = (4 \times 7) + (4 \times 5)\) |
| c Перевірте:\(5 \times (7 + 4) = (5 \times 7) + (5 \times 4)\) |
| d) Перевірте:\(7 \times (4 + 5) = (7 \times 4) + (7 \times 5)\) |
Щоб перевірити розподільну властивість множення істинно на прикладі, спочатку ви повинні написати рівняння, яке повинно бути істинним, використовуючи будь-які три числа (або використовуючи три конкретні числа, дані вам.) Потім, виконуючи порядок операцій з кожного боку (кожен окремий вираз), ви повинні показати, що кожна сторона рівняння дає однаковий результат.
Переконайтеся, що розподільне властивість є істинним, використовуючи цифри 10, 8 і 5.
а Я покажу це рівняння вірно:\(10 \times (8 + 5) = (10 \times 8) + (10 \times 5)\)
Рішення
Так як\(10 \times (8 + 5) = 10 \times 13\) і\((10 \times 8) + (10 \times 5) = 80 + 50\), то\(10 \times (8 + 5) = (10 \times 8) + (10 \times 5)\) рівняння вірно.
Переконайтеся, що розподільна властивість множення над додаванням істинно для трьох заданих чисел:
| a. {7, 8, 12} |
| б. {28, 65, 35} |
| c. будь-які три числа на ваш вибір. |
Скористайтеся визначенням множення для поїздів, щоб обчислити наступне. Потім перекладіть, щоб скласти рівняння за допомогою чисел.
a.\(W \times R\) = _____ перекладається на _______________
b.\(W \times B\) = _____ перекладається на _______________
c.\(W \times D\) = _____ перекладається на _______________
d.\(W \times S\) = _____ перекладається на _______________
е.\(N \times W\) = _____ перекладається на _______________
f.\(H \times W\) = _____ перекладається на _______________
Вправа 19 ілюструє, що 1 - це елемент ідентичності для множення. Іншими словами, для будь-якого числа m,\(\bf m \times 1 = m\) і\(\bf 1 \times m = m\).
Елемент ідентичності для множення, якщо ми маємо на увазі поїзди - це те, що ви заповнюєте порожнім, щоб зробити наступне твердження істинним. Заповніть пробіли, щоб знайти посвідчення.
Для будь-якого поїзда т,\(\bf t \times\) _____\(\bf = t\) і _____\(\bf \times t = t\).
Розподільна властивість множення над складанням використовується досить часто для спрощення арифметичних задач. Розглянемо наступні приклади:
Комусь, кому потрібно було помножити,\(57 \times 102\) може легше думати про проблему як\(57 \times (100 + 2) = (57 \times 100) + (57 \times 2) = 5700 + 114 = 5814\).
Хтось, хто потребував обчислення,\(47 \times 38 + 47 \times 62\) може зрозуміти, що це дійсно так само, як\(47 \times (38 + 62) = 47 \times 100 = 4700\).
Наступний приклад ілюструє, що множення також розподіляється над відніманням:
Комусь, кому потрібно було помножити,\(38 \times 99\) може легше думати про проблему як\(38 \times (100 - 1) = (38 \times 100) - (38 \times 1) = 3800 - 38 = 3762\).
Використовуйте розподільну властивість множення над додаванням (або відніманням), щоб переписати наступні завдання. Потім, спростити. Для d, e та f складіть три власні проблеми, де було б простіше спочатку використовувати розподільну властивість перед спрощенням. Покажіть, як користуватися властивістю і спростити.
| а.\(764 \times 999\) |
| б.\(324 \times 102\) |
| c.\(83 \times 74 + 83 \times 26\) |
| д. |
| е. |
| ф. |
Поки що ви працювали з трьома операціями; додавання, віднімання та множення. Ви дізналися багато властивостей. Приділіть трохи часу, щоб задуматися і переглянути їх, написавши властивості або відповівши на запитання, як зазначено нижче:
| а. викладіть асоціативну властивість множення і наведіть приклад. |
| б. вкажіть комутативне майно додавання і наведіть приклад. |
| c Вкажіть елемент ідентичності для додавання та те, що він означає, і наведіть приклад. |
| d. викласти комутативне властивість множення і навести приклад. |
| е. викладіть розподільну властивість множення над складанням і наведіть приклад. |
| f Вкажіть елемент ідентичності для множення та наведіть приклад. |
| g Надайте контрприклад, щоб показати, що віднімання не є комутативним |
| h. держава асоціативне властивість додавання. |
| i. Наведіть контрприклад, щоб показати, що віднімання не є асоціативним. |
Існує ще один спосіб визначення множення за допомогою теорії множень. Для того щоб це зробити, ми повинні згадати, як приймати декартове твір двох наборів, А і В.
Декартове добуток множини А з множиною B, яке пишеться\(A \times B\) і читається як «A хрест B» - це множина всіх можливих впорядкованих пар (a, b), де\(a \times A\) і\(b \times B\).
Якщо ви знаходите декартовий добуток, відповіддю буде набір, який містить впорядковані пари.
Якщо A = {x, y, z} і B = {a, b}, знайдіть\(A \times B\).
Рішення
\(A \times B\)= {(х, а), (х, б), (у, а), (у, б), (z, a), (z, b)}
Якщо E = {1, 2} і F = {2, 3}, знайдіть\(E \times F\).
Рішення
\(E \times F\)= {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)}
Напишіть декартовий твір. Кожна відповідь - це набір, що містить впорядковані пари!
а. {3, 4}\(\times\) {2, 6} = _______
б. {6, 7, 8, 9}\(\times\) {5} = ________
c. {r, s, t}\(\times\) {} = _________
д. {a}\(\times\) {a} = _________
е. {x, y}\(\times\) {x, y} = ________
f. {1, 3, 5}\(\times\) {1, 3, 5} = ________
Визначення теорії множення двох цілих чисел:
Для будь-яких двох наборів A і B,\(\bf n(A) \cdot n(B) = n(A \times B)\).
Іншими словами, щоб помножити два числа, a та b, напишіть один набір A, який має елементи в ньому, а інший набір B, який має в ньому елементи b. Щоб знайти твір, напишіть декартове
добуток А і В і порахуйте елементи в множині.
Примітка: Немає обмежень щодо того, які елементи ви обираєте для наборів A та B. Вони можуть бути нез'єднаними або можуть мати спільні елементи. Це вирішувати вам.
Використовуйте визначення множення теорії множення, щоб показати, що\(3 \cdot 2 = 6\)
Рішення
Нехай A = {v, w, x} і B = {1, 2}. Оскільки n (A) = 3 і n (B) = 2, то
\ (\ begin {вирівняний} 3\ cdot 2 &= n (A)\ cdot n (B) &\ text {підставивши n (A) на 3 і n (B) на 2}\\
&& = n (A\ times B) &\ text {за визначенням теорії множення}\\
&& = n (\ {(v,1), (v, 2), (w, 1), (ш, 2), (х, 1), (х, 2)\}) & amp; &\ text {шляхом обчислення} A\ times B\\
&& =6 &&\ text {підрахунку елементів в} A\ times B\ end {вирівняний}\)
Тому,\(3 \cdot 2 = 6\).
Використовуйте визначення множення теорії множення, щоб показати, що\(1 \cdot 3 = 3\)
Рішення
Нехай A = {v} і B = {1, 2, 3}. Оскільки n (A) = 1 і n (B) = 3, то
\ (\ begin {вирівняний} 1\ cdot 3 && = n (A)\ cdot n (B) &&\ text {підставивши n (A) на 1 і n (B) на 3}\\
&& = n (A\ times B) &\ text {за встановленим визначенням теорії множення}\\
&& = {(v, 1), (v, 2), (v, 3)\}) &&\ text {шляхом обчислення} A\ times B\\
&& = 3 &&\ text {підрахунку елементів в} A\ times B\ end {вирівняний}\)
Отже,\(1 \cdot 3 = 3\)
Використовуйте визначення множення теорії множення, щоб показати, що\(2 \cdot 0 = 0\)
Рішення
Нехай A = {v, w} і B = {}. Оскільки n (A) = 2 і n (B) = 0, то
\ (\ begin {вирівняний} 2\ cdot 0 &= n (A)\ cdot n (B) &&\ text {підставивши n (A) на 2 і n (B) на 0}\\
&& = n (A\ times B) &\ text {за заданою теорією визначення множення}\\
&& = n (\\\\}) &&\ text {обчислення} \ times B\\
&& = 0 &&\ text {шляхом підрахунку елементів в} A\ times B\ end {вирівняний}\)
Тому,\(2 \cdot 0 = 0\)
Використовуйте визначення множення теорії множення, щоб показати, що\(4 \cdot 3 = 12\)
Рішення
Нехай A = {e, f, g, h} і B = {g, h, i}. Оскільки n (A) = 4 і n (B) = 3, то
\ (\ begin {вирівняний} 4\ cdot 3 && = n (A)\ cdot n (B) &&\ text {підставивши n (A) на 2 і n (B) на 0}\\
&& = n (A\ times B) && {\ text {за встановленим визначенням теорії множення}\\
&& = {(е , g), (e, h), (e, i), (f, g), (f, h), (f, i), (g, г), (g, h), (g, i), (h, g), (h, h, h), (h, i)\}) &&\ текст {шляхом обчислення} A\ times B\\
&& = 12 &\ текст {підрахунком елементи в} A\ times B\ end {вирівняні}\)
Отже,\(4 \cdot 3 = 12\)
Використовуйте визначення множення теорії множення, щоб перевірити кожне множення. Покажіть і обґрунтуйте кожен крок. У рішеннях показаний тільки розчин на 24а.
а.\(5 \cdot 2 = 10\)
б.\(3 \cdot 1 = 10\)
c.\(0 \cdot 2\)
Ось більш геометричний підхід до визначення множення двох цілих чисел.
Щоб знайти добуток будь-яких двох цілих чисел, m і n, створіть прямокутний масив об'єктів, що мають m рядків і n стовпців. Добуток m і n, записаних\(m \times n\), дорівнює кількості об'єктів у масиві.
Найцікавіше у використанні цього геометричного підходу полягає в тому, що будь-які об'єкти можуть бути використані, і потрібно лише вміти рахувати, щоб отримати відповідь. Вам не потрібно використовувати додавання для того, щоб примножити! Я особисто виступаю за наявність багато графічного паперу навколо для тих, хто просто вчиться розмножуватися. Для обчислення\(4 \times 7\) ви або учень можете відзначити прямокутник на графічному папері, який має 4 рядки і 7 стовпців коробки. Кількість коробок в прямокутнику - відповідь на поставлену задачу. Це корисний інструмент для першого вивчення того чи іншого факту множення, або для когось (дорослих теж), хто забув факт і повинен з'ясувати його ще раз. «Об'єкти», що використовуються на графічному папері, - це окремі поля на графічному папері.
Ось як шість різних студентів можуть геометрично показати, як розмножуватися\(4 \times 7\).
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Немає сенсу змушувати когось підкреслювати, якщо вони забули, не запам'ятали або не могли згадати відповідь\(4 \times 7\). Справа в тому, щоб ЗНАТИ, ЩО МНОЖЕННЯ ОЗНАЧАЄ, щоб ви могли знову з'ясувати проблему, якщо вам доведеться. Звичайно, є заслуга використання картки і врешті-решт запам'ятовування основних фактів множення, як ваші таблиці множення. Якщо ні, це займе більше часу, щоб вирішити проблеми, ви не можете зосередитися на більш просунутих питаннях, і ви можете не довіряти власному розуму. Ви не повинні думати про множення кожного разу, коли вам доведеться множити два числа разом, але ви повинні вміти думати про це. Знати, як отримати відповідь, краще, ніж запам'ятати купу фактів, якщо ви не знаєте, звідки вони взялися, що множення насправді означає, або як з'ясувати це знову, якщо ви забудете відповідь на якийсь факт. І, наскільки я стурбований, нічого поганого в тому, щоб використовувати пальці, теж! Нехай люди роблять те, що їм зручно, якщо вони розуміють і зможуть отримати правильну відповідь, це ЗДОРОВО!
Запишіть задачу множення, представлену кожним геометричним поданням:
|
а. ____  |
б. ____  |
|
c. ____ \(%\begin{matrix} \blacklozenge & \blacklozenge & \blacklozenge & \blacklozenge & \blacklozenge & \blacklozenge \\ \blacklozenge & \blacklozenge & \blacklozenge & \blacklozenge & \blacklozenge & \blacklozenge \\ \blacklozenge & \blacklozenge & \blacklozenge & \blacklozenge & \blacklozenge & \blacklozenge \\ \blacklozenge & \blacklozenge & \blacklozenge & \blacklozenge & \blacklozenge & \blacklozenge \\ \blacklozenge & \blacklozenge & \blacklozenge & \blacklozenge & \blacklozenge & \blacklozenge \\ \blacklozenge & \blacklozenge & \blacklozenge & \blacklozenge & \blacklozenge & \blacklozenge \\ \blacklozenge & \blacklozenge & \blacklozenge & \blacklozenge & \blacklozenge & \blacklozenge \\ \blacklozenge & \blacklozenge & \blacklozenge & \blacklozenge & \blacklozenge & \blacklozenge \end{matrix}\nonumber\)  |
д. ____  |
|
е. ____  |
ф. ____  |
Показати два різних геометричних зображення для\(4 \times 3\)
Для кожного множення виконайте наступне, щоб представити множення: Для частини a намалюйте прямокутний масив об'єктів, для частини b використовуйте графічний папір, а для частини c використовуйте пунктирну папір. Є два способи, які ви можете вибрати, щоб використовувати пунктирну папір.
|
а.\(2 \times 6\)
|
|
|
б.\(5 \times 3\)
|
|
|
c.\(3 \times 7\)
|
a Намалюйте прямокутний масив коробок (прямокутник) на графічному папері, наданому для множення\(4 \times 6\):
б. переверніть свою сторінку набік і подивіться на прямокутник. Намалюйте, як виглядає картинка:
c Яка проблема множення зараз представлена? ________________
Вправа 28 повинна переконати вас, що множення є комутативним. Насправді комутативну властивість множення найпростіше побачити за допомогою геометричного підходу. Прямокутний масив об'єктів, що мають m рядків і n стовпців, представляє множення\(m \times n\). Після того, як прямокутник повернуто\(90^{\circ}\) (або дивиться вбік), тепер є n рядків і m стовпців, що представляє множення\(n \times m\). Але, звичайно, це дійсно той же прямокутник об'єктів, так що кількість об'єктів в\(m \times n\) дорівнює кількості об'єктів в\(n \times m\). Тому,\(m \times n = n \times m\). Гаразд, просто для розваги, ще раз:
Комутативне властивість множення для цілих чисел говорить, що якщо a і b - будь-які два числа, то\(a \times b = b \times a\).
Ого! Хіба це не захоплююче? Існує кілька способів думати і визначити множення, і ми можемо показати, що комутативна властивість все ще тримається кожного разу. Чи стає краще, ніж це? Ну,... ТАК... але це вже інша історія.
Це трохи складніше, щоб показати на двовимірній сторінці, що асоціативне властивість множення тримає. З вашою роботою з С-смужками ви знаєте, що множення асоціативне. Ось один із способів геометрично змоделювати множення трьох чисел.
Щоб знайти твір будь-яких трьох цілих чисел\((a \times b) \times c\), спочатку зробіть прямокутний масив кубиків (кубики, кубики цукру і т.д.), що мають ряд і b стовпців. Потім заповніть c шарами нижнього прямокутника, щоб отримати прямокутну коробку, де основа коробки має ширину a і довжину b, а висота коробки - c.
В основному, вам потрібно зробити (або візуалізувати) тривимірну коробку, щоб зробити множення на три числа. Як з'ясовується, незалежно від того, як ви його будуєте, якщо в кінці один вимір є a, один - b, а інший - c, у вас є той же ящик, і він містить таку ж кількість кубів в ньому. Тому множення є асоціативним. Ми не будемо переживати рухи, показуючи його у 3-х вимірах, але діти початкової школи повинні мати перевагу працювати через нього кубиками. Сподіваюся, ви змоделюєте це таким чином, якщо станете вчителем початкової школи.
Оскільки множення є як комутативним, так і асоціативним, будь-коли більше двох чисел множаться разом, дужки показувати не обов'язково, а числа можна помножити разом у будь-якому порядку.
Наприклад, зверніть увагу, як по-різному можна обчислити\(4 \times 10 \times 3 \times 5\)
Студент 1: Ця людина просто йде зліва направо. Спочатку\(4 \times 10\) це 40, потім\(40 \times 3\) 120, потім\(120 \times 5 = 600\).
Студент 2: Ця людина спочатку множить,\(4 \times 5\) щоб отримати 20, потім множить,\(10 \times 3\) щоб отримати 30, потім множить дві відповіді разом,\(20 \times 30\) щоб отримати 600.
Студент 3: Ця людина робить\(4 \times 5\) спочатку, щоб отримати 20, потім множить на 3, щоб отримати 60, потім множить на 10, щоб отримати 600.
Студент 4: Ця людина\(3 \times 5\) спочатку множить, щоб отримати 15, потім множить це на 4, щоб отримати 60, а потім множить на 10, щоб отримати 600.
І можливостей набагато більше. Справа в тому, що у вас є можливість множення в будь-якому порядку і будь-якій комбінації, яку ви хочете. Нижче показано, як це дуже зручно для певних обчислень:
\(5 \times 87 \times 2\): Ну, простіше спочатку помножити 5 і 2, щоб отримати 10, а потім помножити на 87, щоб отримати 870. Інакше ви могли б зробити\(5 \times 87\), що не так просто зробити у вашій голові.
\(8 \times 22 \times 5\): Ну, я б зробив 8 разів 5 спочатку отримати 40, а потім помножити на 22, щоб отримати 880.
Складіть проблему множення, де було б легше помножити, зробивши спочатку деяку перестановку. Поясніть свої кроки та як отримати відповідь.
Ми збираємося показати це\(3 \times (4 + 2) = (3 \times 4) + (3 \times 2)\). Давайте спочатку попрацюємо над правою частиною рівняння, яке має дві частини.
a Намалюйте прямокутний масив точок або зірок для представлення\(3 \times 4\).
б Тепер намалюйте прямокутний масив точок або зірок для представлення\(3 \times 2\).
c Оскільки права частина рівняння говорить про об'єднання двох частин разом (додавання), то намалюйте масив з частини a нижче, і прямо поруч з ним, намалюйте масив з частини b.
d Тепер давайте зробимо ліву частину рівняння,\(3 \times (4 + 2)\). Ми спочатку повинні обчислити в дужках, щоб отримати\(3 \times 6\). Отже, зробіть прямокутний масив точок або зірок для представлення\(3 \times 6\).
e Чи кількість точок або починається в частині c дорівнює кількості точок або починається в частині d?
Яку властивість ви щойно проілюстрували у вправі 30?
Ну, я сподіваюся, ви зрозумієте, що ви тільки що показали, що множення розподіляється над додаванням. Насправді також вірно, що множення розподіляється над відніманням. Іншими словами,
Для будь-яких трьох цілих чисел, a, b і c, де b > c,\(a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)\) і\(a \times (b – c) = (a \times b) – (a \times c)\).
Покажіть, що\(2 \times (3 + 4) = (2 \times 3) + (2 \times 4)\) за допомогою геометричного підходу, як ви робили у вправі 30. Поясніть кроки.
а Сформуйте поїзд\(P \times (Y – L)\), спочатку сформувавши поїзд Y — L. Дізнайтеся, що таке C-смуга Y — L. Потім виконайте множення\(P \times (Y – L)\). Скільки саме білих С-смужок складають цей шлейф?
б. формувати поїзд\(P \times Y\) і\(P \times L\). Тепер відніміть другий потяг з першого поїзда. Скільки саме білих С-смужок складають цей шлейф?
c Порівняти довжини поїздів з частини a і b.
Вправа 33 показала, що\(P \times (Y – L) = P \times Y – P \times L\). Це одна ілюстрація, що множення розподіляється над відніманням.