3.1: Визначення та властивості
- Page ID
- 66905
Вам знадобляться: Монети (Матеріал карти 1), А - Блоки (Матеріал карти 2А - 2Е), Сантиметрові смужки (Матеріал карти 17A - 17L)
Цілі числа складаються з нуля і рахункових чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5,. Ми починаємо цей набір вправ з вивчення того, як скласти два цілих числа разом. Щоб додати 3 + 4, ми знаходимо набір з трьома елементами і інший набір з чотирма елементами (не має елементів спільного з першим набором). Об'єднуємо два набори і потім підраховуємо, скільки елементів в союзі. Цей метод проілюстрований в наступній вправі.
Вийміть набір з 25 монет з Material Card 1. Покладіть три монети в одну руку і назвіть цей набір монет Набір A. покладіть чотири різні монети в іншу руку і назвіть цей набір монет набір Б. використовуйте відповідні множини і скорочення монет при заповненні наступного:
| а. а = | б. п (А) = |
| д. п (В) = | д. п (В) = |
Покладіть монети з обох рук в одну купу, щоб утворився союз А і В.
| е.\(A \cup B\) | ф. п\(A \cup B\) |
Таким чином, щоб додати два числа, 3 і 4, ми повинні знайти множина A такий, що n (A) = 3 і множина B такий, що n (B) = 4. Потім 3 + 4 - це скільки елементів знаходиться в\(A \cup B\). У вправі 1, починаючи з n (\(A \cup B\)) = 7, то 3 + 4 = 7. Звичайно, ми вже знали, що з років дрилі та практики, картки тощо Праворуч - картинка, на якій зображено три монети в одній руці і чотири в іншій. Об'єднавши монети в одну велику купу, їх можна порахувати, щоб знайти суму.
Існує одне обмеження на два вибрані набори, які ви виявите, виконавши наступну вправу.
Ми спробуємо знайти відповідь на 3 + 6, використовуючи той самий метод, який тільки що використовували. Але цього разу я хочу, щоб ви працювали з множинами A і B, оскільки я їх визначаю тут: A = {t, u, v} і B = {u, v, w, x, y, z}. Зверніть увагу, що n (A) = 3 і n (B) = 6.
| a. Перерахуйте елементи в\(A \cup B\): |
| б Скільки елементів знаходиться в\(A \cup B\)? ____ |
| c 3 + 6 = п\(A \cup B\)? ____ |
| d. n (А) + n (B) = n\(A \cup B\)? ____ |
| е Як можуть бути обрані множини A і B так, щоб відповіді як на c, так і на d були так? Якщо вам потрібна підказка, подивіться, що знаходиться в дужках в початковому абзаці цього набору вправ! |
До речі, оскільки n (A) = 3 і n (B) = 6, частина c і d задають одне і те ж питання!
Використовуйте свої A-Blocks для наступних вправ. Нагадаємо, буква, яка є типом BOLD в кожному слові нижче, є абревіатурою, яка використовується для дев'яти основних підмножин A-Blocks. R ED, B СИНІЙ, G ЗЕЛЕНИЙ, Y ЖОВТИЙ, S МАЛЕНЬКИЙ, L ВЕЛИКИЙ, C КОЛО, T RIANGLE, S Q UARE (Для позначення певного A-блоку використовуйте три літери у форматі Розмір, Колір, Форма - наприклад, Великий синій трикутник є скорочено LBT, Мала Червона Площа скорочено SRQ і т.д.)
| а Назвіть дві підмножини A-Blocks (кожна з яких містить 6 елементів), які можуть бути використані для пошуку суми 6 і 6: ____ та _____ |
| б Проілюструйте, як два вибрані вами набори дадуть правильну суму, перерахувавши як елементи в кожному названому вами наборі, так і елементи в об'єднанні двох множин (використовуючи скорочення). Кількість елементів в союзі має бути 12! |
Оскільки n (L) = 12 і n (T) = 8, давайте з'ясуємо, чи можна використовувати підмножини L і T для знаходження суми 12 і 8.
| a. Перерахуйте елементи в (\(L \cup T\)): |
| б. п\(L \cup T\) = ____ |
| c Чи дорівнює n (\(L \cup T\)) 12 + 8? ____ |
| d Чому не вийшло використовувати множини великих A-блоків і трикутних A-блоків, щоб знайти суму? |
Тепер слід формальне, більш загальне визначення додавання цілих чисел.
Теорія множин Визначення додавання: Якщо A і B є двома нез'єднаними множинами, тобто\(A \cap B\) = Ø, то n (A) + n (B) = n (\(A \cup B\)).
Нижче наведено кілька прикладів того, як використовувати визначення теорії множин додавання для додавання.
Використовуйте визначення теорії множин додавання, щоб показати, що 3 + 2 = 5.
Рішення
Нехай A = {x, y, z} і B = {m, r} Так як n (A) = 3, n (B) =2, і\(A \cap B\) = Ø тоді
| 3+2 = п (А) +п (В) | шляхом підстановки n (A) на 3 і n (B) на 2 |
| = п (\(A \cup B\)) | за теорією множин визначення додавання |
| = n ({x, y, z, m, r}) | шляхом обчислення A |
| = 5 | підраховуючи елементи в А |
Тому 3 +2 = 5.
Використовуйте визначення теорії множин додавання, щоб показати, що 1 + 3 = 4
Рішення
Нехай A = {x} і B {a, b, c}. Оскільки n (A) = 1, n (B) = 3 і\(A \cup B\) = Ø, то
| 1 + 3 = п (А) + п (В) | шляхом підстановки n (A) на 1 і n (B) на 3 |
| = п (\(A \cup B\)) | за теорією множин визначення додавання |
| = n ({x, a, b, c}) | за допомогою обчислень\(A \cup B\) |
| = 4 | підраховуючи елементи в\(A \cup B\) |
Тому 1 + 3 = 4
Скористайтеся визначенням теорії множин додавання, щоб показати, що 0 + 4 = 4.
Рішення
Нехай A = {} і B = {a, b, c, d}. Оскільки n (A) = 0, n (B) = 4 і\(A \cup B\) = Ø, то
| 0 + 4 = п (А) + п (В) | шляхом підстановки n (A) на 0 і n (B) на 4 |
| = п (\(A \cup B\)) | за теорією множин визначення додавання |
| = n ({a, b, c, d}) | за допомогою обчислень\(A \cup B\) |
| = 4 | підраховуючи елементи в\(A \cup B\) |
Тому 0 + 4 = 4
Визначення додавання дозволяє нам перевірити деякі властивості щодо додавання. Приклад 3 перевіряє властивість з теорії множин, яка стверджує, що для будь-якої множини A,\(A \cup Ø\) = A.
Нехай n (A) = a. так як кількість елементів в нульовому множині дорівнює нулю, то a + 0 = a і 0 + a = a.
Використовуйте визначення теорії множин додавання, щоб зробити наступні доповнення. Випишіть це докладно! Дотримуйтесь наведених вище прикладів.
| а. показати, що 2 + 4 = 6 |
| б. показати, що 2 + 2 = 4 |
| c. показати, що 3 + 0 = 3 |
Вийміть свій набір сантиметрових смужок (C-Strips). Існує дванадцять різних видів смужок, кожна з яких має різну довжину. Нижче наведено перелік різних видів, з їх розмірами, кольорами та абревіатурами, які ми будемо використовувати для позначення кожного. Давайте погодимося використовувати абревіатури в більш ніж одному контексті — лист може посилатися на власне фізичну смужку або це може стосуватися довжини смужки. Це не зовсім ідеальне позначення мудре, але це зробить роботу, яка слідує менш громіздкою.
| 1 см на 1 см... МИ БІЛИМ... W |
| 1 см на 2 см... Р РЕД... R |
| 1 см на 3 см... L СВІТЛО-ЗЕЛЕНИЙ... Л |
| 1 см на 4 см... P ФІОЛЕТОВИЙ... П |
| 1 см на 5 см... МІЙ ЖОВТИЙ... Y |
| 1 см на 6 см... D ТЕМНО-ЗЕЛЕНИЙ... D |
| 1 см на 7 см... ЧОРНИЙ К... К |
| 1 см на 8 см... БРОВА N... N |
| 1 см на 9 см... БУТИ СИНІМИ... Б |
| 1 см на 10 см... O ДІАПАЗОН... О |
| 1 см на 11 см... S СРІБЛО... S |
| 1 см на 12 см... H HOT РОЖЕВИЙ... H |
Ми будемо використовувати C-Strips для виявлення та посилення концепцій та властивостей щодо додавання. Для багатьох проблем ми будемо працювати з «поїздами», які робляться шляхом укладання однієї або декількох смуг впритул по прямій лінії. Так ширина залишиться 1 см, але довжина шлейфа буде варіюватися.
Для позначення поїзда, що складається з більш ніж однієї смуги, пишемо завдання додавання так, щоб C-Strip зліва була написана першою, а решта, якщо така є, писалися зліва направо. Нижче зверніть увагу на спосіб формування поїздів і як ми позначимо кожен з них.
Використовуйте C-Strips, щоб зробити поїзд вказаним. Потім знайдіть C-Strip однакової довжини і заповніть кожен бланк абревіатурою цієї C-Strip
| а. р + л = | б. S + Ш = | в. р + К = |
| д. б+ Ш = | е. N + Л = | ф. л + Ш = |
| г Р + У = | ч Д + Р = | i. б + Л = |
| j. Y + Р = | к. р+ Д | л. л. л + Б = |
| м Що ви помічаєте про j & g, k & h і l & i? |
Частини j & g, k & h та l & i вправи 6 ілюструють важливий принцип щодо цілих чисел, які називаються Комутативною властивістю додавання.
Комутативне властивість Додавання стверджує, що якщо a та b є будь-якими двома цілими числами, то a + b = b + a.
Використовуючи визначення додавання та цей важливий факт з теорії множин,
\(A \cup B = B \cup A\), ми можемо показати, чому Комутативне властивість додавання вірно:
а + б = п (А) + п (В) = n (\(A \cup B\)) = n (\(B \cup A\)) = n (В) + n (А) = б + а
Більшість з нас складають числа роками і роками, і тому ця властивість може здатися очевидною - це друга природа, що порядок, в якому ми додаємо два числа, не має значення. Але якщо ви скористаєтеся можливістю запитати дитину, яка тільки вчиться додавати наступні два питання, навіть одне відразу за іншим, ви можете помітити, що дитина може зробити перше швидко і легко, але потім бореться трохи довше на другому. Зазвичай це відбувається, якщо дитина ще не виявила комутативну властивість додавання. Як дорослі, ми сприймаємо це майно як належне.
Перше питання: Що таке 7 + 2? Друге питання: Що таке 2 + 7?
Як ви думаєте, як дитина може зрозуміти відповідь на перше питання і як він може зрозуміти, як зробити друге питання? Будьте конкретні і припускайте, що відповіді ще не запам'яталися! Чому друге питання може сприйматися як більш важка проблема?
При складанні двох чисел деякі люди починають з першого числа і розраховують на друге число. Отже, якщо ви думаєте про 7 + 2, почніть з 7 і порахуйте ще два в голові — вісім, дев'ять. Для 2 + 7 почніть з 2 і порахуйте ще сім у вашій голові — три, чотири, п'ять, шість, сім, вісім, дев'ять. Хоча відповідь однакова, 7 + 2 було швидше і легше відстежувати. Просто подумайте про різницю між 1000 + 1 і 1 + 1000, використовуючи цей метод підрахунку! Слава богу за комутативну властивість додавання!
Що робити, якщо вам довелося скласти три числа разом? Насправді, ми додаємо лише два числа разом одночасно, а потім додаємо третє до суми перших двох чисел. Ми будемо використовувати C-Strips, щоб проілюструвати способи складання трьох чисел разом. Подумайте про те, щоб скласти C-Strips L, R і P разом, щоб сформувати поїзд. Давайте обчислимо суму цих трьох двома різними способами, спочатку працюючи всередині дужок.
Заповніть кожен бланк правильною абревіатурою C-Strip, спочатку обчисливши суму в дужках і поставивши цю відповідь у перший бланк. Потім додайте ще раз, щоб отримати відповідь. Приклад з цифрами: (5 + 3) + 9 =\(\underline{8}\) + 9 =\(\underline{17}\).
Вправа 8 ілюструє ще один важливий принцип щодо цілих чисел, який називається асоціативним властивістю додавання.
Асоціативне властивість Додавання стверджує, що якщо a, b і c є будь-якими трьома числами, то (a + b) + c = a + (b + c)
Використовуючи визначення додавання і цей важливий факт з теорії множин\((A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)\), ми покажемо, чому асоціативне властивість додавання істинно: (a + b) + c = (n (A) + n (B)) + n (C) = n () + n (C\(A \cup B\)) = n (C) = n ( \((A \cup B) \cup C\)) = п (\((A \cup B) \cup C\)= п (А) + п (\((B \cup C)\)) = п (А) + (п (В) + п (С) = а + (б + в)
Використовуючи модель вправи 8 і C-Strips, проілюструйте інше застосування асоціативної властивості додавання. Потім запишіть еквівалентне твердження, використовуючи цифри.
Корінь у слові «асоціативний» - асоціативний. Подумайте, чи буде середнє число асоціюватися з першим числом або останнім числом для першого обчислення. Що стосується додавання чисел у вашій голові, це може бути набагато простіше зробити це одним способом, а не іншим. Наприклад, щоб додати 58 + 39 + 41, ви можете подумати (58 + 39) + 41 = 97 + 41 = 138 або ви можете подумати 58 + (39 + 41) = 58 + 80 = 138. 97 + 41 і 58 + 80 обидва рівні 138, але це не очевидно, поки ви додасте. Я вважаю за краще спочатку додати 39 і 41 разом. Асоціативна властивість дозволяє це. Але знову ж таки, асоціативна властивість - це те, що більшість дорослих сприймають як належне і використовують, але вони насправді не думають про це.
Ось ще один приклад. Хоча сума трьох чисел однакова для кожної задачі, спосіб обчислень відрізняється.
|
(84 + 56) + 73 140 + 73 213 |
84 + (56 + 73) 84 + 129 213 |
Складіть власний приклад, показуючи застосування асоціативного властивості
Було б корисно відзначити, що комутативна власність означає, що відбулася зміна порядку. Зміна порядку означає, що написані цифри знаходяться в іншому порядку. Асоціативна властивість передбачає, що відбулася зміна дужок. Зміна дужок означає, що в дужках є різні цифри і що дужки тепер навколо різних чисел.
Стати, яка властивість (Комутативна або асоціативна властивість додавання) використовується в кожному рівнянні. Запитайте себе: Чи різниця між лівою і правою стороною обумовлена порядком (комутативна властивість) або дужками (асоціативна властивість)?
| а. _____ | (99 + 76) + 38 = (76 + 99) + 38 |
| б. _____ | (65 + 22) + 56 = 56 + (65 + 22) |
| c. _____ | (57 + 88) + 43 = 57 + (88 + 43) |
| д. _____ | (а + б) + (с + г) = ((а + б) + в) + г |
Ми постійно використовуємо комутативні та асоціативні властивості додавання, щоб робити просту арифметику - звичайно, арифметика може бути не такою простою, якби нам не дозволили використовувати ці властивості. Уявіть, що жодна властивість не існувала, і єдиним способом отримати суму трьох чисел було скласти їх в порядку зліва направо. Розглянемо цю арифметичну задачу: 17 + 59 + 83. Йдучи зліва направо, ми спочатку додаємо 17 і 59, щоб отримати 76, а потім додати 83 до 76, щоб отримати відповідь 159. Гаразд, так що це не так вже й складно. Але це стає вітерець, якщо нам дозволено використовувати комутативні та асоціативні властивості додавання, як показано нижче (три способи показані за допомогою різних кроків):
(17 + 59) + 83 = 83 + (17 + 59) Комутативна власність
= (83 + 17) + 59 Асоціативна власність
= 100 + 59
= 159
(17 + 59) + 83 = (59 + 17) + 83 Комутативна власність
= 59 + (17 + 83) Асоціативна властивість
= 59+ 100
= 159
(17 + 59) + 83 = 17 + (59 + 83) Асоціативна власність
= 17 + (83 + 59) Комутативна власність
= (17 + 83) + 59 Асоціативна властивість
= 100 + 59
= 159
Звичайно, більшість з нас, ймовірно, автоматично додають 83 і 17 в голову спочатку, не турбуючись думати про властивості. Але саме завдяки цим фундаментальним властивостям ми отримуємо правильну відповідь, додаючи цифри в будь-якому порядку або комбінації, яку ми вважаємо зручними.
Використовуйте комутативні та асоціативні властивості для додавання (135 + 384) + 165. Припустимо, ви віддаєте перевагу додати 135 і 165 в голові. Показувати кожен крок і вказати, яка властивість використовується на кожному кроці. Потім зробіть це ще раз іншим способом, використовуючи різні кроки.
Ми говоримо, що два поїзда рівні, якщо вони мають однакову довжину. Наприклад, подивіться на шість поїздів, показаних нижче. Всі вони мають однакову довжину 6 см і тому всі вони рівні.
Хоча шість поїздів, показаних вище, рівні, вони вважаються різними, оскільки жоден з них не має однакових смуг в точно такому ж порядку. Ось список шести поїздів вище: D, W + Y, R + P, L + L, Y + W, P + R. Є більше поїздів, що мають таку ж довжину, але відрізняються від перерахованих досі. Наприклад, ще сім: Ш + Р + Ш, Ш + Р + Ш, Ш + Р + Ш, Ш + Ш + Ш, Ш + Ш + Ш, Р + Ш + Ш, Д + Ш + Ш, Д + Ш + Ш, Д + Ш + Ш. Насправді, є ще кілька поїздів, які за довжиною дорівнюють темно-зеленій C-смузі, ніж 13 різних перерахованих досі. Всі перераховані поїзди переводять в складання факти про комбінації чисел, які складаються до 6: W + Y = D перекладається на 1 + 5 = 6, W + P + W = D перекладається на 1 + 4 + 1 = 6, R + P = D перекладається на 2 + 4 =6, P + R = D перекладається на 4 + 2 = 6 і так далі.
Скористайтеся C-смужками, щоб перерахувати всі різні поїзди, які по довжині рівні світло-зеленій C-смузі. Різні поїзди мають різні смуги або і/або різний порядок смуг.
Використовуйте поїзди, перераховані у вправі 13, щоб написати додаткові факти, отримані про цифру 3.
Скористайтеся C-смужками, щоб перерахувати всі різні поїзди, які по довжині дорівнюють фіолетовій C-смужці. Різні поїзди мають різні смуги або і/або різний порядок смуг.
Використовуйте поїзди, перераховані у вправі 15, щоб написати додаткові факти, отримані про число 4
Перераховувати всі різні поїзди, рівні по довжині темно-зеленій C-Strip, досить важка робота. Ми визначимо еквівалентні поїзди як рівні поїзди, які мають однаковий склад (однакові точні смужки), але смужки перераховані в іншому порядку. Наприклад, W + R + L, W + L + R, L + R + W, L + W, R + L + W і R + W + L - це еквівалентні поїзди, оскільки кожен складається з червоної, світло-зеленої та білої С-смуги. W+L і L+W - еквівалентні поїзди, оскільки всі вони складаються з однакових C-смуг - білої C-смуги та червоної C-Strip. W+L, R+R, P, W+W+R і W+W+W рівні, але нееквівалентні поїзди, оскільки вони складаються з різних смуг. Нееквівалентні поїзди - це рівні поїзди, що складаються з різних С-смуг. Якщо вони складаються з однакових С-смужок, але знаходяться в іншому порядку, вони еквівалентні!
Перерахуйте всі нееквівалентні поїзди (зауважте останнє речення жирним шрифтом у наведеному вище абзаці), рівні за довжиною темно-зеленій C-смузі. Це означає, що лише один із шести перелічених у середині абзацу вище (і не має значення, який саме) повинен бути записаний у цьому списку. Не забудьте включити шлейф однієї єдиної смуги. Скільки не еквівалентних поїздів, рівних по довжині темно-зеленій C-смузі?
Зі своєї роботи в Вправі 17 перерахуйте всі факти про те, які комбінації чисел складають до 6.
Якщо подивитися на C-Strips, то зрозуміло, що деякі довші за інші. Ми говоримо, що одна C-Strip довша за іншу C-Strip, якщо є C-Strip, яку можна додати до другої C-Strip, щоб зробити поїзд рівним по довжині довшому C-Strip. Наприклад, Чорна C-смужка довша за фіолетову C-смужку, тому що ми можемо додати світло-зелену C-смужку до фіолетової C-смуги, щоб зробити поїзд рівним по довжині Чорній C-смузі. Пишемо K довше, ніж P, тому що K = P +\(\bf \underline{\text{L}}\).
Переконайтеся, що кожна з названих C-смужок довша за іншу C-Strip, заповнивши заготовки. Використовуються скорочення.
| а. Н довше, ніж О, тому що Н = О + ___ |
| б N довший за L, тому що N = L + ___ |
| с. б довше W, тому що B = W + ___ |
| д Р довше R, тому що Р = R + ___ |
| е. S довший за K, тому що S = K + ___ |
| f D довший за Y, тому що D = Y + ___ |
Той самий принцип, який використовується з C-Strips, застосовується при порівнянні двох цілих чисел.
Означення: Ціле число m більше цілого числа n, якщо є ціле число k таке, що m = n + k.
У математиці символ, який використовується для позначення «більше, ніж», є: ">». Тому «7 > 5" читається «Сім більше п'яти».
Вправу 19 можна змінити, щоб висловити інформацію про цифри. Наприклад, частина a відповідає тому, що «12 більше 10, тому що 12 = 10 + 2" або якщо ми хочемо написати його символічно, ми пишемо «12> 10, тому що 12 = 10 + 2".
Перевірте кожне з наступного (я зробив частину а для вас):
| а. 9 > 3 тому що\(\underline{9 = 3 + 6}\) | б. 30 > 22 тому що ____ |
| c. 156 > 96 тому що ____ | д. 80 > 0 тому що ____ |
| е. 231 > 195 тому що ____ | f. 987> 967 тому що ____ |
Тепер, коли ви трохи попрацювали з більшим ніж, ми можемо також визначити менше, ніж.
Означення: Ціле число r менше цілого числа s, якщо є ціле число k таке, що r + k = s.
У математиці символ, який використовується для позначення «менше, ніж» - це: "<». Тому "4 < 9" читається «Чотири менше дев'яти».
Перевірте кожне з наступного (я зробив частину а для вас):
| а. 9 < 22 тому що\(\underline{9 + 13 = 22}\) | б. 30 < 99 тому що |
| c. 19 < 70 тому що | d. 0 < 32 тому що |
| е. 489 < 500 тому що | f. 65 < 201 тому що |
«Менше ніж» і «більше» можуть бути використані для замовлення чисел на числовому рядку. Заповніть кожен порожній правий або лівий.
| а Якщо m < n, то m - до _____________ числа n на числовому рядку |
| b. якщо m > n, то m - до _____________ числа n на числовому рядку. |
Сформуйте два шлейфи C-Strips, m і n, які рівні. Якщо p - це C-Strip або шлейф C-Strips будь-якої довжини, чи завжди це вірно, ніж m + p = n + p?
Візьміть дві різні C-Strips або сформуйте шлейф з C-Strips,\(m\) причому\(n\), такий, що\(m > n\). Якщо p - це C-Strip або поїзд C-Strips будь-якої довжини, чи завжди це вірно, ніж\(m + p > n + p\)?
Вправа 23 ілюструє, що адитивна властивість рівності. Якщо одне і те ж число додається до обох сторін рівності, рівняння залишається істинним. Вправа 24 ілюструє адитивну властивість нерівності. Якщо одне і те ж число додається до обох сторін нерівності, нерівність залишається істинною.
Якщо ви візьмете будь-які два поїзди, s і t, і виміряти їх, розмістивши один поруч з іншим, ви помітите, що або вони однакової довжини, або один з них довший, ніж інший. Це спостереження призводить нас до закону трихотомії.
Якщо a і b є цілими числами, то вірно одно з наступних: a = b або a < b or a > b.
Помістіть правильний символ (<, =, or >) між кожною парою чисел. Перевірте, чи правильно ви використовуєте символ менше або більше (як у вправах 20 та 21).
| а. 8 ____ 19 ____ |
| б. 24 ____ 13 ____ |
Ми почали цей набір вправ з визначення цілих чисел. Використовуючи множинні позначення, висловіть цілі числа за допомогою методу лістингу: ____
Якщо два цілих числа скласти разом, сума завжди буде цілим числом? ____
Якщо два цілих числа скласти разом, чи можна отримати більше однієї відповіді? ____
Ваші відповіді на вправи 24 і 25 повинні підтвердити, що сума двох цілих чисел завжди є єдиним цілим числом. Це називається закритим властивістю додавання для цілих чисел. Ми говоримо, що набір цілих чисел закривається під додавання, тому що коли ви додаєте будь-які два цілих числа разом, ви отримуєте ще одне унікальне ціле число.
Множина закривається при додаванні, якщо сума будь-яких двох елементів у множині (це можуть бути однакові елементи або два різних елементи) створює унікальний елемент в одному наборі.
Додавання насправді просто операція, яку ми виконуємо над двома членами набору. Інші операції, з якими ви, безсумнівно, знайомі, - це віднімання, множення та ділення. Є й інші операції, і є нові, які ви можете скласти, але ми залишимо цю дискусію на інший раз. Якщо операція визначена для виконання рівно на двох елементах, то вона називається двійковою операцією.
Взагалі набір закривається під операцією, якщо при виконанні операції над будь-якими двома елементами множини відповідь - унікальний елемент одного і того ж набору.
Щоб показати, що множина не закривається при додаванні, ви повинні привести контрприклад, який показує, що при додаванні двох чисел в множині ви отримаєте суму, якої немає в множині. Два числа, які ви виберете, можуть бути однаковими або різними числами.
Чи закрито набір {1, 2, 3, 4, 5} під додавання?
Рішення
Уявіть, що у вас було дві головні убори, кожна з яких містить ці п'ять цифр у наборі, написаних на папірці. Отже, кожна шапка містить набір {1, 2, 3, 4, 5}. Якщо ви витягнете номер з кожного капелюха, ви можете отримати однакове число двічі, або ви можете отримати різні номери. Деякі суми - 1 + 1 = 2, 2 + 3 = 5, 1 + 3 = 4, 3 + 3 = 6 і т.д. зверніть увагу, що перші три суми 2, 5 і 4 знаходяться в множині {1, 2, 3, 4, 5}. Але для того, щоб набір був закритий, сума кожних можливих двох чисел у множині повинна давати число у вихідному наборі. Оскільки 3 + 3 = 6, (де два доповнення, 3 і 3, знаходяться в первісному множині, але сума 6 НЕ є в первісному наборі), то множина {1, 2, 3, 4, 5} не закрита. Існує будь-яка кількість зустрічних прикладів, які ви можете використовувати, щоб показати, що він не закритий. 3 + 3 = 6 буде зроблено. Або хтось інший може написати 4 + 5 = 9. Які ще два зустрічні приклади ви можете використати, щоб показати {1, 2, 3, 4, 5} не закрито під додаванням?
{4} закрито під додаванням?
Рішення
Єдина можливість спробувати - 4 + 4, що 8, а 8 немає в наборі. Так набір не закритий. Контрприклад, щоб показати, що він не закритий, становить 4 + 4 = 8.
{5, 10, 15, 20,.} закрито під додаванням?
Рішення
Почніть з декількох прикладів: 5 + 5 = 10, який знаходиться в наборі; 10 + 15 = 25, який знаходиться в наборі (зверніть увагу на три крапки, що означає, що наступні кілька чисел - 25, 30 і 35. Схоже, він закритий. Але як же переконати когось, що сума будь-яких двох чисел у множині завжди буде в первісному наборі. Зверніть увагу, що набір складається з кратних 5. Зверніть увагу, що будь-які два кратні 5 можуть бути записані як 5 разів щось, як 5x і 5y. Нехай 5x і 5y позначають два довільних елемента в початковому наборі. Склавши їх разом, ми отримуємо 5x+ 5y = 5 (x+y), що є ще одним кратним 5 (так як це 5 разів щось). Отже, ви повинні переконатися, що сума будь-яких двох елементів у множині кратна 5, саме з чого і складався оригінальний набір. Тому {5, 10, 15, 20,.} закривається під додавання.
Вкажіть, чи кожен набір нижче закритий під додаванням. Якщо він не закритий, надайте контрприклад, що показує два елементи в множині, сума яких відсутня в множині. Загалом, надання прикладу, що показує, що щось не завжди вірно, називається наданням контрприкладу. Якщо набір закритий, доведіть і поясніть, чому.
| а. {0} |
| б. {1} |
| c. {0,2,4,6,.} |
| д. {1,3,5,7,.} |