Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

9.4: Імовірність використання діаграм дерева

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    67209

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Цілі навчання

    У цьому розділі ви навчитеся:

    1. Використовуйте дерева ймовірностей для організації інформації в задачах ймовірності
    2. Використовуйте дерева ймовірностей для обчислення ймовірностей

    Як ми вже бачили, деревоподібні діаграми відіграють важливу роль у вирішенні ймовірнісних задач. Деревоподібна діаграма допомагає нам не тільки візуалізувати, але й систематично перераховувати всі можливі результати. Крім того, коли ми перераховуємо різні результати експерименту та відповідні їм ймовірності на діаграмі дерева, ми отримуємо краще розуміння того, коли ймовірності множаться і коли вони додаються.

    Значення слів і/або стають зрозумілими, коли ми навчимося множити ймовірності горизонтально по гілках, і додаємо ймовірності вертикально вниз по дереву.

    Хоча діаграми дерев не практичні в ситуаціях, коли можливі результати стають великими, вони є значним інструментом у схематичному розбиванні проблеми. Розглянемо деякі приклади, які спочатку можуть здатися складними, але за допомогою діаграми дерева їх легко вирішити.

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    У людини є чотири ключі і тільки один ключ поміщається до замку дверей. Яка ймовірність того, що замкнені двері можуть бути розблоковані щонайменше за три спроби?

    Рішення

    Нехай U буде подією, що двері були розблоковані і L бути подією, що двері не були розблоковані. Проілюструємо діаграмою дерева.

    Приклад 9.4.1.PNG

    Імовірність відмикання дверей в першу чергу = 1/4

    Імовірність відмикання дверей в другу спробу = (3/4) (1/3) = 1/4

    Імовірність відмикання дверей в третій спробі = (3/4) (2/3) (1/2) = 1/4

    Тому ймовірність відмикання дверей максимум в трьох спробах = 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4.

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Банка містить 3 чорних і 2 білих мармуру. Ми продовжуємо малювати мармури по одному, поки не буде намальовано два чорних мармуру. Якщо намальований білий мармур, результат записується і мармур поміщається назад в банку перед малюванням наступного мармуру. Яка ймовірність того, що ми отримаємо рівно два чорних мармуру щонайменше в трьох спробах?

    Рішення

    Проілюструємо, використовуючи деревоподібну діаграму.

    Приклад 9.4.2.PNG

    Імовірність того, що ми отримаємо два чорних кульки в перших двох спробах, вказана поруч з найнижчою гілкою, і вона = 3/10.

    Імовірність отримання першого чорного, другого білого і третього чорного = 3/20.

    Аналогічно ймовірність отримання першого білого, другого чорного і третього чорного = 3/25.

    Таким чином, ймовірність отримання рівно двох чорних кульок в максимум трьох спробах = 3/10 + 3/20 + 3/25 = 57/100.

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Схема складається з трьох резисторів: резистора\(R_1\)\(R_2\), резистора і резистора\(R_3\), з'єднаних послідовно. При виході з ладу одного з резисторів ланцюг перестає працювати. Імовірності того, що резистори\(R_1\)\(R_2\), або\(R_3\) вийдуть з ладу, є. 07,. 10, і. 08 відповідно. Знайти ймовірність того, що хоча б один з резисторів вийде з ладу?

    Рішення

    Імовірність того, що хоча б один з резисторів виходить з ладу = 1 - жоден з резисторів не виходить з ладу.

    Досить легко знайти ймовірність того, що жоден з резисторів не виходить з ладу.
    Нам навіть не потрібно малювати дерево, тому що ми можемо візуалізувати єдину гілку дерева, яка гарантує цей результат.

    Ймовірності, які\(R_1\)\(R_2\), не\(R_3\) зазнають невдачі, є. 93,. 90, і. 92 відповідно. Тому ймовірність того, що жоден з резисторів не вийде з ладу = (. 93) (. 90) (. 92) =. 77.

    Таким чином, ймовірність того, що хоча б один з них вийде з ладу = 1 -. 77 =. 23.