9.3: Очікувана вартість

Last updated
Save as PDF

Page ID: 67185

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

У цьому розділі ви навчитеся:

Знайти очікуване значення дискретного розподілу ймовірностей
Інтерпретувати очікуване значення як довгострокове середнє

Очікуваний виграш або програш в азартній грі називається очікуваним значенням. Поняття очікуваної вартості тісно пов'язане з середньозваженим. Розглянемо наступні ситуації.

1. Припустимо, ви та ваш друг граєте в гру, яка складається з прокатки кубика. Ваш друг пропонує вам наступну угоду: Якщо плашка показує будь-яке число від 1 до 5, він заплатить вам номінал плашки в доларах, тобто, якщо штамп показує 4, він заплатить вам 4 долари. Але якщо вмирає показує 6, вам доведеться заплатити йому 18 доларів.

Перед тим як грати в гру ви вирішите знайти очікуване значення. Ви аналізуєте наступним чином.

Оскільки кубик покаже число від 1 до 6, з рівною ймовірністю 1/6, ваш шанс виграти $1 дорівнює 1/6, виграш $2 дорівнює 1/6, і так далі до номіналу 5. Але якщо вмирає показує 6, ви втратите 18 доларів. Ви пишете очікуване значення.

\[\mathrm{E}=\$ 1(1 / 6)+\$2(1 / 6)+\$ 3(1 / 6)+\$ 4(1 / 6)+\$ 5(1 / 6)-\$ 18(1 / 6)=-\$ .50 \nonumber \]

Це означає, що кожен раз, коли ви граєте в цю гру, ви можете розраховувати на втрату 50 центів. Іншими словами, якщо ви зіграєте в цю гру 100 разів, теоретично ви втратите $50. Очевидно, що грати не в ваших інтересах.

2. Припустимо, з десяти вікторин, які ви взяли в курсі, на восьми вікторини ви набрали 80, а на двох набрали 90. Ви хочете знайти середнє з десяти вікторин.
Середнє значення становить

\[\mathrm{A}=\frac{(80)(8)+(90)(2)}{10}=(80) \frac{8}{10}+(90) \frac{2}{10}=82 \nonumber \]

Слід зазначити, що було б некоректно брати середні значення 80 і 90, тому що ви набрали 80 на восьми вікторини, а 90 тільки на двох з них. Тому ви берете «середньозважений» 80 і 90. Тобто в середньому 8 частин по 80 і 2 частини 90, що дорівнює 82.

У першій ситуації, щоб знайти очікувану величину, ми множили кожен виграш на ймовірність її виникнення, а потім склали суми, розраховані для всіх можливих випадків. У другому прикладі, якщо ми вважаємо наш тестовий бал виплатою, ми зробили те ж саме. Це призводить нас до наступного визначення.

Очікувана вартість

Якщо експеримент має наступний розподіл ймовірностей,

Виплата	$x_1$	$x_2$	$x_3$	.	$x_n$
Імовірність	$p(x_1)$	$p(x_2)$	$p(x_3)$	.	$p(x_n)$

то очікуване значення експерименту

\[\text { Expected Value }=x_{1} p\left(x_{1}\right)+x_{2} p\left(x_{2}\right)+x_{3} p\left(x_{3}\right)+\dots+x_{n} p\left(x_{n}\right) \nonumber \]

Приклад$\PageIndex{1}$

У місті 10% сімей мають трьох дітей, 60% сімей мають двох дітей, 20% сімей мають одну дитину, 10% сімей не мають дітей. Яка очікувана кількість дітей в сім'ю?

Рішення

Перерахуємо інформацію в наступній таблиці.

Кількість дітей	3	2	1	0
Імовірність	0,10	0,60	0,20	0,10

Очікуване значення =$x_1p(x_1) + x_2p(x_2) + x_3p(x_3) + x_4p(x_4)$

$E = 3(.10) + 2(.60) + 1(.20) + 0(.10) = 1.7$

Так в середньому в сім'ї є 1,7 дітей.

Приклад$\PageIndex{2}$

Щоб продати середній будинок, брокер нерухомості витрачає 1200 доларів на витрати на рекламу. Якщо будинок продається за три місяці, брокер робить 8 000 доларів. В іншому випадку брокер втрачає лістинг. Якщо є 40% шанс, що будинок продадуть через три місяці, яка очікувана виплата для брокера нерухомості?

Рішення

Брокер робить 8 000 доларів з ймовірністю 0,40, але він втрачає 1200 доларів, продає будинок чи ні.

\[ E = (\$8000)(.40) - (\$1200) = \$2,000 \nonumber. \nonumber \]

Як варіант, брокер робить $ (8000 - 1200) з ймовірністю 0,40, але втрачає 1200$ з ймовірністю 0,60. Тому,

\[E = (\$6800)(.40) - (\$1200)(.60) = \$2,000 \nonumber. \nonumber \]

Приклад$\PageIndex{3}$

У місті відвідуваність футбольного матчу залежить від погоди. У сонячний день відвідуваність становить 60 000, в холодний день відвідуваність - 40 000, а в бурхливий день відвідуваність - 30 000. Якщо на наступний футбольний сезон метеоролог прогнозував, що 30% днів будуть сонячними, 50% днів будуть холодними, а 20% днів будуть бурхливими, яка очікувана відвідуваність для однієї гри?

Рішення

Використовуючи формулу очікуваного значення, отримуємо

\[ E = (60,000)(.30) + (40,000)(.50) + (30,000)(.20) = 44,000 \nonumber. \nonumber \]

Приклад$\PageIndex{4}$

Лотерея складається з вибору 6 номерів із загальної кількості 51 номерів. Людина, яка відповідає всім шести числам, виграє 2 мільйони доларів. Якщо лотерейний квиток коштує 1 долар, яка очікувана виплата?

Рішення

Так як є$51\mathrm{C}6 = 18,009,460$ комбінації з шести чисел із загальної кількості 51 числа, шанс вибору виграшного числа становить 1 з 18 009 460.

Отже, очікувана виплата:$\mathrm{E}=\left(\$ 2 \text { million } \right) \left(\frac{1}{18009460}\right)-\$ 1=-\$ 0.89$

Це означає, що кожен раз, коли людина витрачає 1 долар на покупку квитка, він може розраховувати на втрату 89 центів.

Виплата	\(x_1\)	\(x_2\)	\(x_3\)	.	\(x_n\)
Імовірність	\(p(x_1)\)	\(p(x_2)\)	\(p(x_3)\)	.	\(p(x_n)\)

Цілі навчання

Очікувана вартість

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)