9.2: Формула Байєса
- Page ID
- 67184
У цьому розділі ви навчитеся:
- Знайдіть ймовірності за формулою Байєса
- Використовуйте дерево ймовірностей для пошуку та представлення значень, необхідних при використанні формули Байєса.
У цьому розділі ми розробимо та використаємо формулу Байєса для вирішення важливого типу ймовірнісної проблеми. Формула Байєса - це метод обчислення умовної ймовірності\(P(F | E)\) від\(P(E | F)\). Задіяні тут ідеї не є новими, і більшість цих проблем можна вирішити за допомогою діаграми дерева. Однак формула Байєса надає нам інструмент, за допомогою якого ми можемо вирішити ці проблеми без діаграми дерева.
Почнемо з прикладу.
Припустимо, вам дають дві баночки. Jar I містить один чорний і 4 білих мармуру, а Jar II містить 4 чорних і 6 білих мармуру. Якщо баночка обрана навмання і обрана мармурова,
- Яка ймовірність того, що обраний мармур - це чорний мармур?
- Якщо обраний мармур чорний, яка ймовірність того, що він прийшов від Jar I?
- Якщо обраний мармур чорний, яка ймовірність того, що він прийшов з Jar II?
Рішення
Нехай\(J I\) буде подія, коли обраний Jar I,\(J II\) бути подією, яку обрано Jar II,\(B\) бути подією, що обраний чорний мармур і\(W\) подія, коли обраний білий мармур.
Проілюструємо, використовуючи деревоподібну діаграму.
- Імовірність того, що обраний чорний мармур, дорівнює\(P(B)\) = 1/10 + 2/10 = 3/10.
- Щоб знайти\(P(J I | B)\), використовуємо визначення умовної ймовірності, і отримаємо\[P(J I | B)=\frac{P(J I \cap B)}{P(B)}=\frac{1 / 10}{3 / 10}=\frac{1}{3} \nonumber \]
- Аналогічно,\(\mathrm{P}(\mathrm{J} \mathrm{II} | \mathrm{B})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{J} \mathrm{II} \cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{B})}=\frac{2 / 10}{3 / 10}=\frac{2}{3}\)
У частинок b і c читач повинен відзначити, що знаменник - це сума всіх ймовірностей всіх гілок дерева, які виробляють чорний мармур, тоді як чисельник - гілка, яка пов'язана з конкретною даним баночкою.
Незабаром ми виявимо, що це твердження формули Байєса.
Давайте спочатку візуалізуємо проблему.
Нам дається вибірковий простір\(\mathrm{S}\) і два взаємовиключних події\(J I\) і\(J II\). Тобто, дві події,\(J I\) і\(J II\), розділити простір вибірки на дві частини такі, що\(\mathrm{JI} \cup \mathrm{JII}=\mathrm{S}\). Крім того, нам дається подія\(B\), яка має елементи в обох\(J I\) і\(J II\), як показано на діаграмі Венна нижче.
З діаграми Венна ми бачимо, що\(\mathrm{B}=(\mathrm{B} \cap \mathrm{J} \mathrm{I}) \cup(\mathrm{B} \cap \mathrm{J} \mathrm{II})\) Тому:
\[ P(B)=P(B \cap J I)+P(B \cap J I I) \label{I} \]
Але правило продукту в главі 7 дає нам
\[ P(B \cap J I)=P(J I) \cdot P(B | J I) \quad \text { and } \quad P(B \cap J I I)=P(J I I) \cdot P(B | J I I) \nonumber \]
Підставивши в\ ref {I}, отримуємо
\[P(B)=P(J I) \cdot P(B | J I)+P(J I I) \cdot P(B | J I I) \nonumber \]
Формула умовної ймовірності дає нам
\[P(J I | B)=\frac{P(J I \cap B)}{P(B)} \nonumber \]
Тому\(P(J I | B)=\frac{P(J I) \cdot P(B | J I)}{P(B)}\)
або
\[P(J I | B)=\frac{P(J I) \cdot P(B | J I)}{P(J I) \cdot P(B | J I)+P(J I I) \cdot P(B | J I I)} \nonumber \]
Останнім твердженням є формула Байєса для випадку, коли простір вибірки розділений на два розділи.
Нижче наведено узагальнення формули Байєса для n розділів.
\(\mathrm{S}\)Дозволяти бути зразком простору, який розділений на\(n\) перегородки\(A_1\)\(A_2\),,,. \(A_n\). Якщо\(E\) є якась подія в\(\mathrm{S}\), то
\[\mathbf{P}\left(\mathbf{A}_{\mathbf{i}} | \mathbf{E}\right)=\frac{\mathbf{P}\left(\mathbf{A}_{\mathbf{i}}\right) \mathbf{P}\left(\mathbf{E} | \mathbf{A}_{\mathbf{i}}\right)}{\mathbf{P}\left(\mathbf{A}_{\mathbf{1}}\right) \mathbf{P}\left(\mathbf{E} | \mathbf{A}_{\mathbf{1}}\right)+\mathbf{P}\left(\mathbf{A}_{2}\right) \mathbf{P}\left(\mathbf{E} | \mathbf{A}_{2}\right)+\cdots+\mathbf{P}\left(\mathbf{A}_{\mathbf{n}}\right) \mathbf{P}\left(\mathbf{E} | \mathbf{A}_{\mathbf{n}}\right)} \nonumber \]
Почнемо з наступного прикладу.
Універмаг купує 50% своєї техніки у виробника А, 30% у виробника B та 20% у виробника C. За оцінками, 6% приладів виробника А, 5% приладів виробника B та 4% приладів виробника C потребують ремонту до закінчення терміну гарантії. Прилад вибирається випадковим чином. Якщо обраний прилад потребував ремонту до закінчення терміну гарантії, яка ймовірність того, що прилад був виготовлений виробником А? Виробник B? Виробник C?
Рішення
Нехай A, B і C - це події, що прилад виготовлений виробником A, Manufacturer B і Manufacturer C відповідно. Далі припустимо, що подія R позначає, що прилад потребує ремонту до закінчення терміну гарантії.
Нам потрібно знайти P (A | R), P (B | R) і P (C | R).
Ми будемо робити цю проблему як за допомогою діаграми дерева, так і за допомогою формули Байєса.
Малюємо діаграму дерева.
Імовірність P (A | R), наприклад, - це дріб, знаменником якого є сума всіх ймовірностей всіх гілок дерева, які призводять до того, що прилад потребує ремонту до закінчення терміну гарантії, а чисельником є гілка, яка пов'язана з виробником А. Р (B | R) і P (C | R) знаходяться в таким же чином.
\ [\ почати {масив} {l}
P (A | R) =\ розрив {.030} {(.030) + (.015) + (.008)} =\ фракція {.030} {.053} =.566\
P (B | R) =\ розрив {.015} {.053} =.283\ текст {і} Р (С | Р) =\ frac {.008} {.053} =.151
\ кінець {масив}\ nonumber\]
Крім того, використовуючи формулу Байєса,
\ begin {вирівняний}\ математика {P} (\ mathrm {A} |\ математика {R}) &=\ frac {\ математика {P} (\ математика {A})\ математика {R} |\ математика {A})} {\ mathrm {P} (\ mathrm {A}) математика {P} (\ математика {R} |\ математика {A}) +\ математика {P} (\ математика {B})\ математика {P} (\ mathrm {R} |\ математика {B}) +\ математика {P} (\ математика {C})\ mathrm {P} R} |\ математика {C}
)}\\
&=\ гідророзриву {.030} {(.030) + (.015) + (.008)} =\ гідророзриву {.030} {.053} =.566
\ кінець {вирівняний}
П (В | Р) і Р (С | Р) можуть визначатися таким же чином.
У Сан-Хосе є п'ять універмагів Jacy. Розподіл чисельності працівників за статтю наведено в таблиці нижче.
| Номер магазину | Кількість працівників | Відсоток жінок-працівників |
| 1 | 300 | 4.0 |
| 2 | 150 | 6.5 |
| 3 | 200 | 6.0 |
| 4 | 250 | 5.0 |
| 5 | 100 | 7.0 |
| Всього = 1000 |
Якщо співробітником, обраним навмання, є жінка, яка ймовірність того, що працівник працює в магазині III?
Рішення
Нехай\(k\) = 1, 2,.,., 5 - це подія, що працівник працював в магазині\(k\), а W - подія, що співробітник - жінка. Оскільки в п'яти магазинах налічується загалом 1000 співробітників,
\[P(1)=.30 \quad P(2)=.15 \quad P(3)=.20 \quad P(4)=.25 \quad P(5)=.10 \nonumber \]
Використовуючи формулу Байєса,
\ [\ begin {масив} {l}
\ математика {P} (3 |\ математика {W}) &=\ frac {\ mathrm {P} (3)\ mathrm {P} (\ mathrm {W} | 3)} {\ mathrm {P} (1)\ mathrm {P} (\ mathrm {W} | 1) +\ математика {P} (2)\ математика {P} (\ mathrm {W} | 2) +\ математика {P} (3)\ математика {P} (\ mathrm {W} | 3) +\ математика {P} (4)\ математика {P} (\ mathrm {W} | 4) +\ mathrm {P} 5)\ матрм {P} (\ матрм {W} | 5)}\\
&=\ розриву {(.20) (.60)} {(.30) (.40) + (.15) (.65) + (.20) (.60) + (.25) (.50) + (.10) (.70)}\\
&=.2254
\ кінець {масив}\ nonnumber\]