9.1: Біноміальна ймовірність

Last updated
Save as PDF

Page ID: 67208

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

У цьому розділі ви навчитеся:

Визнати, коли використовувати біноміальний розподіл ймовірностей
Вивести формулу для біноміального розподілу ймовірностей
Обчислити ймовірності для експерименту з біноміальною ймовірністю

У цьому розділі ми розглядаємо проблеми, які передбачають послідовність випробувань, де кожне випробування має лише два результати, успіх або невдачу. Ці судові процеси є незалежними, тобто результат одного не впливає на результат будь-якого іншого судового розгляду. Імовірність успіху$p$, і ймовірність невдачі$(1 - p)$, залишається незмінною протягом усього експерименту. Ці проблеми називаються біноміальними задачами ймовірності. Оскільки ці проблеми досліджував швейцарський математик Жак Бернуллі близько 1700 року, їх також називають випробуваннями Бернуллі.

Дамо наступне визначення:

Біноміальний експеримент

Біноміальний експеримент задовольняє наступним чотирьом умовам:

Є тільки два результати, успіх або невдача, для кожного судового розгляду.
Цей же експеримент повторюється кілька разів.
Судові процеси є незалежними; тобто результат конкретного судового розгляду не впливає на результат будь-якого іншого судового розгляду.
Імовірність успіху залишається однаковою для кожного судового процесу.

Ця модель ймовірності, яка дасть нам інструменти для вирішення багатьох реальних проблем, таких як:

Якщо монету перевернути 10 разів, яка ймовірність того, що вона впаде головами 3 рази?
Якщо баскетболіст робить 3 з кожних 4 штрафних кидка, яка ймовірність того, що він зробить 7 з 10 штрафних кидків в грі?
Якщо ліки виліковує 80% людей, які його приймають, яка ймовірність того, що серед десяти людей, які приймають ліки, 6 будуть вилікувані?
Якщо виробник мікрочіпа стверджує, що тільки 4% його мікросхем несправні, то яка ймовірність того, що серед 60 обраних чіпів рівно три несправні?
Якщо керівник телемаркетингу визначив, що 15% людей, з якими зв'язалися, придбають продукт, яка ймовірність того, що серед 12 людей, з якими зв'язалися, 2 придбають товар?

Зараз ми розглянемо наступний приклад для розробки формули знаходження ймовірності$k$ успіхів у випробуваннях$n$ Бернуллі.

Приклад$\PageIndex{1}$

Бейсболіст має ватин в середньому .300. Якщо він биє чотири рази в грі, знайдіть ймовірність того, що у нього буде

4 хіти
3 хіти
2 хіти
1 хіт
жодних хітів.

Рішення

Нехай S позначають, що гравець отримує удар, а F позначають, що він не отримує попадання.

Це біноміальний експеримент, оскільки він відповідає всім чотирьом умовам. По-перше, є тільки два результати, S або F. Очевидно, що експеримент повторюється чотири рази. Нарешті, якщо припустити, що майстерність гравця отримати удар не змінюється кожного разу, коли він приходить до бита, випробування незалежні з ймовірністю 3 отримання удару під час кожного випробування.

Ми малюємо діаграму дерева, щоб показати всі ситуації.

$Приклад 9.1.1.PNG$

Давайте спочатку знайдемо ймовірність отримання, наприклад, двох ударів. Нам доведеться розглянути шість можливостей, SSFF, SFSF, SFFS, FSSF, FSFS, FFSS, як показано на наведеній вище діаграмі дерева. Перерахуємо ймовірності кожного нижче.

\ [\ почати {масив} {l}
\ математика {P} (\ математика {SSFF}) =( .3) (.3) (.7) = (.3) ^ {2} (.7) ^ {2}\\ математика {P} (
\ математика {SFSF}) =( .3) (.7) (.7) (.3) (.3) (.3) (.3) (.3) (.3) (.3) (.3) (.3) (.3) (.3) (.3) (.3) (.3) (.3) (.3) (.3 (.3) ^ {2} (.7) ^ {2}\\ математика {P} (\ математика {SFFS}) =( .3) (.7) (.3) =( .3) ^ {2} (.7) ^ {2}\\\ математика {P} (\ матрм {FSSF}) =( .7) (.3) 3.3) (.7) =( 3)

) ^ {2} (.7) ^ {2}\
\ математика {P} (\ математика {ФСФС}) =( .7) (.3) (.3) = (.3) ^ {2} (.7) ^ {2}\\\ математика {P} (
\ матрм {FFSS}) =( .7) (.7) (.7) (.3) (.3) =( .3) ^ {2} (.7) ^ {2}
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Оскільки ймовірність кожного з цих шести результатів є$(.3)^2(.7)^2$, ймовірність отримання двох успіхів є$6(.3)^2(.7)^2$.

Імовірність отримання одного попадання можна отримати таким же чином. Оскільки кожна перестановка має один S і три F, існує чотири такі результати: SFFF, FSFF, FFSF та FFFS.

А оскільки ймовірність кожного з чотирьох результатів є$(.3)(.7)^3$, ймовірність отримати один удар є$4(.3)(.7)^3$.

У таблиці нижче перераховані ймовірності для всіх випадків, і показано порівняння з біноміальним розширенням четвертого ступеня. Знову ж,$p$ позначає ймовірність успіху, і$q = (1 - p)$ ймовірність невдачі.

Результат	Чотири хіти	Три хіти	Два хіти	Один удар	Немає хітів
Імовірність	$(.3)^4$	$4 (.3)^3(.7)$	$6 (.3)^2(.7)^2$	$4 (.3)(.7)^3$	$(.7)^4$

\ [\ почати {масив} {l}
(.3+.7) ^ {4} = (.3) ^ {4} +4 (.3) ^ {3} (.7) +6 (.3) ^ {2} (.7) ^ {4} + (.7) ^ {4}\ (p+q) ^ {4}\
(p+q) ^ {4} =p^ {4}} +4 p^ {3} q+6 p^ {2} q^ {2} +4 p q^ {3} +q^ {4}
\ end {масив}\ nonumber\]

Це дає нам наступну теорему:

Біноміальна теорема ймовірності

Імовірність отримання$k$ успіхів у$n$ незалежних випробуваннях Бернуллі дається

\[ \mathbf{P}(\mathbf{n}, \mathbf{k} ; \mathbf{p})=\mathbf{n} \mathbf{C} \mathbf{k} \: \mathbf{p}^{\mathbf{k}} \mathbf{q}^{\mathbf{n}-\mathbf{k}} \nonumber \]

де$p$ позначається ймовірність успіху і$q = (1 - p) $ ймовірність невдачі.

Для вирішення наступних прикладів ми використовуємо біноміальну формулу ймовірності.

Приклад$\PageIndex{2}$

Якщо монету перевернути 10 разів, яка ймовірність того, що вона впаде головами 3 рази?

Рішення

Нехай S позначають ймовірність отримання голови, а F - ймовірність отримання хвоста.

Зрозуміло$n = 10$,$k = 3$,$p = 1/2$,, і$q = 1/2$.

Тому,$\mathrm{b}(10,3 ; 1 / 2)=10 \mathrm{C} 3 \: (1 / 2)^{3}(1 / 2)^{7}=.1172$

Приклад$\PageIndex{3}$

Якщо баскетболіст робить 3 з кожних 4 штрафних кидків, яка ймовірність того, що він зробить 6 з 10 штрафних кидків в грі?

Рішення

Імовірність здійснення штрафного кидка дорівнює 3/4.
Тому,$p = 3/4$$q = 1/4$,$n = 10$, і$k = 6$.

Тому,$b(10, 6; 3/4) = 10\mathrm{C}6 \: (3/4)^6(1/4)^4 = .1460$

Приклад$\PageIndex{4}$

Якщо ліки виліковує 80% людей, які його приймають, яка ймовірність того, що з восьми людей, які приймають ліки, 5 будуть вилікувані?

Рішення

Ось$p =.80$,$q = .20$,$n = 8$, і$k = 5$.

\[ b(8, 5; .80) = 8\mathrm{C}5 \: (.80)^5(.20)^3 = .1468 \nonumber \]

Приклад$\PageIndex{5}$

Якщо виробник мікрочіпа стверджує, що тільки 4% його мікросхем несправні, то яка ймовірність того, що серед 60 обраних чіпів рівно три несправні?

Рішення

Якщо S позначає ймовірність того, що мікросхема несправна, а F ймовірність того, що мікросхема не несправна, то$p = .04$,$q = .96$,$n = 60$, і$k = 3$.

\[ b(60, 3; .04) = 60 \mathrm{C} 3 \: (.04)^3(.96)^{57} = .2138 \nonumber \]

Приклад$\PageIndex{6}$

Виконавчий директор телемаркетингу визначив, що 15% людей, з якими зв'язалися, придбають продукт. 12 людей зв'язуються з цим продуктом.

Знайдіть ймовірність того, що серед 12 контактованих людей 2 куплять товар.
Знайти ймовірність того, що серед 12 контактували людей, максимум 2 купуватимуть товар?

Рішення

а. якщо S позначається ймовірність того, що людина буде купувати товар, а F ймовірність того, що людина не буде купувати товар, то$p = .15$,$q = .85$,$n = 12$, і$k = 2$.

\[b(12, 2; .15) = 12 \mathrm{C} 2 \: (.15)^2(.85)^{10} = .2924 \nonumber. \nonumber \]

Імовірність того, що 2 людини купують товар, становить 0.2924.

б. знову ж таки$p = .15$,$q = .85$,$n = 12$. Але щоб знайти ймовірність того, що максимум 2 купують товар, нам потрібно знайти ймовірності для$k= 0$$k=1$,$k=2$ і скласти їх разом.

\ [\ почати {масив} {l}
\ математика {b} (12,0; .15) =12\ математика {C} 0\: (.15) ^ {0} (.85) ^ {12} =.1422\\
\ математика {b} (12,1; .15) =12\ матхм {C} 1\: (.15) ^ {1} (.15) ^ {1} (.15) 85) ^ {11} =.3012
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Додавання всіх трьох ймовірностей дає: .1422 +0,3012 +.2924 = .7358

Імовірність того, що товар купують не більше 2 людей, становить 0.7358.

Цілі навчання

Біноміальний експеримент

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Біноміальна теорема ймовірності

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Приклад\(\PageIndex{6}\)