7.7: Біноміальна теорема
- Page ID
- 66944
Закінчуємо цю главу ще одним застосуванням комбінацій. Комбінації використовуються при визначенні коефіцієнтів біноміального розширення типу\((x + y)^n\). Розширення біноміального виразу шляхом його множення - дуже стомлююче завдання, і не практикується. Натомість для визначення такого розширення використовується формула, відома як біноміальна теорема. Перш ніж ввести Біноміальну теорему, однак, розглянемо наступні розширення.
\ [\ почати {масив} {l}
(x+y) ^ {2} =x^ {2} +2 х y+y^ {2}\
(x+y) ^ {3} =x^ {3} +3 x^ {2} y+3 х ^ {2} +y^ {3}\\
(x+y) ^ {4} =x^ {4} +4} +4 x ^ {2} +y^ {3}\ (x+y) ^ {4} y+6 x^ {2} y^ {2} +4 х y^ {3} +y^ {4}\\
(x+y) ^ {5} =x^ {5} +5 x^ {4} y+10 x^ {3} y^ {2} y^ {2} y^ {3} +5 х y^ {4} +y^ {5}\
(x+y) {6} = x 6+6 x^ {5} y+15 x^ {4} y^ {2} +20 x^ {3} y^ {3} +15 x^ {2} y^ {4} +6 х y^ {5} +y^ {6}
\ кінець {масив}\ nonumber\]
Робимо наступні спостереження.
- Є\(n + 1\) терміни в розширенні\((x + y)^n\)
- Сума повноважень\(x\) і\(y\) є\(n\).
- Повноваження\(x\) починаються з\(n\) і зменшуються на одиницю з кожним наступним терміном.
Повноваження\(y\) починаються з 0 і збільшуються на одиницю з кожним наступним членом.
Припустимо, ми хочемо розширити\((x + y)^3\). Спочатку пишемо розширення без коефіцієнтів. Тимчасово підставляємо бланк замість коефіцієнтів.
\[(x+y)^{3}=\square x^{3}+\square x^{2} y+\square x y^{2}+\square y^{3} \label{I} \]
Наша наступна робота полягає в заміні кожного з пробілів у рівнянні (\ ref {I}) відповідними коефіцієнтами, які належать цьому розширенню. Зрозуміло,
\[(x+y)^{3}=(x+y)(x+y)(x+y) \nonumber \]
Якщо ми перемножимо праву сторону і не збираємо терміни, то отримаємо наступне.
\[xxx + xxy + xyx + xyy + yxx + yxy + yyx + yyy \nonumber \]
Кожен продукт у вищезгаданому розширенні є результатом множення трьох змінних шляхом вибору по одній з кожного з факторів\((x+y)(x+y)(x+y)\). Наприклад, продукт\(xxy\) отримують, вибираючи\(x\) з першого фактора,\(x\) з другого фактора, і\(y\) з третього фактора. Існує три таких вироби, які спрощують до\(x^2y\), а саме\(xxy\)\(xyx\), і\(yxx\). Ці продукти мають місце, коли ми вибираємо один\(x\) з двох факторів і вибираємо один\(y\) з іншого фактора. Зрозуміло, що це можна зробити 3С2, або 3 способами. Тому коефіцієнт терміну\(x^2y\) дорівнює 3. Коефіцієнти інших членів виходять аналогічним чином.
Тепер замінюємо заготовки на коефіцієнти в рівнянні (\ ref {I}), і отримуємо
\[(x+y)^{3}=x^{3}+3 x^{2} y+3 x y^{2}+y^{3} \nonumber \]
Знайти коефіцієнт терміну\(x^2y^5\) в розширенні\((x+y)^7\).
Рішення
Розширення\((x + y)^7 = (x + y) (x + y) (x + y) (x + y) (x + y) (x + y) (x + y) \)
При множенні правої сторони, кожен продукт отримується шляхом вибору\(x\) або\(y\) з кожного з семи факторів\((x + y) (x + y) (x + y) (x + y) (x + y) (x + y) (x + y)\).
Термін\(x^2y^5\) отримують шляхом вибору\(x\) з двох факторів і a\(y\) з інших п'яти факторів. Це можна зробити 7С2, або 21 способом.
Тому коефіцієнт терміну\(x^2y^5\) дорівнює 21.
Розгорнути\((x + y)^7\)
Рішення
Спочатку пишемо розширення без коефіцієнтів.
\[(x+y)^{7}=\square x^{7}+\square x^{6} y+ \square x^{5} y^{2}+ \square x^{4} y^{3}+ \square x^{3} y^{4}+\square x^{2} y^{5}+\square x y^{6}+\square y^{7} \nonumber \]
Тепер визначаємо коефіцієнт кожного члена, як ми це робили в прикладі\(\PageIndex{1}\).
Коефіцієнт терміну\(x^7\) становить 7С7 або 7СО, що дорівнює 1.
Коефіцієнт терміну\(x^6y\) становить 7С6 або 7С1, що дорівнює 7.
Коефіцієнт терміну\(x^5y^2\) становить 7С5 або 7С2, що дорівнює 21.
Коефіцієнт терміну\(x^4y^3\) становить 7С4 або 7С3, що дорівнює 35,
і так далі.
Підставивши, отримуємо:\((x+y)^{7}=x^{7}+7 x^{6} y+21 x^{5} y^{2}+35 x^{4} y^{3}+35 x^{3} y^{4}+21 x^{2} y^{5}+7 x y^{6}+y^{7}\)
Узагальнюємо результат.
\[(x+y)^{n}=_{n} C_{0} x^{n}+_{n} C_{1} x^{n-1} y+_{n} C_{2} x^{n-2} y^{2}+\cdots \cdot+_{n} C_{n-1} x y^{n-1+}_{n} C_{n} y^{n} \nonumber \]
Розгорнути\((3a-2b)^4\)
Рішення
Якщо ми дозволимо\(x = 3a\) і\(y = - 2b\), і застосуємо Біноміальну теорему, отримаємо
\ почати {вирівняний}
(3 а-2 b) ^ {4} &=4\ ім'я оператора {Co} (3 a) ^ {4} +4 C l (3 a) ^ {3} (-2 b) +4 C 2 (3 a) ^ {2} (-2) ^ {2} +4 C 3 (3 a) (-2 b) ^ {3} +4 C 4 (-2 b) ^ {4}\
&=1\ ліворуч (81 a^ {4}\ праворуч) +4\ ліворуч (27 a^ {3}\ праворуч) (-2 b) +6\ ліворуч (9 a^ {2}\ праворуч)\ ліворуч (4 b^ {2}\ праворуч) +4 (3 a)\ ліворуч (-8 b^ {3}\ праворуч) +1\ ліворуч (16 b^ {3}\ праворуч)\\
&=81 a^ {4} -216 a^ {3} b+216 a^ {2} b^ {2} -96 a b^ {3} +16 b^ {4}
\ кінець {вирівняний}
Знайдіть п'ятий термін розширення\((3a-2b)^7\).
Рішення
Біноміальна теорема говорить нам, що в r-му члені розширення показник\(y\) терміна завжди на одиницю менше\(r\), і, коефіцієнт члена є\(_{\mathrm{n}} \mathrm{C}_{\mathrm{r}-1}\).
\(n = 7\)і\(r - 1 = 5 - 1= 4\), таким чином, коефіцієнт дорівнює\(7 \mathrm{C} 4=35\)
Таким чином, п'ятий термін - це\((7 \mathrm{C} 4)(3 \mathrm{a})^{3}(-2 \mathrm{b})^{4}=35\left(27 \mathrm{a}^{3}\right)\left(16 \mathrm{b}^{4}\right)=15120 \mathrm{a}^{3} \mathrm{b}^{4}\)