Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

7.6: Комбінації - за участю декількох наборів

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    66916

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Цілі навчання

    У цьому розділі ви навчитеся

    1. підрахувати кількість елементів, вибраних з більш ніж одного набору
    2. підрахувати кількість елементів, вибраних при наявності обмежень на вибір

    До цих пір ми вирішили основну задачу поєднання\(\mathrm{r}\) об'єктів, обраних з n різних об'єктів. Зараз ми розглянемо певні варіації цієї проблеми.

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Скільки п'ятимісних комітетів, що складаються з 2 чоловіків і 3 жінок, можуть бути обрані із загальної кількості 4 чоловіків і 4 жінок?

    Рішення

    Ми перерахуємо 4 чоловіків і 4 жінок наступним чином:

    \[M_1M_2M_3M_4W_1W_2W_3W_4 \nonumber \]

    Оскільки ми хочемо, щоб комітети з 5 осіб, що складаються з 2 чоловіків і 3 жінок, ми спочатку сформуємо всі можливі комітети з двох чоловік і всі можливі комітети з трьох жінок. Зрозуміло, що є 4C2 = 6 комітетів з двома чоловіками, і 4C3 = 4 комітети з трьома жінками, ми перерахуємо їх наступним чином:

    Комітети 2-чоловік Комітети 3-жінок

    \ [\ begin {масив} {l}
    \ математика {M} _ {1}\ математика {M} _ {2}
    \\ математика {M} _ {1}\ mathrm {M} _ {3}
    \\ mathrm {M} _ {1}\ mathrm {M} _ {4}
    \\ mathrm {M} _ {2} математика {M} _ {3}
    \\ математика {M} _ {2}\ математика {M} _ {4 }\
    \ mathrm {M} _ {3}\ mathrm {M} _ {4}
    \ кінець {масив}\ nonumber\]

    \ [\ begin {масив} {l}
    \ математика {W} _ {1}\ математика {W} _ {2}\ математика {W} _ {3}
    \ mathrm {W} _ {1}\ математика {A} _ {2}\ математика {W} _ {4}\
    \ mathrm {W} _ {1}\ mathrm m {W} _ {3}\ математика {W} _ {4}
    \\ математика {W} _ {2}\ математика {W} _ {3}\ математика {W} _ {4 }
    \ end {масив}\ nonumber\]

    Для кожного комітету з 2 чоловік існує чотири комітети з 3 жінок, які можуть бути обрані для складання комітету з 5 осіб. Якщо ми обираємо\(M_1M_2\) як наш комітет з 2 чоловік, то ми можемо вибрати будь-який з\(W_1W_2W_3\)\(W_1W_2W_4\)\(W_1W_3W_4\), або\(W_2W_3W_4\) як наші комітети з 3 жінок. В результаті отримуємо

    \[ \boxed{M_1M_2}W_1W_2W_3, \boxed{M_1M_2} W_1W_2W_4, \boxed{M_1M_2} W_1W_3W_4, \boxed{M_1M_2} W_2W_3W_4 \nonumber \]

    Аналогічно, якщо ми виберемо\(M_1M_3\) як наш комітет з 2 чоловік, то, знову ж таки, ми можемо вибрати будь-який з\(W_1W_2W_3\)\(W_1W_2W_4\)\(W_1W_3W_4\), або\(W_2W_3W_4\) як наші комітети з 3 жінок.

    \[\boxed{M_1M_3}W_1W_2W_3, \boxed{M_1M_3} W_1W_2W_4, \boxed{M_1M_3}W_1W_3W_4, \boxed{M_1M_3}W_2W_3W_4 \nonumber \]

    І так далі.

    Оскільки існує шість комітетів з 2 чоловік, і для кожного комітету з 2 чоловік є чотири комітети з 3 жінок, є взагалі комітети з\(6 \cdot 4 = 24\) п'яти чоловік.

    По суті, ми застосовуємо аксіому множення до різних комбінацій.

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Клуб середньої школи складається з 4 першокурсників, 5 другокурсників, 5 юніорів та 6 людей похилого віку. Скільки способів може бути обраний комітет з 4 осіб, що включає

    1. Один студент з кожного класу?
    2. Всі юніори?
    3. Двоє першокурсників і 2 людей похилого віку?
    4. Немає першокурсників?
    5. Принаймні троє людей похилого віку?

    Рішення

    а Застосовуючи аксіому множення до задіяних комбінацій, отримаємо

    (4С1) (5С1) (5С1) (6С1) = 600

    б Ми обираємо всіх 4 членів з 5 юніорів, і жоден з інших.

    5Х4 = 5

    c. 4С2\(\cdot\) 6С2 = 90

    d Оскільки ми не хочемо, щоб у комітеті були першокурсники, нам потрібно вибрати всіх членів з решти 16. Тобто

    16К4 = 1820

    Тобто з 4 осіб в комітеті ми хочемо принаймні трьох людей похилого віку. Це можна зробити двома способами. Ми могли б мати трьох людей похилого віку, і одного не-старшого, або всіх чотирьох людей похилого віку.

    (6С3) (14С1) + 6С4 = 295

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Скільки п'ятилітерних послідовностей слів, що складаються з 2 голосних і 3 приголосних, може бути утворено з букв слова INTRUTED?

    Рішення

    Спочатку виділяємо групу з п'яти букв, що складаються з 2 голосних і 3 приголосних.
    Оскільки є 4 голосні та 5 приголосних, ми маємо

    (4С2) (5С3)

    Оскільки наше наступне завдання полягає в тому, щоб зробити послідовності слів з цих букв, ми помножимо їх на 5!.

    (4С2) (5С3) (5! ) = 7200.

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Стандартна колода гральних карт налічує 52 карти, що складаються з 4 мастей, кожна з яких має 13 карт. У скільки різних способів може бути намальована 5-карткова рука, що складається з чотирьох карт однієї масті і однієї з іншої?

    Рішення

    Ми зробимо проблему, виконавши наступні кроки.
    Крок 1. Підберіть костюм.
    Крок 2. Виберіть чотири карти з цієї масті.
    Крок 3. Виберіть інший костюм.
    Крок 4. Виберіть карту з цієї масті.

    Застосовуючи аксіому множення, ми маємо

    Способи підбору першого костюма Способи вибору 4 карт з цієї масті Способи підбору чергового костюма Способи вибору карти з тієї масті
    4С1 13Х4 3С1 13К1

    (4С1) (13Х4) (3С1) (13С1) = 111,540.

    СТАНДАРТНА КОЛОДА З 52 ГРАЛЬНИХ КАРТ

    Як і в попередньому прикладі, багато прикладів і домашніх завдань в цій книзі відносяться до стандартної колоді з 52 гральних карт. Перш ніж ми закінчимо цей розділ, ми витрачаємо хвилинку, щоб описати стандартну колоду гральних карт, оскільки деякі читачі можуть не знайомі з цим.

    Стандартна колода з 52 гральних карт має 4 масті по 13 карт в кожній масті.

    7.6 Палубні карти. PNG

    Кожна масть асоціюється з кольором, або чорним (піки, трефи) або червоним (діаманти, серця)

    Кожна масть містить 13 номіналів (або значень) для карт:

    дев'ять чисел 2, 3, 4,..., 10 і валет (J), дама (Q), король (K), туз (A).

    Валет, дама і король називаються «лицьовими картами», тому що на них є картинки. Тому стандартна колода має 12 карт обличчя: (3 значення JQK) x (4 масті ♦♥♠ ♣)

    Ми можемо візуалізувати 52 карти наступним дисплеєм

    Костюм Колір Значення (номінали)
    ♦ Діаманти Червоний 2 3 4 5 6 7 8 9 10 М КВ
    ♥ Серця Червоний 2 3 4 5 6 7 8 9 10 М КВ
    ♠ Лопати Чорний 2 3 4 5 6 7 8 9 10 М КВ
    ♣ Клуби Чорний 2 3 4 5 6 7 8 9 10 М КВ