7.5: Комбінації
- Page ID
- 66893
У цьому розділі ви навчитеся
1. \(\mathrm{r}\)Підрахуйте кількість комбінацій з\(\mathrm{n}\) предметів (вибір без урахування розташування)
2. Використовуйте факторіали для виконання розрахунків за участю комбінацій
Припустимо, у нас є набір з трьох букв {A, B, C}, і нас просять зробити дволітерні послідовності слів. У нас є наступні шість перестановок.
AB БАР BC CB AC CA
Тепер припустимо, що у нас є група з трьох людей {A, B, C} як Al, Bob і Chris, відповідно, і нас просять сформувати комітети по дві людини кожен. Цього разу у нас всього три комітети, а саме:
AB BC ЗМІННОГО СТРУМУ
При формуванні комітетів порядок не важливий, тому що комітет, який має Аль і Боб, нічим не відрізняється від комітету, в якому є Боб і Ал. В результаті у нас всього три комітети, а не шість.
Формування послідовностей слів є прикладом перестановок, в той час як формування комітетів є прикладом сполучень - тема цього розділу.
Перестановки - це ті домовленості, де порядок важливий, тоді як комбінації - це ті домовленості, де порядок не є значним. Відтепер саме так ми будемо розповідати перестановки та комбінації окремо.
У наведеному вище прикладі було шість перестановок, але всього три комбінації.
Подібно до того, як символ nPR представляє кількість перестановок n об'єктів, прийнятих r за один раз, nCr представляє кількість комбінацій n об'єктів, прийнятих r за один раз.
Таким чином, у наведеному вище прикладі, 3P2 = 6, і 3C2 = 3.
Наша наступна мета - визначити взаємозв'язок між кількістю комбінацій і кількістю перестановок в даній ситуації.
У наведеному вище прикладі, якби ми знали, що існує три комбінації, ми могли б знайти кількість перестановок, помноживши це число на 2!. Це тому, що кожна комбінація складається з двох букв, і це робить 2! перестановки.
Задано набір літер {A, B, C, D}. Напишіть кількість комбінацій з трьох букв, а потім з цих комбінацій визначте кількість перестановок.
Рішення
У нас є наступні чотири комбінації.
ABC БКД CDA ПОГАНО
Оскільки кожна комбінація має три літери, їх 3! перестановки для кожної комбінації. Перерахуємо їх нижче.
\ [\ begin {масив}
{cccc}\ математика {ABC} &\ mathrm {BCD} &\ математика {CDA}\\ математика {BDA}
\\ mathrm {ACB} &\ mathrm {BDC} &\ математика {CAD} &\ математика {BAD}
\\ математика {BAC} m {CDB} &\ mathrm {ЦАП} &\ mathrm {DAB}\
\ mathrm {BCA} &\ математика {CBD} &\ математика {DCA} &\ математика {DBA}\
\ математика {CAB} &\ математика {DCB} &\ mathrm {ACD} &\ mathrm {ADB}\
\ mathrm {CBA} &\ mathrm {DBC} &\ mathrm m {ABD}
\ кінець {масив}\ nonumber\]
Кількість перестановок - 3! разів кількість комбінацій; тобто
4П3 = 3! \(\cdot\)4С3
або
\[4 \mathrm{C} 3=\frac{4 \mathrm{P} 3}{3 !} \nonumber \]
Загалом,\[\mathrm{nCr}=\frac{\mathrm{nPr}}{\mathrm{r} !} \nonumber \]
Так як\[\mathrm{nPr}=\frac{\mathrm{n} !}{(\mathrm{n}-\mathrm{r}) !} \nonumber \]
У нас є,\[\mathrm{nCr}=\frac{\mathrm{n} !}{(\mathrm{n}-\mathrm{r}) ! \mathrm{r} !} \nonumber \]
Підводячи підсумки,
1. Комбінації
Поєднання набору елементів - це розташування, де кожен елемент використовується один раз, і порядок не важливий.
2. Кількість комбінацій n об'єктів, взятих r за один раз
\[\mathrm{nCr}=\frac{\mathrm{n} !}{(\mathrm{n}-\mathrm{r}) ! \mathrm{r} !} \nonumber \]
де\(\mathrm{n}\) і\(\mathrm{r}\) є натуральними числами.
Обчислити:
- 5С3
- 7С3
Рішення
Використовуємо наведену вище формулу.
\[5 \mathrm{C} 3=\frac{5 !}{(5-3) ! 3 !}=\frac{5 !}{2 ! 3 !}=10 \nonumber \]
\[7 \mathrm{C} 3=\frac{7 !}{(7-3) ! 3 !}=\frac{7 !}{4 ! 3 !}=35 \nonumber \]
Скільки різних способів студент може вибрати, щоб відповісти на п'ять питань з тесту, який має сім питань, якщо порядок відбору не важливий?
Рішення
Оскільки порядок не важливий, це проблема поєднання, і відповідь
7К5 = 21
Скільки відрізків лінії можна намалювати, з'єднавши будь-які дві з шести точок, які лежать на окружності кола?
Рішення
Оскільки лінія, яка йде від точки А до точки Б, така ж, як та, яка йде від B до A, це проблема комбінації.
Це комбінація з 6 предметів, взятих по 2 за раз. Тому відповідь така
\[6 \mathrm{C} 2=\frac{6 !}{4 ! 2 !}=15 \nonumber \]
На вечірці десять чоловік. Якщо всі вони тиснуть руку, скільки можливо рукостискань?
Рішення
Зверніть увагу, що між будь-якими двома людьми є тільки одне потискання руки. Тому у нас є
10С2 = 45 рукостискань.
Торговий район міста має форму квадрата, що становить 5 блоків на 5 блоків. Скільки різних маршрутів може пройти таксист, щоб пройти від одного кута торгової зони до протилежного куточка обслуговування?
Рішення
Припустимо, таксист їде з точки А, нижнього лівого кута, до точки Б, верхнього правого кута, як показано на малюнку нижче.| Б | ||||
| A | ||||
Щоб дістатися до місця призначення, він повинен пройти десять блоків; п'ять горизонтальних і п'ять вертикальних. Так що якщо з десяти блоків він вибере будь-які п'ять горизонтальних, то інші п'ять повинні будуть бути вертикальними блоками, і навпаки.
Тому все, що йому потрібно зробити, це вибрати 5 з десяти, щоб бути горизонтальними блоками
Відповідь - 10С5, або 252.
По черзі проблему можна вирішити перестановками з подібними елементами.
Маршрут таксиста складається з п'яти горизонтальних і п'яти вертикальних блоків. Якщо називати горизонтальний блок H, а вертикальний блок a V, то один можливий маршрут може бути наступним.
ХХХХВВВВВВВ
Ясно, що є\(\frac{10!}{5!5!}= 252\) перестановки.
Далі відзначимо, що за визначенням 10С5 =\(\frac{10!}{5! 5!}\).
Якщо монету кидають шість разів, скільки способів вона може впасти чотири голови і два хвоста?
Рішення
Спочатку ми вирішуємо цю задачу за допомогою розділу 6.5 техніки-перестановки з подібними елементами.
Нам знадобиться 4 головки і 2 хвоста, тобто
ХХХТТ
Є\(\frac{6!}{4!2!}= 15\) перестановки.
Тепер вирішуємо цю проблему за допомогою комбінацій.
Припустимо, у нас є шість плям, на які можна покласти монети. Якщо ми виберемо будь-які чотири плями для голів, інші два автоматично будуть хвостами. Так що проблема просто
6С4 = 15.
До речі, ми могли б легко вибрати два хвости, замість цього. У такому випадку ми б отримали
6С2 = 15.
Далі зауважте, що за визначенням
\[6 \mathrm{C} 4=\frac{6 !}{2 ! 4 !} \nonumber \]
і
\[6 \mathrm{C} 2=\frac{6 !}{4 ! 2 !} \nonumber \]
Що має на увазі 6С4 = 6С2.