7.2: Деревоподібні діаграми та аксіома множення

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66923

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

У цьому розділі ви навчитеся

Використовуйте дерева для підрахунку можливих результатів у багатоетапному процесі
Використовуйте аксіому множення для підрахунку можливих результатів у процесі з декількома зупинками.

У цьому розділі ми намагаємося розробити методи підрахунку, які будуть використані в наступному розділі для вивчення ймовірності. Однією з найбільш фундаментальних з таких прийомів називається аксіома множення. Перш ніж ввести аксіому множення, спочатку розглянемо деякі приклади.

Приклад$\PageIndex{1}$

Якщо у жінки дві блузки і три спідниці, скільки різних нарядів, що складаються з блузки і спідниці вона може носити?

Рішення

Припустимо, ми називаємо блузки$b_1$ і$b_2$, і спідниці$s_1$$s_2$, і$s_3$.

У нас можуть бути наступні шість нарядів.

\[b_1s_1, b_1s_2, b_1s_3, b_2s_1, b_2s_2, b_2s_3 \nonumber \]

Крім того, ми можемо намалювати діаграму дерева:

$Приклад 7.2.1.PNG$

Деревоподібна діаграма дає нам усі шість можливостей. Метод включає в себе два етапи. Спочатку жінка вибирає блузку. У неї є два варіанти: блузка одна або блузка два. Якщо вона вибирає блузку одну, у неї є три спідниці, щоб відповідати їй; спідниця одна, спідниця дві або спідниця три. Аналогічно, якщо вона вибирає блузку дві, вона може знову поєднувати її з кожною з трьох спідниць. Деревоподібна діаграма допомагає нам візуалізувати ці можливості.

Читач повинен відзначити, що процес включає в себе два етапи. Для першого кроку вибору блузки є два варіанти, і для кожного вибору блузки існує три варіанти вибору спідниці. Так що взагалі є$2 \cdot 3 = 6$ можливості.

Якщо в попередньому прикладі ми додамо взуття до вбрання, у нас є наступна проблема.

Приклад$\PageIndex{2}$

Якщо у жінки дві блузки, три спідниці та два човники, скільки різних нарядів, що складаються з блузки, спідниці та пари насосів, вона може носити?

Рішення

Припустимо, ми називаємо блузки$b_1$ і$b_2$$s_1$, спідниці$s_2$, і$s_3$, і човники$p_1$, і$p_2$.

Нижче наведено діаграму дерева.

$Приклад 7.2.2.PNG$

Підраховуємо кількість гілок в дереві, і бачимо, що існує 12 різних можливостей.

На цей раз метод включає в себе три етапи. По-перше, жінка вибирає блузку. У неї є два варіанти: блузка одна або блузка два. Тепер припустимо, що вона вибирає блузку одну. Це змушує нас до другого кроку процесу, який полягає у виборі спідниці. У неї є три варіанти спідниці, і давайте припустимо, що вона вибирає спідницю два. Тепер, коли вона вибрала блузку і спідницю, ми перейшли до третього кроку вибору пари туфель. Оскільки у неї дві пари насосів, у неї є два варіанти для останнього кроку. Припустимо, вона вибирає насоси два. Вона вибрала наряд, що складається з блузки один, спідниці два, і насоси два, або$b_1s_2p_2$. Дивлячись на різні гілки на дереві, можна легко побачити інші можливості.

Тут важливо спостерігати, знову ж таки, це те, що це триступеневий процес. Є два варіанти для першого кроку вибору блузки. Для кожного вибору блузки існує три варіанти вибору спідниці, і для кожної комбінації блузки і спідниці існує два варіанти підбору пари туфель.

Загалом, у нас$2 \cdot 3 \cdot 2 = 12$ різні можливості.

Деревоподібні діаграми допомагають нам візуалізувати різні можливості, але вони не практичні, коли можливостей багато. Крім того, ми зацікавлені в тому, щоб знайти кількість елементів у множині, а не фактичний перелік усіх можливостей; як тільки проблема буде задумана, ми можемо вирішити її без діаграми дерева. Два приклади, які ми щойно вирішили, можливо, дали нам підказку, щоб зробити саме це.

Давайте тепер спробуємо вирішити Приклад$\PageIndex{2}$ без діаграми дерева. Проблема включає в себе три етапи: вибір блузки, вибір спідниці і вибір пари туфель. Кількість способів вибору кожного наведено нижче. Помноживши ці три числа, ми отримуємо 12, що ми отримали, коли ми зробили проблему, використовуючи діаграму дерева.

Кількість способів вибору блузки	Кількість способів вибору спідниці	Кількість способів вибору насосів
2	3	2

Процедура, яку ми щойно використали, називається аксіомою множення.

Аксіома множення

Якщо завдання можна виконати$m$ способами, а друге завдання можна виконати$n$ способами, то операція за участю першого завдання, за якою слідує друга, може бути виконана$m \cdot n$ способами.

Загальна аксіома множення не обмежується лише двома завданнями і може використовуватися для будь-якої кількості завдань.

Приклад$\PageIndex{3}$

Номерний знак вантажівки складається з літери, за якою слідують чотири цифри. Скільки таких номерних знаків можливо?

Рішення

Оскільки існує 26 букв і 10 цифр, у нас є наступні варіанти для кожної.

Лист	Цифра	Цифра	Цифра	Цифра
26	10	10	10	10

Тому кількість можливих номерних знаків є$26 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10=260,000$.

Приклад$\PageIndex{4}$

Скільки різних способів можна відповісти на тест істинно-помилкового питання на 3 питання?

Рішення

Оскільки для кожного питання є два варіанти, ми маємо

Питання 1	Питання 2	Питання 3
2	2	2

Застосовуючи аксіому множення, отримуємо$2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ різні способи.

Перерахуємо всі вісім можливостей: TTT, TTF, TFT, TFF, FTT, FTF, FFT, FFF

Читач повинен відзначити, що перша буква в кожній можливості - це відповідь, що відповідає першому питанню, друга буква відповідає відповіді на друге питання і так далі. Наприклад, TFF, говорить про те, що відповідь на перше питання дається як правдива, а відповіді на друге і третє питання помилкові.

Приклад$\PageIndex{5}$

Скільки різних способів можна посадити чотири людини в ряд?

Рішення

Припустимо, ми ставимо чотири стільці в ряд, і приступаємо до того, щоб посадити чотирьох чоловік на ці місця.

Є чотири варіанти для першого стільця, який ми вибираємо. Як тільки людина сідає в цей стілець, є тільки три варіанти для другого стільця, і так далі. Перерахуємо, як показано нижче.

Так що існують зовсім$4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$ різні способи.

Приклад$\PageIndex{6}$

Скільки трилітерних послідовностей слів можна сформувати за допомогою букв {A, B, C}, якщо жодна буква не повинна повторюватися?

Рішення

Проблема дуже схожа на попередній приклад.

Уявіть, що дитина має три будівельні блоки, позначені A, B і C. Припустимо, він кладе ці блоки один на одного, щоб створити послідовності слів. Для першої літери у нього є три варіанти, а саме A, B або C. Припустимо, що він вибирає першу букву B, потім для другого блоку, який повинен йти поверх першого, у нього є лише два варіанти: A або C. І для останньої літери він має лише один вибір. Ми перерахуємо варіанти нижче.

Тому може бути сформовано 6 різних послідовностей слів.

Нарешті, ми хотіли б проілюструвати це деревоподібною діаграмою, яка показує всі шість можливостей.

$Приклад 7.2.6.PNG$

Цілі навчання

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Аксіома множення

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Приклад\(\PageIndex{6}\)