6.5: Різні проблеми з додатками

Цілі навчання

У цьому розділі ви навчитеся застосовувати поняття складних відсотків для заощаджень та ануїтетів, щоб:

1. Знайдіть непогашений залишок, частинушляхом через термін кредиту, майбутніх платежів, що залишилися по кредиту.
2. Виконувати фінансові розрахунки в ситуаціях, що передбачають кілька етапів накопичення та/або ануїтет
3. Знайдіть справедливу ринкову вартість облігації.
4. Побудувати графік амортизації по кредиту.

Ми вже розробили інструменти для вирішення більшості фінансових проблем. Тепер ми використовуємо ці інструменти для вирішення деяких прикладних проблем.

НЕПОГАШЕНИЙ ЗАЛИШОК ПО КРЕДИТУ

Однією з найпоширеніших проблем є знаходження залишку заборгованості на даний момент часу протягом життя кредиту. Припустимо, людина купує будинок і амортизує кредит протягом 30 років, але вирішує продати будинок через кілька років. На момент продажу він зобов'язаний розплатитися зі своїм кредитором, отже, йому необхідно знати залишок, який він повинен. Оскільки більшість довгострокових кредитів погашаються передчасно, ми часто стикаємося з цією проблемою.

Щоб знайти непогашений залишок по кредиту в зазначений час, нам потрібно знайти поточну вартість\(\mathrm{P}\) всіх майбутніх платежів, які ще не були сплачені. При цьому t не представляє весь термін кредиту. Замість цього:

• \(t\)являє собою час, який все ще залишається в кредиті
• \(nt\)являє собою загальну кількість майбутніх платежів.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Містер Джексон купив свій будинок в 1995 році, і профінансував кредит на 30 років під процентну ставку 7,8%. Його щомісячний платіж становив $1260. У 2015 році містер Джексон приймає рішення про погашення кредиту. Знайдіть залишок кредиту, який він ще заборгував.

Рішення

Читач повинен зауважити, що первісна сума позики в проблемі не згадується. Це тому, що нам не потрібно це знати, щоб знайти баланс.

Початковий кредит був протягом 30 років. Минуло 20 років, тому ще залишилися роки. 12 (10) = 120 платежів все ще потрібно виплатити за цим кредитом.

Що стосується банку або кредитора, то пан Джексон зобов'язаний платити $1260 щомісяця протягом ще 10 років; він все ще повинен загалом 120 платежів. Але оскільки містер Джексон хоче виплатити все це зараз, нам потрібно знайти теперішню вартість\(\mathrm{P}\) на момент погашення решти 10 років платежів у розмірі 1260 доларів щомісяця. Використовуючи формулу отримуємо для теперішньої величини ренти, отримуємо

\ [\ почати {вирівняний}
\ математичний {P} (1+.078/12) ^ {120} &=\ frac {\ ліворуч.\ $1260\ ліворуч [(1+.078/12) ^ {120} -1\ праворуч]} {(.078/12)}\\
\ mathrm {P} (2.17597) &=\ 2277 957.85\
\\ математика {P} &=\ $104761.48
\ кінець {вирівняний}\ номер\]

знайти непогашений залишок по кредиту

Якщо кредит має платіж\(m\) доларів, зроблений\(n\) раз на рік під відсотки\(r\), то непогашена вартість кредиту, коли ще залишилися\(t\) роки по кредиту, дають\(\mathrm{P}\):

\[\mathbf{P}(\mathbf{1}+\mathbf{r} / \mathbf{n})^{\mathbf{n} \mathbf{t}}=\frac{\mathbf{m}\left[(\mathbf{1}+\mathbf{r} / \mathbf{n})^{\mathbf{n} \mathbf{t}}-\mathbf{1} |\right.}{\mathbf{r} / \mathbf{n}} \nonumber \]

ВАЖЛИВО: Зверніть увагу, що\(t\) це не початковий термін кредиту, а\(t\) натомість кількість часу, що залишається в майбутньому,\(nt\) - це кількість платежів, які ще залишаються в майбутньому.

Якщо в проблемі безпосередньо не зазначено кількість часу, що залишився в терміні кредиту, то його потрібно розрахувати ПЕРЕД використанням вищевказаної формули як\(t\) = початковий термін кредиту - час, вже пройшов з дати початку кредиту.

Відзначимо, що існують і інші методи пошуку непогашеного залишку по кредиту, але спосіб, проілюстрований вище, найпростіший.

Одним із альтернативних методів було б використання графіка амортизації, як показано в кінці цього розділу. Графік амортизації показує платежі, відсотки та непогашений залишок поетапно після кожного платежу по кредиту. Графік амортизації є нудним для обчислення вручну, але може бути легко побудований за допомогою програмного забезпечення для електронних таблиць.

Ще один спосіб знайти непогашений баланс, який ми не будемо ілюструвати тут, полягає в тому, щоб знайти різницю А - В, де

A = початкова сума кредиту (основна сума), накопичена до дати, на яку ми хочемо знайти непогашений залишок (за формулою складних відсотків)

B = накопичена вартість всіх платежів, які були здійснені на дату, на яку ми хочемо знайти непогашений залишок (використовуючи формулу накопиченої вартості ануїтету)

У цьому випадку нам потрібно буде зробити складний розрахунок відсотків та розрахунок ануїтету; тоді нам потрібно знайти різницю між ними. Замість одного потрібні три обчислення.

Це математично прийнятний спосіб розрахунку непогашеного залишку. Однак дуже настійно рекомендується, щоб студенти використовували метод, пояснений у полі вище та проілюстрований у прикладі\(\PageIndex{1}\), оскільки це набагато простіше.

ПРОБЛЕМИ, ПОВ'ЯЗАНІ З ДЕКІЛЬКОМА ЕТАПАМИ НАКОПИЧЕНЬ ТА/АБО АНУЇТЕТІВ

Розглянемо наступні ситуації:

1. Припустимо, дитина, Айша, народилася, а її бабуся і дідусь вкладають 5000 доларів у фонд коледжу. Гроші залишаються інвестованими протягом 18 років, поки Аїша не вступає в коледж, а потім вилучаються в рівних піврічних виплат протягом 4 років, які Айша очікує, щоб закінчити коледж. Інвестиційний фонд коледжу заробляє 5% відсотків, що складаються півроку. Скільки грошей Айша може знімати з рахунку кожні півроку, поки вона вчиться в коледжі?
2. Аїша закінчує коледж і починає роботу. Вона економить 1000 доларів щокварталу, вносячи їх на пенсійний накопичувальний рахунок. Припустимо, що Айша рятує 30 років, а потім виходить на пенсію. При виході на пенсію вона хоче зняти гроші в якості ануїтету, який щомісяця виплачує постійну суму протягом 25 років. Під час ощадної фази пенсійний рахунок заробляє 6% відсотків, що складаються щоквартально. Під час фази виплати ануїтету пенсійний рахунок заробляє 4,8% відсотків, що складаються щомісяця. Розрахуйте щомісячну виплату пенсійного ануїтету Айші.

Ці проблеми здаються складними. Але кожен може бути розбитий на дві менші проблеми, пов'язані зі складними відсотками на заощадження або за участю ануїтетів. Часто проблема пов'язана з періодом заощаджень, за яким слідує період ануїтету.; накопичена вартість з першої частини проблеми може стати поточною вартістю у другій частині. Уважно прочитайте кожну проблему, щоб визначити, що потрібно.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Припустимо, дитина, Айша, народилася, а її бабуся і дідусь інвестують 8000 доларів у фонд коледжу. Гроші залишаються інвестованими протягом 18 років, поки Аїша не вступає в коледж, а потім вилучаються рівними піврічними платежами протягом 4 років, які Айша розраховує відвідувати коледж. Інвестиційний фонд коледжу заробляє 5% відсотків, що складаються півроку. Скільки грошей Айша може знімати з рахунку кожні півроку, поки вона вчиться в коледжі?

Рішення

Частина 1: Накопичення заощаджень коледжу: Знайдіть накопичену вартість наприкінці 18 років суми в розмірі 8000 доларів, інвестованої на 5%, складену піврічно.

\ [\ почати {масив} {l}
A=\ $8000 (1+.05/2) ^ {(2\ раз 18)} =\ $8000 (1.025) ^ {36} =\ $8000 (2.432535)\\
A=\ $19460.28
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Частина 2: Семінарічна виплата ануїтету від заощаджень, щоб покласти на витрати на коледж. Знайти суму піврічної виплати за чотири роки, використовуючи накопичені заощадження з частини 1 задачі з процентною ставкою 5%, що складається піврічно.

\(A\)= $19460,28 в частині 1 - це накопичена вартість на кінець періоду заощаджень. Це стає поточною вартістю\(P\) = $19460,28 при розрахунку піврічних платежів у частині 2.

\ [\ почати {масив} {c}
\ $19460.28\ ліворуч (1+\ frac {.05} {2}\ праворуч) ^ {2\ times 4} =\ frac {m\ ліворуч [\ ліворуч (1+\ frac {05} {2}\ праворуч) ^ {2\ times 4} -1\ праворуч]} {.05/2)}
\\ 23710.0 46=m (8.73612)\\
m=\ $2714.07
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Аїша зможе вилучати $2714.07 півроку на свої витрати в коледжі.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Аїша закінчує коледж і починає роботу. Вона економить 1000 доларів щокварталу, вносячи їх на пенсійний накопичувальний рахунок. Припустимо, що Айша рятує 30 років, а потім виходить на пенсію. При виході на пенсію вона хоче зняти гроші в якості ануїтету, який щомісяця виплачує постійну суму протягом 25 років. Під час ощадної фази пенсійний рахунок заробляє 6% відсотків, що складаються щоквартально. Під час фази виплати ануїтету пенсійний рахунок заробляє 4,8% відсотків, що складаються щомісяця. Розрахуйте щомісячну виплату пенсійного ануїтету Айші.

Рішення

Частина 1: Накопичення пенсійних заощаджень: Знайдіть накопичену вартість наприкінці 30 років у розмірі 1000 доларів США, внесених наприкінці кожного кварталу на пенсійний накопичувальний рахунок, який заробляє 6% відсотків, що складаються щоквартально.

\ [\ почати {масив} {l}
A=\ розриву {\ $1000\ ліворуч [(1+.06/4) ^ {4\ times 30} -1\ праворуч]} {(.06/4)}\\
A=\ $331288.19
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Частина 2: Щомісячна виплата пенсійного ануїтету: Знайдіть суму щомісячних ануїтетних виплат за 25 років, використовуючи накопичені заощадження з частини 1 проблеми з процентною ставкою 4,8%, що посилюється щомісяця.

\(A\)= $331288.19 в частині 1 - це накопичена вартість на кінець періоду заощаджень. Ця сума стане поточною вартістю\(\mathrm{P}\) = $331288.19 при розрахунку щомісячних виплат пенсійного ануїтету в частині 2.

\ [\ почати {масив} {l}
\ $331288.19 (1+.048/12) ^ {12\ раз 25} =\ розриву {м\ ліворуч [(1+.048/12) ^ {12\ раз 25} -1\ праворуч]} {(.048/12)}\\\ $ 1097285.90=м (578.04483)
\\ m=\\ 1898.90=м (578.04483)\\
m=\ 1898.04483 27
\ end {масив}\ nonumber\]

Аїша матиме щомісячний пенсійний ануїтет дохід у розмірі $1898.27, коли вона виходить на пенсію.

СПРАВЕДЛИВА РИНКОВА ВАРТІСТЬ ОБЛІГАЦІЇ

Всякий раз, коли бізнес, і з цього приводу американський уряд, потрібно зібрати гроші, він робить це, продаючи облігації. Облігація - це сертифікат обіцянки, який визначає умови угоди. Зазвичай бізнес продає облігації на суму 1000 доларів кожен на заявлений термін, період часу, що закінчується на вказану дату погашення.

Особа, яка купує облігацію, власник облігацій, платить 1,000 доларів, щоб придбати облігацію.

Власнику облігацій обіцяють дві речі: по-перше, що він отримає свої 1000 доларів назад на дату погашення, а по-друге, що він отримає фіксовану суму відсотків кожні шість місяців.

У міру зміни ринкових процентних ставок ціна облігації починає коливатися. Облігації купуються та продаються на ринку за їх справедливою ринковою вартістю.

Процентна ставка, яку сплачує облігація, є фіксованою, але якщо ринкова процентна ставка зростає, вартість облігації падає, оскільки гроші, вкладені в облігацію, можуть заробити більше, якщо інвестувати в інше місце. Коли вартість облігації падає, ми говоримо, що вона торгується зі знижкою.

З іншого боку, якщо ринкова процентна ставка падає, вартість облігації зростає, оскільки облігація зараз дає вищу прибутковість, ніж ринкова процентна ставка, і ми говоримо, що вона торгується з премією.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Комп'ютерній компанії Orange потрібно зібрати гроші для розширення. Він випускає 10-річну облігацію в розмірі 1000 доларів, яка виплачує 30 доларів кожні шість місяців. Якщо поточна ринкова процентна ставка становить 7%, яка справедлива ринкова вартість облігації?

Рішення

Сертифікат облігацій обіцяє нам дві речі - суму в 1000 доларів, яку потрібно виплатити за 10 років, і піврічний платіж в розмірі 30 доларів протягом десяти років. Тому, щоб знайти справедливу ринкову вартість облігації, нам потрібно знайти поточну вартість одноразової суми в 1000 доларів, яку ми маємо отримати через 10 років, а також поточну вартість $30 піврічних платежів за 10 років.

Ми дозволимо P ₁ = теперішню вартість номіналу $1000

\[P_{1}(1+.07 / 2)^{20}=\$ 1,000 \nonumber \]

Оскільки відсотки виплачуються двічі на рік, відсотки посилюються двічі на рік і\(nt\) = 2 (10) =20

\ [\ begin {масив} {l}
P_ {1} (1.9898) =\ $1000\\
P_ {1} =\ $502.56
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Ми дозволимо P ₂ = поточна вартість $30 піврічних платежів

\ [\ почати {вирівняний}
\ математичний {P} _ {2} (1+.07/2) ^ {20} &=\ frac {\ $30\ ліворуч [(1+.07/2) ^ {20} -1\ праворуч]} {(.07/2)}
\\ mathrm {P} _ {2} (1.9898) &=8.39\\
\ max thrm {P} _ {2} &=\ $426.37
\ кінець {вирівняний}\ номер\]

Нинішня вартість паушального внеску $1,000 = $502,56

Нинішня вартість $30 піврічних платежів = $426,37

Справедлива ринкова вартість облігації становить P = P ₁₊ P ₂ = $502,56 + $426,37 = $928,93

Зверніть увагу, що оскільки ринкова процентна ставка 7% вище, ніж передбачувана процентна ставка облігації в 6%, що мається на увазі піврічні платежі, облігація продається з дисконтом; його справедлива ринкова вартість $928,93 менше, ніж його номінал $1000.

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Держава випускає 15-річну облігацію в розмірі 1000 доларів, яка виплачує 25 доларів кожні шість місяців. Якщо поточна ринкова процентна ставка становить 4%, яка справедлива ринкова вартість облігації?

Рішення

Сертифікат облігацій обіцяє дві речі - суму в 1000 доларів, яку потрібно виплатити за 15 років, і піврічні виплати в розмірі 25 доларів протягом 15 років. Щоб знайти справедливу ринкову вартість облігації, ми знаходимо поточну вартість номіналу в 1000 доларів, яку ми маємо отримати через 15 років, і додаємо її до поточної вартості піврічних платежів у розмірі 25 доларів за 15 років. У цьому прикладі\(nt = 2(15)=30\).

Допустимо P ₁ = теперішню вартість паушального внеску $1000

\ [\ begin {масив} {l}
\ mathrm {P} _ {1} (1+.04/2) ^ {30} =\ $1000\\
\ mathrm {P} _ {1} =\ $552.07
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Ми дозволимо P ₂ = поточна вартість піврічних платежів у розмірі 25 доларів

\ [\ почати {масив} {l}
\ mathrm {P} _ {2} (1+.04/2) ^ {30} =\ frac {\ $25\ ліворуч [(1+.04/2) ^ {30} -1\ праворуч]} {(.04/2)}\
\\ математика {P} _ {2} (1,18114) = $\ 1014.04\
\\\ mathrm {P} _ {2} =\ $559.90
\ кінець {масив}\ номер\]

Нинішня вартість паушального внеску $1,000 = $552,07

Нинішня вартість $30 піврічних платежів = $559,90

Тому справедлива ринкова вартість облігації становить
\[P=P_{1} + P_{2}=\$ 552.07+\$ 559.90=\$ 1111.97\nonumber \]

Оскільки ринкова процентна ставка в 4% нижча за процентну ставку 5%, передбачену піврічними виплатами, облігація продається з премією: справедлива ринкова вартість $1,111,97 більше номіналу $1,000.

Підсумовуємо:

знайти справедливу ринкову вартість облігації

Знайдіть поточну вартість номінальної суми\(\mathrm{A}\), яка підлягає сплаті на дату погашення:

\[\mathbf{A}=\mathbf{P}_{1}(\mathbf{1}+\mathbf{r} / \mathbf{n})^{\mathbf{n} \mathbf{t}} ; \text { solve to find } \mathrm{P}_{1} \nonumber \]

Знайти поточну вартість піврічних виплат $\(m\) протягом строку дії облігації:

\[\mathbf{P}_{2}(\mathbf{1}+\mathbf{r} / \mathbf{n})^{\mathbf{n} \mathbf{t}}=\frac{\mathbf{m}\left[(\mathbf{1}+\mathbf{r} / \mathbf{n})^{\mathbf{n} \mathbf{t}}-\mathbf{1}\right]}{\mathbf{r} / \mathbf{n}} \quad ; \text { solve to find } \mathbf{P}_{2} \nonumber \]

Справедлива ринкова вартість (або поточна вартість або ціна або поточна вартість) облігації - це сума нинішніх значень, розрахованих вище:

\[\mathrm{P}=\mathbf{P}_{1}+\mathbf{P}_{2} \nonumber \]

ГРАФІК АМОРТИЗАЦІЇ ПО КРЕДИТУ

Графік амортизації - це таблиця, в якій перераховані всі платежі по кредиту, розділяє їх на частину, присвячену відсоткам, і частину, яка застосовується для погашення основного боргу, і обчислює непогашений залишок по кредиту після кожного платежу.

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Сума в 500 доларів позичена на 6 місяців за ставкою 12%. Складіть графік амортизації, що показує щомісячний платіж, щомісячні відсотки на непогашений залишок, частину платежу, що сприяє зменшенню боргу, та непогашений залишок.

Рішення

Читач може перевірити, що щомісячний платіж становить $86.27.

Перший місяць непогашений залишок становить 500 доларів США, а отже, щомісячні відсотки на непогашеному залишку складають

(непогашений залишок) (щомісячна процентна ставка) = ($500) (.12/12) = $5

Це означає, що перший місяць з виплати $86.27 $5 йде на відсотки, а решта $81.27 до балансу залишаючи новий баланс $500 - $81.27 = $418,73.

Аналогічно, другий місяць непогашений залишок становить 418,73 дол. США, а щомісячний відсоток за непогашеним залишком становить ($418,73) (0,1/12) = $4,19. Знову ж таки, з виплати $86.27, $4,19 йде на відсотки, а решта $82.08 до балансу залишаючи новий баланс $418,73 - $82.08 = 336,65$. Процес триває в таблиці нижче.

Платіж №	Оплата	Інтерес	Виплата заборгованості	Баланс
1	$86.27	$5	$81.27	$418.73
2	$86.27	$4,19	$82.08	$36.65
3	$86.27	3,37 дол. США	$82.90	$253,75
4	$86.27	$2.54	$83.73	$170.02
5	$86.27	$1.70	$84.57	$85.45
6	$86.27	$0.85	$85.42	$0.03

Зверніть увагу, що останній залишок в 3 центи обумовлений помилкою округлення.

Графік амортизації, як правило, тривалий і виснажливий для обчислення вручну. Наприклад, графік амортизації для 30-річного іпотечного кредиту з щомісячними платежами мав би (12) (30) = 360 рядків розрахунків у таблиці графіка амортизації. Автокредит з 5-річними щомісячними платежами мав би 12 (5) = 60 рядків розрахунків у таблиці графіка амортизації. Однак було б просто використовувати додаток для електронних таблиць на комп'ютері, щоб зробити ці повторювані обчислення шляхом введення та копіювання формул для обчислень у комірки.

Більшість інших програм у наборі проблем цього розділу є досить простими, і їх можна вирішити, зробивши трохи додаткової обережності при їх інтерпретації. І пам'ятайте, часто існує не один спосіб вирішення проблеми.