6.4: Приведена вартість ануїтету та розстрочки

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66851

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

У цьому розділі ви навчитеся:

Знайдіть теперішню вартість ануїтету.
Знайти суму розстрочки по кредиту.

ПОТОЧНА ВАРТІСТЬ АНУЇТЕТУ

У розділі 6.2 ми навчилися знаходити майбутню величину одноразової виплати, а в розділі 6.3 навчилися знаходити майбутню величину ануїтету. Маючи в руках ці два поняття, ми зараз навчимося амортизувати позику та знаходити поточну вартість ануїтету.

Нинішня вартість ануїтету - це сума грошей, яка нам знадобиться зараз для того, щоб мати можливість здійснювати платежі в ануїтет в майбутньому. Іншими словами, теперішня вартість - це вартість майбутнього потоку платежів.

Ми починаємо з того, що розбиваючи це крок за кроком, щоб зрозуміти поняття поточної вартості ануїтету. Після цього приклади дають більш ефективний спосіб виконання розрахунків, працюючи з концепціями та розрахунками, які ми вже досліджували в розділах 6.2 та 6.3.

Припустимо, Карлос володіє малим бізнесом і наймає помічника менеджера, який допоможе йому керувати бізнесом. Припустимо, що зараз 1 січня. Карлос планує виплатити своєму помічнику менеджера бонус у розмірі 1000 доларів наприкінці цього року та ще один бонус у розмірі 1000 доларів наприкінці наступного року. У цьому році бізнес Карлоса мав хороший прибуток, тому він хоче покласти гроші на майбутні бонуси свого помічника на ощадний рахунок зараз. Гроші, які він вкладає зараз, будуть заробляти відсотки у розмірі 4% на рік, що збільшується щорічно, перебуваючи на ощадному рахунку.

Скільки грошей Карлос повинен покласти на ощадний рахунок зараз, щоб він міг зняти 1000 доларів через рік і ще 1000 доларів через два роки?

Спочатку це звучить як тонуючий фонд. Але це інакше. У потопаючому фонді ми вкладаємо гроші в фонд з періодичними виплатами для накопичення для накопичення до зазначеної одноразової суми, яка є майбутньою вартістю в кінці зазначеного періоду часу.

У цьому випадку ми хочемо покласти одноразову суму на ощадний рахунок зараз, щоб одноразова сума була нашою основною$\mathrm{P}$. Тоді ми хочемо зняти цю суму як серію періодних платежів; у цьому випадку зняття коштів - це ануїтет з виплатами в розмірі 1000 доларів наприкінці кожного з двох років.

Нам потрібно визначити суму, яку нам потрібно зараз на рахунку, поточну вартість, щоб мати можливість зняти періодичні платежі пізніше.

$Розділ 6.4 PNG$

Ми використовуємо формулу складних відсотків з розділу 6.2 з$r$ = 0,04 і$n$ = 1 для річного складання, щоб визначити поточну вартість кожного платежу в розмірі 1000 доларів США.

Розглянемо перший платіж в розмірі 1000 доларів в кінці 1 року. Нехай P ₁ буде його теперішнім значенням

\[\$ 1000=P_{1}(1.04)^{1} \text { so } P_{1}=\$ 961.54 \nonumber \]

Тепер розглянемо другий платіж в розмірі 1000 доларів на кінець 2 року. Нехай Р ₂ - це його теперішнє значення

\[\$ 1000=P_{2}(1.04)^{2} \text { so } P_{2}=\$ 924.56 \nonumber \]

Щоб здійснити платежі в розмірі 1000 доларів у зазначений час у майбутньому, сума, яку Карлос повинен внести зараз, є поточною вартістю$P=P_{1}+P_{2}=\$ 961.54+\$ 924.56=\$ 1886.10$

Наведений вище розрахунок був корисним для ілюстрації значення поточної вартості ануїтету.
Але це не ефективний спосіб розрахунку теперішньої вартості. Якби ми мали велику кількість ануїтетних платежів, покроковий розрахунок був би довгим і нудним.

Приклад$\PageIndex{1}$ досліджує та розробляє ефективний спосіб розрахунку поточної вартості ануїтету, пов'язуючи майбутню (накопичену) вартість ануїтету та його теперішню вартість.

Приклад$\PageIndex{1}$

Припустимо, ви виграли лотерею, яка платить 1000 доларів на місяць протягом наступних 20 років. Але, ви віддаєте перевагу мати всю суму зараз. Якщо процентна ставка становить 8%, скільки ви приймете?

Рішення

Ця класична проблема теперішньої вартості потребує нашої повної уваги, оскільки раціоналізація, яку ми використовуємо для вирішення цієї проблеми, знову буде використана в проблемах, які слід дотримуватися.

Розглянемо, для аргументації, що двоє людей Містер Кеш і Містер Кредит виграли ту ж лотерею $1,000 на місяць протягом наступних 20 років. Містер Кредит задоволений своїм щомісячним платежем у розмірі 1000 доларів, але пан Кеш хоче мати всю суму зараз.

Наша робота полягає в тому, щоб визначити, скільки повинен отримати пан Кеш. Ми міркуємо наступним чином:

Якщо Mr. Cash приймає P доларів, то долари P, депоновані на 8% протягом 20 років, повинні дати таку ж суму, як щомісячні платежі в розмірі 1000 доларів протягом 20 років. Іншими словами, ми порівнюємо майбутні значення як для Містера Кеша, так і для Містера Кредиту, і ми хотіли б, щоб майбутні цінності дорівнювали.

Оскільки пан Кеш отримує одноразову суму$x$ доларів, її майбутня вартість дається за формулою одноразової виплати, яку ми вивчили в розділі 6.2, і це

\[\mathrm{A}=\mathrm{P}(1+.08 / 12)^{240} \nonumber \]

Оскільки пан Кредит отримує послідовність платежів або ануїтет у розмірі 1000 доларів на місяць, його майбутня вартість визначається формулою ануїтету, яку ми дізналися в розділі 6.3. Цим значенням є

\[\mathrm{A}=\frac{\$ 1000\left[(1+.08 / 12)^{240}-1\right]}{.08 / 12} \nonumber \]

Єдиний спосіб, яким пан Кеш погодиться на суму, яку він отримує, - це якщо ці два майбутні значення рівні. Так ми ставимо їх рівними і вирішуємо за невідоме.

\ [\ почати {масив} {l}
\ математика {P} (1+.08/12) ^ {240} =\ розрив {\ $1000\ ліворуч [(1+.08/12) ^ {240} -1\ праворуч]} {.08/12}\\
\ mathrm {P} (4.9268) =\ $1000 (589.02041)\
\\ mathrm {P} (4.9268) =\ $589020.41
\\\ математика {P} =\ $119,554.36
\ кінець {масив}\ номер\]

Нинішня вартість звичайного ануїтету $1,000 щомісяця протягом 20 років під 8% становить $119,554.36

Читач також повинен зазначити, що якщо містер Кеш візьме свою одноразову суму$\mathrm{P}$ = 119 554,36 доларів і інвестує її на 8%, що складається щомісяця, він матиме накопичену вартість$\mathrm{A}$ = 589 020,41 доларів за 20 років.

РОЗСТРОЧКА ПЛАТЕЖУ ПО КРЕДИТУ

Якщо людині або бізнесу потрібно купити або заплатити за щось зараз (автомобіль, будинок, навчання в коледжі, обладнання для бізнесу), але не має грошей, вони можуть позичити гроші як кредит.

Вони отримують суму кредиту, яка називається основною (або поточною вартістю), і зобов'язані виплачувати основну суму в майбутньому протягом зазначеного періоду часу (терміну кредиту), як регулярні періодичні платежі з відсотками.

Приклад$\PageIndex{2}$ розглядає, як розрахувати платіж по кредиту, використовуючи міркування, аналогічні Приклад$\PageIndex{1}$.

Приклад$\PageIndex{2}$

Знайдіть щомісячний платіж за автомобіль вартістю 15 000 доларів, якщо кредит амортизується протягом п'яти років за процентною ставкою 9%.

Рішення

Знову ж таки, розглянемо наступний сценарій розвитку подій:

Двоє людей, містер Кеш та Містер Кредит, їдуть купувати ту саму машину, яка коштує 15 000 доларів. Містер Кеш платить готівкою і відганяє, але містер Кредит хоче робити щомісячні платежі протягом п'яти років.

Наша робота полягає у визначенні суми щомісячного платежу. Ми міркуємо наступним чином:

Якщо Mr. Credit платить m доларів на місяць, то m доларовий платіж, що вноситься щомісяця під 9% протягом 5 років, повинен дати таку ж суму, що і одноразова сума в розмірі 15 000 доларів США, внесена протягом 5 років.

Знову ж таки, ми порівнюємо майбутні цінності як для містера Кеша, так і для містера Кредиту, і ми хотіли б, щоб вони були однаковими.

Оскільки пан Кеш платить одноразову суму в розмірі 15 000 доларів, її майбутня вартість надається за формулою одноразової виплати, і це

\[\$ 15,000(1+.09 / 12)^{60} \nonumber \]

Містер Кредит хоче зробити послідовність платежів, або ануїтет,$x$ доларів на місяць, і його майбутня вартість задається формулою ануїтету, і це значення

\[\frac{\mathrm{x}\left[(1+.09 / 12)^{60}-1\right]}{.09 / 12} \nonumber \]

Виставляємо дві майбутні суми рівними і вирішуємо для невідомого.

\ [\ почати {масив} {l}
\ $15,000 (1+.09/12) ^ {60} =\ розрив {м\ лівий [(1+.09/12) ^ {60} -1\ праворуч]} {.09/12}\\
\ $15,000 (1.5657) =m (75.4241)\
\ $ 311.38=m
\ кінець {масив}\ nonu бурштиновий\]

Тому щомісячний платіж, необхідний для погашення кредиту, становить $311,38 протягом п'яти років.

РОЗДІЛ 6.4 РЕЗЮМЕ

Підсумовуємо метод, який використовується в прикладах$\PageIndex{1}$ і$\PageIndex{2}$ нижче.

Рівняння для пошуку теперішньої вартості ануїтету,

Або розстрочка по кредиту

Якщо виплата$m$ доларів проводиться на рахунку$n$ раз на рік під відсотки$r$, то поточна вартість$\mathrm{P}$ ануїтету через$t$ роки становить

\[\mathbf{P}(\mathbf{1}+\mathbf{r} / \mathbf{n})^{\mathbf{n} \mathbf{t}}=\frac{\mathbf{m}\left[(\mathbf{1}+\mathbf{r} / \mathbf{n})^{\mathbf{n} \mathbf{t}}-\mathbf{1}\right]}{\mathbf{r} / \mathbf{n}} \nonumber \]

При використанні для кредиту сума$\mathrm{P}$ є сумою позики і$m$ є періодичним платежем, необхідним для погашення кредиту протягом строку$t$ років з$n$ платежами на рік.

Якщо необхідна поточна вартість або сума кредиту, вирішіть для$P$

Якщо періодична оплата потрібна, вирішуйте для$m$.

Зверніть увагу, що формула передбачає, що період виплати збігається з періодом складання. Якщо вони не однакові, то ця формула не застосовується.

Нарешті, відзначимо, що багато скінченних математики та фінансів книги розробляють формулу для теперішньої вартості ануїтету по-різному.

Замість використання формули:

\[\mathrm{P}(1+\mathrm{r} / \mathrm{n})^{\mathrm{nt}}=\frac{\mathrm{m}\left[(1+\mathrm{r} / \mathrm{n})^{\mathrm{nt}}-1\right]}{\mathrm{r} / \mathrm{n}} \label{6.4.1} \]

і рішення для теперішнього значення$\mathrm{P}$ після підстановки числових значень для інших елементів у формулі, багато підручників спочатку вирішують формулу для$\mathrm{P}$ того, щоб розробити нову формулу для теперішнього значення. Потім числову інформацію можна підставити у формулу теперішнього значення та оцінити, не потребуючи розв'язання алгебраїчно для$\mathrm{P}$.

Альтернативний метод, щоб знайти поточну вартість ануїтету

Починаючи з формули\ ref {6.4.1}:$\mathrm{P}(1+\mathrm{r} / \mathrm{n})^{\mathrm{nt}}=\frac{\mathrm{m}\left[(1+\mathrm{r} / \mathrm{n})^{\mathrm{nt}}-1\right]}{\mathrm{r} / \mathrm{n}}$

Розділіть обидві сторони,$(1+r / n)^{n t}$ щоб ізолювати$\mathrm{P}$, і спростити

\[P=\frac{m\left[(1+r / n)^{n t}-1\right]}{r / n} \cdot \frac{1}{(1+r / n)^{n t}} \nonumber \]

\[P=\frac{m\left[1-(1+r / n)^{-n t}\right]}{r / n} \label{6.4.2} \]

Автори цієї книги вважають, що простіше використовувати формулу\ ref {6.4.1} вгорі цієї сторінки і вирішувати для$\mathrm{P}$ або$m$ за потреби. У такому підході менше формул для розуміння, і багатьом учням легше вчитися. У задачах решти цієї глави, коли завдання вимагає обчислення теперішньої вартості ануїтету, буде використана формула\ ref {6.4.1}.

Однак деякі люди віддають перевагу формулі\ ref {6.4.2}, і математично коректно використовувати цей метод. Зауважте, що якщо ви вирішите використовувати формулу\ ref {6.4.2}, вам потрібно бути обережними з негативними показниками у формулі. І якщо вам потрібно було знайти періодичний платіж, вам все одно потрібно буде зробити алгебру для розв'язання значення m.

Було б гарною ідеєю, щоб перевірити з інструктором, щоб побачити, якщо він або вона має перевагу. Насправді, ви зазвичай можете сказати перевагу вашого інструктора, зазначивши, як він або вона пояснює і демонструє ці типи проблем у класі.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)