6.3: Ануїтети та потопаючі фонди

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66882

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

У цьому розділі ви навчитеся:

Знайдіть майбутню вартість ануїтету.
Знайти суму виплат до потопаючого фонду.

Звичайна ануїтет

У перших двох розділах цієї глави ми розглянули проблеми, коли сума грошей була внесена одноразово на рахунок і залишалася там на весь часовий період. Зараз ми будемо робити проблеми там, де своєчасні платежі здійснюються на рахунку. Коли послідовність платежів певної фіксованої суми здійснюються на рахунку через рівні проміжки часу, ми називаємо це ануїтетом. І це тема даного розділу.

Щоб розробити формулу для знаходження значення ренти, нам потрібно буде згадати формулу для суми геометричного ряду. Геометричний ряд має вигляд:

\[a + ax + ax^2 + ax^3+ \ldots + ax^n. \label{eq1} \]

У геометричному ряду кожен наступний член отримують шляхом множення попереднього члена на число, зване загальним співвідношенням. Геометричний ряд повністю визначається, знаючи його перший член, загальне співвідношення та кількість членів.

Перший член ряду в Equation\ ref {eq1} є$a$ загальним співвідношенням$x$, а кількість членів дорівнює$n$. Нижче наведено кілька прикладів геометричних рядів.

\[3 + 6 + 12 + 24 + 48 \nonumber \]

Ця вище серія має перший термін$a = 3$ і загальне співвідношення$x = 2$

\[2 + 6 + 18 + 54 + 162\nonumber \]

Ця вище серія має перший термін$a = 2$ і загальне співвідношення$x = 3$

\[37 + 3.7 + 0.37 + 0.037 + 0.0037\nonumber \]

Ця вище серія має перший термін$a = 35$ і загальне співвідношення$x = 0.1$

У своєму класі алгебри ви розробили формулу для знаходження суми геометричного ряду. Ви, ймовірно, використовували$r$ як символ для співвідношення, але ми використовуємо,$x$ тому що$r$ це символ, який ми використовували для процентної ставки. Формула для суми геометричного ряду з першим числом$a$ і загальним співвідношенням$x$ така:

\[\frac{a\left(x^{n}-1\right)}{x-1} \nonumber \]

Цю формулу ми будемо використовувати, щоб знайти значення ануїтету. Розглянемо наступний приклад.

Приклад$\PageIndex{1}$

Якщо наприкінці кожного місяця депозит у розмірі 500 доларів робиться на рахунок, який сплачує 8% щомісяця, якою буде остаточна сума через п'ять років?

Рішення

На цьому рахунку зроблено 60 депозитів. Перший платіж залишається на рахунку 59 місяців, другий платіж - 58 місяців, третій - 57 місяців і так далі.

Перший платіж у розмірі 500 доларів накопичиться на суму 500 доларів (1 + 0,08/12) ⁵⁹.
Другий платіж у розмірі 500 доларів накопичиться на суму 500 доларів (1 + 0,08/12) ⁵⁸.
Третій платіж накопичиться до $500 (1 + 0,08/12) ⁵⁷.
Четвертий платіж накопичиться до $500 (1 + 0,08/12) ⁵⁶.

І так далі.

Нарешті наступний останній (^59-й) платіж буде накопичуватися до$$500(1 + 0.08/12)^1$.

Останній платіж знімається в той же час, коли він зроблений, і не буде заробляти ніяких відсотків.

Щоб знайти загальну суму за п'ять років, нам потрібно скласти накопичену вартість цих шістдесяти платежів.

Іншими словами, нам потрібно знайти суму наступних рядів.

\[\$ 500(1+0.08 / 12)^{59}+\$ 500(1+0.08 / 12)^{58}+\$ 500(1+0.08 / 12)^{57}+\ldots+\$ 500 \nonumber \]

Написано назад, у нас є

\[ \$500 +\$ 500(1+0.08 / 12)+\$ 500(1+0.08 / 12)^{2}+\ldots+\$ 500(1+0.08 / 12)^{59} \nonumber \]

Це геометричний ряд з$a = $500$$r = (1 + 0.08/12$, і$n = 59$. Сума дорівнює

\[\begin{align*} \text{sum} &= \dfrac{\$ 500\left[(1+0.08 / 12)^{60}-1\right]}{0.08 / 12} \\[4pt] &=\$ 500(73.47686) \\[4pt] &=\$ 36,738.43 \end{align*} \nonumber \]

Коли виплати здійснюються в кінці кожного періоду, а не на початку, ми називаємо це звичайним ануїтетом.

Майбутня вартість звичайного ануїтету

Якщо оплата m доларів проводиться на рахунку n разів на рік під відсотки$r$, то остаточна сума$A$ через$t$ роки становить

\[\mathbf{A}=\frac{\mathbf{m}\left[(\mathbf{1}+\mathbf{r} / \mathbf{n})^{\mathbf{n} \mathbf{t}}-\mathbf{1}\right]}{\mathbf{r} / \mathbf{n}} \nonumber \]

Майбутнє значення ще називають накопиченою величиною.

Приклад$\PageIndex{2}$

Таня вносить $300 в кінці кожного кварталу на свій ощадний рахунок. Якщо на рахунку заробляє 5,75% в сукупності щоквартально, скільки грошей у неї буде через 4 роки?

Рішення

Майбутню величину цієї ануїтету можна дізнатися, скориставшись вищевказаною формулою.

\[\begin{align*} A&=\frac{\$ 300\left[(1+.0575 / 4)^{16}-1\right]}{0.0575 / 4} \\[4pt] &=\$ 300(17.8463) \\[4pt] &=\$ 5353.89 \end{align*} \nonumber \]

Якщо Таня внесе $300 на ощадний рахунок, заробляючи 5,75% щоквартально протягом 4 років, то в кінці 4 років у неї буде $5353,89

Приклад$\PageIndex{3}$

Роберту потрібно 5000 доларів за три роки. Скільки він повинен вносити щомісяця на рахунок, який сплачує 8% щомісяця, щоб досягти своєї мети?

Рішення

Якщо Роберт економить m доларів на місяць, через три роки він матиме

\[\dfrac{m\left[(1+.08 / 12)^{36}-1\right]}{0.08 / 12} \nonumber \]

Але ми хотіли б, щоб ця сума була $5,000. Тому,

\[\begin{align*} \frac{\mathrm{m}\left[(1+.08 / 12)^{36}-1\right]}{.08 / 12} &=\$ 5000 \\[4pt] \mathrm{m}(40.5356) &=\$ 5000 \\[4pt] \mathrm{m} &=\frac{5000}{40.5356}\\[4pt] &=\$ 123.35 \end{align*} \nonumber \]

Роберт повинен внести $123.35 наприкінці кожного місяця протягом 3 років на рахунок, який сплачує 8% в сукупному щомісяця, щоб мати $5,000 наприкінці 5 років.

потопаючий фонд

Коли бізнес вносить гроші через рівні проміжки часу на рахунок з метою накопичення для майбутньої покупки обладнання, ощадний фонд іменується «тонуючим фондом». Розрахунок депозиту в потоковому фонді використовується той же метод, що і попередня проблема.

Приклад$\PageIndex{4}$

Бізнес потребує 450 000 доларів за п'ять років. Скільки слід вносити щокварталу в потопаючий фонд, який заробляє 9% щоквартально, щоб мати цю суму через п'ять років?

Рішення

Знову ж таки, припустимо, що$m$ долари депонуються щокварталу в потопаючий фонд. Через п'ять років майбутня вартість фонду повинна скласти 450 000 доларів. Це говорить про наступне співвідношення:

\ [\ почати {вирівнювати*}\ drack {\ mathrm {m}\ ліворуч [(1+ 0.09/4) ^ {20} -1\ праворуч]} {0.09/4} &=\ $450 000\\ [4pt]\ [4pt]
\ [4pt] &=\ dfrac {450000} {24.9115}\\[4pt] &=\$ 18,063.93 \end{align*} \nonumber \]

Бізнес повинен внести $18,063.93 в кінці кожного кварталу протягом 5 років в потопаючий фонд, який заробляє відсотки 9%, що складаються щоквартально, щоб мати $450,000 в кінці 5 років.

Ануїтет за рахунок

Якщо платіж проводиться на початку кожного періоду, а не в кінці, ми називаємо його належним ануїтетом. Аналогічним чином можна вивести формулу ренти. Перегляньте приклад 1, зі зміною, що депозити здійснюються на початку кожного місяця.

Приклад$\PageIndex{5}$

Якщо на початку кожного місяця депозит у розмірі 500 доларів вноситься на рахунок, який сплачує 8% щомісяця, якою буде остаточна сума через п'ять років?

Рішення

На цьому рахунку зроблено 60 депозитів. Перший платіж залишається на рахунку 60 місяців, другий платіж - 59 місяців, третій - 58 місяців і так далі.

Перший платіж в розмірі 500 доларів накопичиться до суми$$500(1 + 0.08/12)^{60}$.
Другий платіж в розмірі 500 доларів накопичиться до суми$$500(1 + .08/12)^{59}$.
Третій платіж буде накопичуватися до$$500(1 + 0.08/12)^{58}$.

І так далі.

Останній платіж знаходиться на рахунку протягом місяця і накопичується до$$500(1 + 0.08/12)$

Щоб знайти загальну суму за п'ять років, нам потрібно знайти суму ряду:

\[$500(1 + 0.08/12)^{60} + $500(1 + 0.08/12)^{59} + $500(1 + 0.08/12)^{58} + \ldots + $500(1 + 0.08/12) \nonumber \]

Написано назад, у нас є

\[$500(1 + 0.08/12) + $500(1 + 0.08/12)^2 + \ldots + $500(1 + 0.08/12)^{60} \nonumber \]

Якщо ми додамо $500 до цієї серії, а пізніше віднімаємо, що $500, значення не зміниться. Ми отримуємо

\[\textbf{\$500} + $500(1 + 0.08/12) + $500(1 + 0.08/12)^2 + \ldots + $500(1 + 0.08/12)^{60} - \textbf{\$500} \nonumber \]

За винятком останнього члена, у нас є геометричний ряд з$a$ = $500,$r$ = (1 + .08/12), і$n$ = 60. Тому сума

\[\begin{align*} \mathrm{A} &=\frac{\$ 500\left[(1+0.08 / 12)^{61}-1\right]}{0.08 / 12}-\$ 500 \\[4pt] &=\$ 500(74.9667)-\$ 500 \\[4pt] &=\$ 37483.35-\$ 500 \\[4pt] &=\$ 36983.35 \end{align*} \nonumber \]

Отже, в разі належної ануїтету, щоб знайти майбутню вартість, збільшуємо кількість періодів$n$ на 1, і віднімаємо один платіж.

Майбутня вартість «Ануїтет до сплати»

\[\mathrm{A}=\frac{\mathrm{m}\left[(1+\mathrm{r} / \mathrm{n})^{\mathrm{nt}+1}-1\right]}{\mathrm{r} / \mathrm{n}}-\mathrm{m} \nonumber \]

Більшість проблем, які ми збираємося зробити в цьому розділі, стосуються звичайних ануїтетів, тому, ми будемо вниз грати значення останньої формули для ануїтету належної. Ми згадали формулу ренти, належної тільки для повноти.

Резюме

Нарешті, автор бажає, щоб студент вивчив поняття таким чином, щоб йому не довелося запам'ятовувати кожну формулу. Саме з цієї причини формули тримаються на мінімумі. Але перш ніж завершити цей розділ, ми ще раз згадаємо одне єдине рівняння, яке допоможе нам знайти майбутню вартість, а також виплату потокового фонду.

Якщо виплата$m$ доларів проводиться на рахунку$n$ раз на рік під відсотки$r$, то майбутня вартість$\mathrm{A}$ через$t$ роки становить

\[\mathbf{A}=\frac{\mathbf{m}\left[(\mathbf{1}+\mathbf{r} / \mathbf{n})^{\mathbf{n t}}-\mathbf{1} \right]}{\mathbf{r} / \mathbf{n}} \nonumber \]

Зверніть увагу, що формула передбачає, що період виплати збігається з періодом складання. Якщо вони не однакові, то ця формула не застосовується.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Майбутня вартість «Ануїтет до сплати»