6.2: Складні відсотки

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66860

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

У цьому розділі ви навчитеся:

Знайдіть майбутню величину паушального внеску.
Знайдіть теперішню величину паушального внеску.
Знайдіть ефективну процентну ставку.

Складні відсотки

В останньому розділі ми розглянули проблеми, пов'язані з простим інтересом. Прості відсотки, як правило, нараховуються, коли термін кредитування короткий і часто менше року. Коли гроші позичені або позичені на більш тривалий термін, якщо відсотки виплачуються (або нараховуються) не тільки на основну суму, але і на минулі відсотки, то ми говоримо, що відсотки посилюються.

Припустимо, ми вносимо 200 доларів на рахунок, який платить 8% відсотків. В кінці одного року у нас буде $200 + $200 (.08) = $200 (1 + .08) = $216.

Тепер припустимо, що ми поклали цю суму, 216 доларів, на той же рахунок. Ще через рік у нас буде $216 + $216 (.08) = $216 (1 + .08) = $233,28.

Таким чином, початковий депозит у розмірі 200 доларів накопичився до 233,28 доларів за два роки. Далі відзначимо, що якби це були прості відсотки, ця сума накопичилася б лише до 232 доларів. Причина сума трохи вище полягає в тому, що відсотки ($16), які ми заробили перший рік, були повернуті на рахунок. І ця сума в 16 доларів сама заробила за один рік відсотки в розмірі $16 (.08) = $1,28, що призвело до збільшення. Таким чином, ми заробили відсотки як на основну суму, так і на минулі відсотки, і саме тому ми називаємо це складними відсотками.

Тепер припустимо, ми залишаємо цю суму, $233,28, в банку ще на рік, остаточна сума складе $233,28 + $233,28 (.08) = $233,28 (1 + .08) = $251,94.

Тепер давайте розглянемо математичну частину цієї задачі, щоб ми могли розробити більш простий спосіб вирішення цих проблем.

Через рік у нас було $200 (1 + .08) = $216

Через два роки у нас було $216 (1 + .08)

Але $216 = $200 (1 + .08), отже, вищевказаний вираз стає

\[\$ 200(1+.08)(1+.08) = \$ 200(1+.08)^2=\$ 233. 28 \nonumber \]

Через три роки ми отримуємо

\[\$ 233.28(1+.08)=\$ 200(1+.08)(1+.08)(1+.08) \nonumber \]

які можуть бути записані як

\[\$ 200(1+.08)^{3}=\$ 251.94 \nonumber \]

Припустимо, нас попросять знайти загальну суму в кінці 5 років, отримаємо

\[200(1+.08)^{5}=\$ 293.87 \nonumber \]

Підсумовуємо наступним чином:

Початкова сума	$200	= $200
Сума через рік	200 дол. США (+1.08)	= 216$
Сума через два роки	200 дол. США (^+1.082)	= $233.28
Сума після трьох років	$200 (+1 ^+.083)	= $251.94
Сума після п'яти років	$200 (+1 ^+.085)	= $293.87
Сума через t років	200 дол. США (+1.08 ^т)

ПЕРІОДИ СКЛАДАННЯ

Банки часто ускладнюють відсотки не один раз на рік. Розглянемо банк, який сплачує 8% відсотків, але поєднує його чотири рази на рік або щокварталу. Це означає, що кожен квартал банк буде виплачувати відсотки, рівні однієї четвертої 8%, або 2%.

Тепер, якщо ми внесемо 200 доларів в банк, через один квартал у нас буде$\$ 200\left(1+\frac{.08}{4}\right)$ або 204$.

Через два квартали у нас буде$\$ 200\left(1+\frac{.08}{4}\right)^{2}$ або $208.08.

Через рік у нас буде$\$ 200\left(1+\frac{.08}{4}\right)^{4}$ або $216,49.

Через три роки у нас буде$\$ 200\left(1+\frac{.08}{4}\right)^{12}$ або $253,65 і т.д.

Початкова сума	$200	= $200
Сума після одного кварталу	$\$ 200\left(1+\frac{.08}{4}\right)$	= 204$
Сума через два квартали	$\$ 200\left(1+\frac{.08}{4}\right)^{2}$	= $208.08
Сума через рік	$\$ 200\left(1+\frac{.08}{4}\right)^{4}$	= 216.49 доларів
Сума через два роки	$\$ 200\left(1+\frac{.08}{4}\right)^{8}$	= $234.31
Сума після трьох років	$\$ 200\left(1+\frac{.08}{4}\right)^{12}$	= $253.65
Сума після п'яти років	$\$ 200\left(1+\frac{.08}{4}\right)^{20}$	= $297.19
Сума через t років	$\$ 200\left(1+\frac{.08}{4}\right)^{4t}$

Тому, якщо ми вкладаємо паушальну суму$P$ доларів за процентною ставкою$r$, що посилюється$n$ раз на рік, то через$t$ роки остаточну суму дають

\[A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t} \nonumber \]

Наступні приклади використовують формулу складних відсотків$A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}$

Приклад$\PageIndex{1}$

Якщо 3500 доларів інвестуються на 9% щомісяця, якою буде майбутня вартість через чотири роки?

Рішення

Зрозуміло, що відсотки 0,09/12 виплачуються щомісяця протягом чотирьох років. Інтерес посилюється в$4 \times 12 = 48$ рази протягом чотирирічного періоду. Ми отримуємо

\[\mathrm{A}=\$ 3500\left(1+\frac{.09}{12}\right)^{48}=\$ 3500(1.0075)^{48}=\$ 5009.92 \nonumber \]

$3500, інвестовані на 9% в сукупності щомісяця, будуть накопичуватися до $5009.92 протягом чотирьох років.

Приклад$\PageIndex{2}$

Скільки потрібно інвестувати в рахунок, сплачуючи 9% щодня, щоб він накопичився до 5000 доларів за п'ять років?

Рішення

Ми знаємо майбутню цінність, але потрібно знайти принципал.

\ [\ почати {масив} {l}
\ $ 5000=P\ ліворуч (1+\ гідророзриву {.09} {365}\ праворуч) ^ {365\ times 5}\\
\ $ 5000=P (1.568225)\\
\ $ 3188.32=P
\ кінець {масив}\ nonnumber\]

$3188,32, інвестовані на рахунок, сплачуючи 9% сукупно щодня, накопичиться до $5,000 протягом п'яти років.

Приклад$\PageIndex{3}$

Якщо 4000 доларів інвестуються на 4%, що складаються щорічно, скільки часу знадобиться, щоб накопичити до 6000 доларів?

Рішення

$n = 1$тому що щорічне компаундування означає складання лише один раз на рік. Формула спрощує,$A=(1+r)^{t}$ коли$n = 1$.

\ [\ почати {вирівняний}
\ $6000 &= 4000 (1+.04) ^ {t}\
\ frac {6000} {4000} &=1.04^ {t}\\
1.5 &=1.04^ {t}
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]

Ми використовуємо логарифми для вирішення значення$t$ тому, що змінна$t$ знаходиться в експоненті.

\[t=\log _{1.04}(1.5) \nonumber \]

Використовуючи зміну базової формули, ми можемо вирішити для$t$:

\[t=\frac{\ln (1.5)}{\ln (1.04)}=10.33 \text { years } \nonumber \]

Потрібно 10,33 роки, щоб 4000 доларів накопичилися до 6000 доларів, якщо інвестувати під 4% відсотків, що складаються щорічно

Приклад$\PageIndex{4}$

Якщо $5,000 інвестується зараз протягом 6 років, яка процентна ставка, складена щоквартально, потрібна для отримання накопиченої вартості $8000.

Рішення

Ми маємо$n = 4$ для щоквартального складання.

\ [\ почати {вирівняний}
\ $8000 &=\ $5000\ ліворуч (1+\ frac {r} {4}\ праворуч) ^ {4\ раз 6}\\ гідророзриву {\\ $8000} {\ $5000} &=
\ ліворуч (1+\\ frac {r} {4}\ праворуч) ^ {24}\\ 1.6 &=\ ліворуч (1+\\ frac {r} {4}\ праворуч) ^ {24}\\
1.6 &=\ ліворуч (1+\\ frac {r} {r}} {4}\ праворуч) ^ {24}
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]

Ми використовуємо коріння для розв'язання,$t$ оскільки змінна$r$ знаходиться в базі, тоді як показник є відомим числом.

\[\sqrt[24]{1.6}=1+\frac{\mathrm{r}}{4} \nonumber \]

Багато калькуляторів мають вбудовану клавішу або функцію «n-го кореня». У калькуляторі TI-84 це можна знайти в меню Math. Коріння також можна обчислити як дробові показники; при необхідності попередній крок можна переписати як

\[1.6^{1 / 24}=1+\frac{\mathrm{r}}{4} \nonumber \]

Оцінка лівої частини рівняння дає

\ [\ begin {масив} {l}
1.0197765=1+\ frac {\ mathrm {r}} {4}\\
0.0197765=\ frac {\ mathrm {r}} {4}
\\ mathrm {r} =4 (0.0197765) =0.0791
\ кінець {масив}\ номер\]

Процентна ставка в розмірі 7,91% потрібна для того, щоб 5000 доларів, інвестованих зараз, накопичилися до 8000 доларів наприкінці 6 років, відсотки збільшуються щоквартально.

Ефективна процентна ставка

Банки зобов'язані вказати свою процентну ставку з точки зору «ефективної прибутковості» або «ефективної процентної ставки», для цілей порівняння. Ефективна ставка також називається річною відсотковою дохідністю (APY) або річною процентною ставкою (APY).

Ефективна ставка - це процентна ставка, що складається щорічно, буде еквівалентна заявленій ставці та періодам складання. Наступний приклад показує, як розрахувати ефективну ставку.

Щоб вивчити кілька інвестицій, щоб побачити, яка має найкращу ставку, ми знаходимо та порівняємо ефективну ставку для кожної інвестиції.

Приклад$\PageIndex{5}$ ілюструє, як розрахувати ефективну ставку.

Приклад$\PageIndex{5}$

Якщо Банк А щомісяця сплачує 7,2% відсотків, яка ефективна процентна ставка?
Якщо Банк Б сплачує 7,25% відсотків, що складаються два рази на рік, то яка ефективна процентна ставка? Який банк платить більше відсотків?

Рішення

Банк А: Припустимо, ми вносимо $1 в цьому банку і залишаємо його на рік, отримаємо

\ [\ почати {масив} {l}
1\ лівий (1+\ frac {0.072} {12}\ праворуч) ^ {12} =1.0744\
\ mathrm {r} _ {\ mathrm {EFF}} =1.0744-1=0.0744
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Ми заробили відсотки $1.0744 - $1,00 = $0.0744 на інвестиції в $1.

Ефективна процентна ставка становить 7,44%, яку часто називають APY або APR.

Банк Б: Ефективна ставка розраховується як

\[\mathbf{r}_{\mathrm{EFF}}=1\left(1+\frac{0.072}{2}\right)^{2}-1=.0738 \nonumber \]

Ефективна процентна ставка становить 7,38%.

Банк А виплачує трохи вищі відсотки, з ефективною ставкою 7,44%, в порівнянні з Банком Б з ефективною ставкою 7,38%.

Безперервне компаундування

Відсотки можуть бути збільшені щорічно, піврічно, щоквартально, щомісяця та щодня. Використовуючи ті ж методи обчислення, ми могли б складати кожну годину, кожну хвилину і навіть кожну секунду. Оскільки період компаундування стає коротшим і коротшим, ми рухаємося до концепції безперервного компаундування.

Але що ми маємо на увазі, коли говоримо, що відсотки постійно посилюються, і як ми обчислюємо такі суми? Коли інтерес посилюється «нескінченно багато разів», ми говоримо, що інтерес посилюється постійно. Наша наступна мета - вивести формулу для моделювання безперервного компаундування.

Припустимо, ми ставимо $1 на рахунок, який платить 100% відсотків. Якщо відсотки посилюються раз на рік, то загальна сума після одного року буде$\$ 1(1+1)=\$ 2$.

Якщо відсотки будуть збільшуватися півроку, через один рік ми матимемо$\$ 1(1+1 / 2)^{2}=\$ 2.25$
Якщо відсотки будуть збільшуватися щоквартально, через один рік ми матимемо$\$ 1(1+1 / 4)^{4}=\$ 2.44$
Якщо відсотки будуть збільшуватися щомісяця, через один рік у нас буде$\$ 1(1+1 / 12)^{12}=\$ 2.61$
Якщо відсоток буде збільшуватися щодня, через один рік у нас буде$\$ 1(1+1 / 365)^{365}=\$ 2.71$

Ми показуємо результати наступним чином:

Частота компаундування	Формула	Загальна сума
Щорічно	$\$ 1(1 + 1)$	$2
Півріччя	$\$ 1(1+1 / 2)^{2}$	$2.25
Квартально	$\$ 1(1+1 / 4)^{4}=\$ 2.44$	$2,44140625
Щомісячно	$\$ 1(1+1 / 12)^{12}$	$2,61303529
Щодня	$\$ 1(1+1 / 365)^{365}$	$2,71456748
Погодинно	$\$ 1(1+1 / 8760)^{8760}$	$2,71812699
Кожну хвилину	$\$1(1+1 / 525600)^{525600}$	$2,71827922
Кожну секунду	$\$ 1(1+1 / 31536000)^{31536000} $	$2,71828247
Безперервно	$\$ 1(2.718281828 \ldots)$	$2.718281828...

Ми помітили, що вкладені нами $1 не зростають без прив'язки. Він починає стабілізуватися до ірраціонального числа 2.718281828... дав назву "е" на честь великого математика Ейлера.

У математиці ми говоримо, що як$n$ стає нескінченно великим вираз дорівнює$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ e.

Тому природно, що число е відіграє певну роль у безперервному складанні.
Можна показати, що як$n$ стає нескінченно великим вираз$\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}=e^{r t}$

Тому випливає, що якщо ми інвестуємо $$P$$r$ за процентною ставкою на рік, що посилюється безперервно, через$t$ роки остаточна сума буде дана

\[ A = P \cdot e^{rt} \nonumber \]

Приклад$\PageIndex{6}$

$3500 інвестується на 9% постійно. Знайдіть майбутнє значення через 4 роки.

Рішення

Використовуючи формулу для безперервного компаундування, отримаємо$A = Pe^{rt}$.

\ почати {
вирівняний} A &=\ $3500 e^ {0.09\ раз 4}\\
A &=\ $3500 e^ {0.36}\\
A &=\ $5016.65
\ кінець {вирівняний}

Приклад$\PageIndex{7}$

Якщо сума інвестується під 7%, що постійно збільшується, яка ефективна процентна ставка?

Рішення

Якщо ми вносимо $1 в банку під 7%, що збільшується безперервно протягом одного року, і віднімаємо цей $1 від остаточної суми, то отримаємо ефективну процентну ставку в десяткових числах.

\ [\ begin {масив} {l}
\ математика {r} _ {\ математика {EFF}} =1\ математика {e} ^ {0.07} -1\
\\ математика {r} _ {\ математика {EFF}} =1.0725-1\
\ математика {r} _ {\ математика {EFF}} =0,0725\ текст {або} 7.25\%
\ end {масив}\ nonumber\]

Приклад$\PageIndex{8}$

Якщо сума інвестується на 7% постійно, скільки часу знадобиться, щоб подвоїти?

Ми пропонуємо два рішення.

Рішення 1 використовує логарифми для обчислення точної відповіді, тому воно є кращим. Ми вже використовували цей метод у прикладі$\PageIndex{3}$ для вирішення часу, необхідного для накопичення інвестицій до зазначеної майбутньої вартості.

Рішення 2 надає розрахункове рішення, яке можна застосувати лише до подвоєння часу, але не до інших кратних. Студенти повинні з'ясувати від свого інструктора, якщо є перевага щодо того, який метод рішення буде використовуватися для подвоєння проблем часу.

Рішення: Рішення 1: Обчислення відповіді точно: $P e^{0.07t} = A$.

Ми не знаємо початкового значення prinicipal, але ми знаємо, що накопичена вартість подвійна (двічі) основна.

\[\mathrm{P}_{e}^{0.07t}=2 \mathrm{P} \nonumber \]

Ділимо обидві сторони на$\mathrm{P}$

\[e^{.07 t}=2 \nonumber \]

Використовуючи натуральний логарифм:

\ [\ begin {масив} {l}
.07\ mathrm {t} =\ ln (2)\\
\ mathrm {t} =\ ln (2)/.07=9.9\:\ mathrm {роки}
\ end {масив}\ nonumber\]

Потрібно 9,9 років, щоб гроші подвоїлися, якщо інвестувати під 7% постійних відсотків.

Рішення 2. Оцінюємо відповідь за допомогою Закону 70:

Закон 70 є корисним інструментом для оцінки часу, необхідного для того, щоб інвестиція збільшилася вдвічі. Це наближення і не є точним і походить від нашого попереднього рішення. Ми порахували, що

\[\mathrm{t}=\ln (2) / \mathrm{r} \text{ where } \mathrm{r} \text{ was 0.07 in that solution.} \nonumber \]

$\ln(2) = 0.693$Оцінюючи, дає$t = 0.693/\mathrm{r}$. Множення чисельника і знаменника на 100 дає$t = 69.3/ (100\mathrm{r})$

Якщо оцінити 69,3 на 70 і вказати процентну ставку у відсотках замість десяткової, отримаємо Закон 70:

Закон 70: Кількість років, необхідних для подвоєння грошей ≈ 70 ÷ процентна ставка

Зверніть увагу, що це лише приблизна оцінка.
Процентна ставка вказана як відсоток (не десятковий) в Законі 70.

Використання Закону 70 дає нам$t$ ≈ 70/7=10, що є близьким, але не точно значенням 9.9 років, розрахованим у Рішенні 1.

Приблизний час подвоєння у роках як функція процентної ставки
Річна процентна ставка	1%	2%	3%	4%	5%	6%	7%	8%	9%	10%
Кількість років для подвоєння грошей	70	35	23	18	14	12	10	9	8	7

Візерунок в таблиці наближає Закон 70.

З технологією, доступною для обчислень з використанням логарифмів, ми б використовували Закон 70 тільки для швидких оцінок подвоєння разів. Використання Закону 70 в якості оцінки працює лише для подвоєння разів, але не інших кратних, тому це не заміна для знання того, як знайти точні рішення.

Однак Закон 70 може бути корисним, щоб допомогти швидко оцінити багато проблем «подвоєння часу» розумово, що може бути корисним у додатках складних відсотків, а також інших додатках, що включають експоненціальне зростання.

Приклад$\PageIndex{9}$

На пікових темпах зростання в 1960-х роках населення світу мала подвоєння часу 35 років. У той час приблизно який був темп зростання?
Станом на 2015 рік щорічний темп приросту населення світу становив приблизно 1,14%. Виходячи з цієї ставки, знайдіть приблизний час подвоєння.

Рішення

а. згідно із законом 70,

подвоєння часу =$35 \approx 70 \div r$

$r \approx 2$виражається у відсотках

Тому населення планети зростало приблизними темпами на 2% в 1960-х роках.

б.. Згідно із законом 70,

подвоєння часу$t \approx 70 \div r = 70 \div 1.14 \approx 61$ років

Якби населення світу продовжувало зростати з річними темпами зростання 1,14%, це займе приблизно 61 рік, щоб населення подвоїлося.

РОЗДІЛ 6.2 РЕЗЮМЕ

Нижче наведено короткий виклад розроблених нами формул для розрахунків за участю складних відсотків:

СКЛАДНІ ВІДСОТКИ$\mathbf{n}$ разів на рік

Якщо сума$\mathrm{P}$ вкладається$t$ роками за відсотковою ставкою$r$ на рік, складених$n$ раз на рік, то майбутня вартість\[A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t} \nonumber \]$\mathbf{P}$ дається називається основною і також називається поточною вартістю.
Якщо банк виплачує процентну ставку$r$ в рік, посилену$n$ раз на рік, то ефективна процентна ставка дається за\[\mathbf{r}_{\mathrm{EFF}}=\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n}-1 \nonumber \]

ПОСТІЙНО ПОСИЛЮЄТЬСЯ ІНТЕРЕС

Якщо сума$\mathrm{P}$ вкладається$t$ роками за відсотковою ставкою$r$ на рік, посилюється безперервно, то майбутня вартість задається\[\mathrm{A} = \mathrm{P}e^{rt} \nonumber \]
Якщо банк виплачує процентну ставку$r$ в рік, посилену$n$ раз на рік, то ефективна процентна ставка дається за\[\mathrm{r}_{\mathrm{EFF}}=e^{\mathbf{r}}-1 \nonumber \]
Закон 70 стверджує, що

Кількість років для подвоєння грошей становить приблизно 70 ÷ процентна ставка

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Приклад\(\PageIndex{8}\)

Приклад\(\PageIndex{9}\)

Частота компаундування	Формула	Загальна сума
Щорічно	\(\$ 1(1 + 1)\)	$2
Півріччя	\(\$ 1(1+1 / 2)^{2}\)	$2.25
Квартально	\(\$ 1(1+1 / 4)^{4}=\$ 2.44\)	$2,44140625
Щомісячно	\(\$ 1(1+1 / 12)^{12}\)	$2,61303529
Щодня	\(\$ 1(1+1 / 365)^{365}\)	$2,71456748
Погодинно	\(\$ 1(1+1 / 8760)^{8760}\)	$2,71812699
Кожну хвилину	\(\$1(1+1 / 525600)^{525600}\)	$2,71827922
Кожну секунду	\(\$ 1(1+1 / 31536000)^{31536000} \)	$2,71828247
Безперервно	\(\$ 1(2.718281828 \ldots)\)	$2.718281828...