6.1: Прості відсотки та знижки

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66876

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

У цьому розділі ви навчитеся:

Знайдіть простий інтерес.
Знайти теперішню вартість.
Знайдіть знижки та виручку.

Простий інтерес

Варто позичити гроші. Орендна плата, яку платить за користування грошима, називається відсотками. Сума грошей, яка береться в борг або позику, називається основною або поточною вартістю. Прості відсотки виплачуються тільки на початкову позикову суму. Коли гроші позичаються, людина, яка позичає гроші, як правило, платить фіксовану процентну ставку на основну суму за період часу, який він зберігає гроші. Хоча процентна ставка часто вказується на рік, вона може бути вказана протягом тижня, місяця або кварталу тощо Компанії кредитних карт часто перераховують свої збори як щомісячні ставки, іноді це досягає 1,5% на місяць.

Визначення: Простий інтерес

Якщо сума$P$ позичена на$t$ час під процентну ставку$r$ за часовий проміжок, то прості відсотки дають

\[ I = P \cdot r \cdot t \nonumber \]

Визначення: Накопичена вартість

Загальна сума$A$, яку також називають накопиченою вартістю або майбутньою вартістю, задається

\[ \begin{align*} A &= P + I \\[4pt] &= P + Prt \end{align*} \nonumber \]

або

\[ A = P(1+rt) \label{simple3} \]

де процентна ставка$r$ виражається десятковими знаками.

Приклад$\PageIndex{1}$

Урсула позичає 600 доларів на 5 місяців за простою процентною ставкою 15% на рік. Знайти відсотки, а загальну суму, яку вона зобов'язана виплатити?

Рішення

Відсотки обчислюються шляхом множення основної суми на процентну ставку та час.

\[\begin{align*} \mathrm{I} &=\operatorname{Prt} \\[4pt] &=\$ 600(0.15) \frac{5}{12} \\[4pt] &=\$ 37.50 \end{align*} \nonumber \]

Загальна сума

\[\begin{align*} \mathrm{A} &=\mathrm{P}+\mathrm{I} \\[4pt] &=\$ 600+\$ 37.50 \\[4pt] &=\$ 637.50 \end{align*} \nonumber \]

До речі, загальну суму можна обчислити безпосередньо за допомогою Equation\ ref {simple3} як

\[\begin{align*} A &=P(1+r t) \\[4pt] &=\$ 600[1+(0.15)(5 / 12)] \\[4pt] &=\$ 600(1+0.0625) \\[4pt] &=\$ 637.50 \end{align*} \nonumber \]

Приклад$\PageIndex{2}$

Хосе внес $2500 на рахунок, який платить 6% простих відсотків. Скільки грошей у нього буде в кінці 3 років?

Рішення

Загальна сума або майбутнє значення задається за допомогою Equation\ ref {simple3}.

\[\begin{align*} A &= P(1 + rt) \\[4pt] &=\$ 2500[1+(.06)(3)] \\[4pt] \mathrm{A} &=\$ 2950 \end{align*} \nonumber \]

Приклад$\PageIndex{3}$

Дарнел заборгував в цілому $3060, що включає 12% відсотків за три роки, які він позичив гроші. Скільки він спочатку позичив?

Рішення

Цього разу нас попросять обчислити принципал$P$ за допомогою Equation\ ref {simple3}.

\[\begin{align*} \$ 3060 &=\mathrm{P}[1+(0.12)(3)] \\[4pt] \$ 3060 &=\mathrm{P}(1.36) \\[4pt] \dfrac{\$ 3060}{1.36}&=\mathrm{P} \\[4pt] \$ 2250 &=\mathrm{P} \quad \text { Darnel originally borrowed \$2250. } \end{align*} \nonumber \]

Приклад$\PageIndex{4}$

Компанія, що займається кредитними картками Visa, щомісяця стягує фінансову плату в розмірі 1,5% на неоплачений залишок. Якщо Марта заборгувала 2350 доларів і не сплачувала свій рахунок протягом трьох місяців, скільки вона заборгувала зараз?

Рішення

Перш ніж спробувати проблему, читач повинен зауважити, що в цій задачі ставка фінансового збору дається в місяць, а не за рік.

Загальна сума, яку заборгувала Марта, - це попередній неоплачений залишок плюс фінансовий збір.

\[ A=\$ 2350+\$ 2350(.015)(3)=\$ 2350+\$ 105.75=\$ 2455.75 \nonumber \]

Крім того, знову ж таки, ми можемо обчислити суму безпосередньо за допомогою формули$A = P(1 + rt)$

\[A=\$ 2350[1+(.015)(3)]=\$ 2350(1.045)=\$ 2455.75 \nonumber \]

Знижка та виручка

Банки часто віднімають прості відсотки з суми кредиту в момент оформлення кредиту. Коли це станеться, ми говоримо, що кредит був дисконтований. Відсотки, які відраховуються, називають дисконтом, а фактична сума, яка надається позичальнику, називається виручкою. Сума, яку позичальник зобов'язаний погасити, називається величиною погашення.

Знижка та виручка

Якщо сума$M$ позичена на$t$ час за дисконтною ставкою$r$ в рік, то знижка$D$ становить

\[ D = M \cdot r \cdot t \nonumber \]

Виручка$P$, фактична сума, яку отримує позичальник, надається

\[\begin{align*} P &=M-D \\[4pt] &=M-M r t \end{align*} \nonumber \]

або

\[P = M(1-rt) \nonumber \]

де процентна ставка$r$ виражається десятковими знаками.

Приклад$\PageIndex{5}$

Франциско позичає 1200 доларів на 10 місяців за простою процентною ставкою 15% на рік. Визначте знижку і виручку.

Рішення

Знижка$D$ - це відсотки по кредиту, які банк відраховує з суми кредиту.

\ [\ почати {масив} {l}
\ mathrm {D} =\ mathrm {Mart}\
\ mathrm {D} =\ $1200 (0,15)\ лівий (\ frac {10} {12}\ праворуч) =\ $150
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Тому банк відраховує 150 доларів від вартості погашення в 1200 доларів, а Франсиско віддає 1050 доларів. Франциско зобов'язаний виплатити банку 1200 доларів.

У цьому випадку знижка$D$ = $150, а виручка

\[P = \$1200 - \$150 = \$1050. \nonumber \]

Приклад$\PageIndex{6}$

Якщо Франциско хоче отримати $1200 протягом 10 місяців за простою процентною ставкою 15% на рік, на яку суму позики він повинен подати заяву?

Рішення

У цій задачі нам дають виручку$P$ і просять знайти вартість погашення$M$.

У нас$P$ = $1200,$r = 0.15$,$t$ = 10/12. Нам потрібно знайти$M$.

Ми знаємо$P = M - D$

але також$D = Mrt$

тому

\[\begin{align*} \mathrm{P} &=\mathrm{M}-\mathrm{Mrt} \\[4pt] &=\mathrm{M}(1-\mathrm{rt}) \\[4pt] \$ 1200 &=\mathrm{M}\left[1-(0.15)\left(\dfrac{10}{12}\right)\right] \end{align*} \nonumber \]

Нам потрібно вирішити для$M$.

\ [\ почати {вирівнювати*}
\ $1200 &=\ математика {M} (1-0.125)\\ [4pt]
\ $1200 &=\ математика {M} (0.875)\\ [4pt]
\ dfrac {\ $1200} {0.875} &=\ математика {M}\\ [4pt]
\ $1371.43 &=\ математика m {M}
\ end {align*}\ nonumber\]

Тому Франциско повинен попросити кредит на $1371,43.

Банк зробить знижку $171.43, а Франциско отримає $1200.

Резюме

Нижче наведено короткий виклад формул, які ми розробили для розрахунків за участю простих відсотків:

Простий інтерес

Якщо сума$P$ позичена на$t$ час під процентну ставку$r$ за часовий проміжок, то прості відсотки дають

\[ I = P \cdot r \cdot t \nonumber \]

Загальна сума$A$, яку також називають накопиченою вартістю або майбутньою вартістю, задається

\[ A = P + I = P + Prt \nonumber \]

або

\[ A = P(1+rt) \nonumber \]

де процентна ставка$r$ виражається десятковими знаками.

Знижка та виручка

Якщо сума$M$ позичена на$t$ час за дисконтною ставкою$r$ в рік, то знижка$D$ становить

\[ D = M \cdot r \cdot t \nonumber \]

Виручка$P$, фактична сума, яку отримує позичальник, надається

\ [\ begin {масив} {l} Р
= M-D\\
P=M-M r t
\ end {масив}\ nonumber\]

або\[P = M(1-rt) \nonumber \]

де процентна ставка$r$ виражається десятковими знаками.

Після закінчення терміну кредиту позичальник погашає всю суму погашення$M$.

Визначення: Простий інтерес

Визначення: Накопичена вартість

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Знижка та виручка

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Простий інтерес

Знижка та виручка