5.6: Задачі застосування з експоненціальними та логарифмічними функціями

Цілі навчання

У цьому розділі ви будете:

1. огляд стратегій розв'язання рівнянь, що виникають з експоненціальних формул
2. вирішувати прикладні задачі за участю експоненціальних функцій і логарифмічних функцій

СТРАТЕГІЇ РОЗВ'ЯЗАННЯ РІВНЯНЬ, ЩО МІСТЯТЬ ПОКАЗНИКИ

При вирішенні прикладних задач, які включають експоненціальні та логарифмічні функції, нам потрібно звернути пильну увагу на положення змінної в рівнянні, щоб визначити правильний спосіб вирішення досліджуваного рівняння, розв'язуючи рівняння, що містять експоненти.

Припустимо, що у нас є рівняння у вигляді: значення = коефіцієнт (база) ^{показник}

Розглянемо чотири стратегії розв'язання рівняння:

СТРАТЕГІЯ А: Якщо коефіцієнт, база та показник відомі, нам потрібно лише оцінити вираз для ^{показника} коефіцієнта (бази), щоб оцінити його значення.

СТРАТЕГІЯ Б: Якщо змінна є коефіцієнтом, оцініть вираз для (базового) ^{показника}. Потім він стає лінійним рівнянням, яке ми вирішуємо діленням, щоб ізолювати змінну.

СТРАТЕГІЯ C: Якщо змінна знаходиться в експоненті, використовуйте логарифми для вирішення рівняння.

СТРАТЕГІЯ D: Якщо змінна не знаходиться в експоненті, а знаходиться в базі, використовуйте коріння для вирішення рівняння.

Нижче ми розглянемо кожну стратегію з одним або двома прикладами її використання.

СТРАТЕГІЯ А: Якщо коефіцієнт, база та показник відомі, нам потрібно лише оцінити вираз для ^{показника} коефіцієнта (бази), щоб оцінити його значення.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Припустимо, що ціна акцій зростає зі швидкістю 7% на рік, і що вона продовжує зростати такими темпами. Якщо вартість однієї акції цієї акції зараз становить 43 долари, знайдіть вартість однієї акції цієї акції через три роки.

Рішення

Нехай\(y\) = вартість запасу через\(t\) роки:\(y = ab^t\)

Проблема говорить нам, що\(a\) = 43 і\(r\) = 0,07, так що\(b = 1+ r = 1+ 0.07 = 1.07\)

Тому функція є\(y = 43(1.07)^t\).

У цьому випадку ми знаємо, що\(t\) = 3 роки, і нам потрібно оцінити,\(y\) коли\(t\) = 3.

Після закінчення 3-х років вартість цієї однієї акції цього запасу складе

\[y=43(1.07)^{3}=\$ 52.68 \nonumber \]

СТРАТЕГІЯ Б: Якщо змінна є коефіцієнтом, оцініть вираз для (базового) ^{показника}. Потім він стає лінійним рівнянням, яке ми вирішуємо діленням, щоб ізолювати змінну.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Вартість нового автомобіля знецінюється (зменшується) після його придбання. Припустимо, що вартість автомобіля амортизується за експоненціальної моделі розпаду. Припустимо, що вартість автомобіля становить $12000 на кінець 5 років і що його вартість знижується зі швидкістю 9% на рік. Знайдіть вартість автомобіля, коли він був новим.

Рішення

\(y\)Дозволяти значення автомобіля через\(t\) роки:\(y = ab^t\),\(r\) = -0,09 і\(b = 1+r = 1+(-0.09) = 0.91\)

Функція є\(y = a(0.91)^t\)

У цьому випадку ми знаємо, що коли\(t\) = 5, то\(y\) = 12000; підставляючи ці значення дає

\[12000 = a(0.91)^5 \nonumber \]

Нам потрібно вирішити для початкового значення а, ціну покупки автомобіля при новому.

Спочатку оцініть (0,91) ⁵; потім вирішіть отримане лінійне рівняння, щоб знайти\(a\).

\[ 1200 = a(0.624) \nonumber \]

\(a=\frac{12000}{0.624} = \$ 19,230.77\); Вартість автомобіля становила $19,230.77, коли він був новим.

СТРАТЕГІЯ C: Якщо змінна знаходиться в експоненті, використовуйте логарифми для вирішення рівняння.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Національний парк має населення 5000 оленів в 2016 році. Природоохоронці стурбовані тим, що популяція оленів зменшується зі швидкістю 7% на рік. Якщо популяція продовжить зменшуватися такими темпами, скільки часу пройде, поки популяція не складе всього 3000 оленів?

Рішення

Нехай\(y\) буде кількість оленів в національному парку\(t\) років після 2016 року:\(y = ab^t\)

\(r\)= -0,07\(b = 1+r = 1+(-0.07) = 0.93\) і початкова популяція\(a\) = 5000

Функція експоненціального розпаду\(y = 5000(0.93)^t\)

Щоб дізнатися, коли населення буде 3000, підставляємо\(y\) = 3000

\[ 3000 = 5000(0.93)^t \nonumber \]

Далі розділіть обидві сторони на 5000, щоб виділити експоненціальний вираз

\ [\ begin {масив} {l}
\ frac {3000} {5000} =\ frac {5000} {5000} (0.93) ^ {2}\\
0.6=0.93^ {t}
\ end {масив}\ nonumber\]

Перепишіть рівняння в логарифмічній формі; потім скористайтеся зміною базової формули для оцінки.

\[t=\log _{0.93}(0.6) \nonumber \]

\(t = \frac{\ln(0.6)}{\ln(0.93)}=7.039\)років; Після 7.039 років налічується 3000 оленів.

Примітка: У\(\PageIndex{3}\) прикладі нам потрібно було вказати відповідь на кілька десяткових знаків точності, щоб залишатися точним. Оцінка вихідної функції за допомогою округленого значення\(t\) = 7 років дає значення, близьке до 3000, але не точно 3000.

\[y=5000(0.93)^{7}=3008.5 \text { deer } \nonumber \]

Однак використання\(t\) = 7,039 років дає значення 3000 для популяції оленів.

\[ y=5000(0.93)^{7.039}=3000.0016 \approx 3000 \text { deer } \nonumber \]

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Відео, розміщене на YouTube, спочатку мало 80 переглядів, як тільки воно було розміщено. Загальна кількість переглядів на сьогоднішній день зростає експоненціально відповідно до функції експоненціального зростання\(y = 80e^{0.2t}\), де відображається\(t\) час, виміряний у днях з моменту публікації відео. Скільки днів потрібно, поки 2500 людей не переглянули це відео?

Рішення

\(y\)Дозволяти загальна кількість переглядів\(t\) днів після початку розміщення відео.
Нам дано, що функція експоненціального зростання є\(y = 80e^{0.2t}\) і ми хочемо знайти значення\(t\) для якого\(y\) = 2500. \(y\)Заставте = 2500 в рівняння і використовуйте природний журнал для вирішення\(t\).

\[2500 = 80e^{0.12t} \nonumber \]

Розділіть обидві сторони на коефіцієнт 80, щоб виділити експоненціальне вираз.

\ [\ begin {масив} {c}
\ frac {2500} {80} =\ frac {80} {80} e^ {0.12 t}\\
31.25=e^ {0.12 t}
\ end {масив}\ nonumber\]

Перепишіть рівняння в логарифмічному вигляді

\[ 0.12t = \ln(31.25) \nonumber \]

Розділіть обидві сторони на 0,04, щоб ізолювати\(t\); потім скористайтеся калькулятором та його природною функцією журналу, щоб оцінити вираз та вирішити для\(t\).

\ [\ begin {масив} {l}
\ mathrm {t} =\ frac {\ ln (31.25)} {0.12}
\\ mathrm {t} =\ frac {3.442} {0.12}\
\ mathrm {t}\ приблизно 28.7\ текст {дні}
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Це відео матиме 2500 загальних переглядів приблизно 28.7 днів після його розміщення.

СТРАТЕГІЯ D: Якщо змінна не знаходиться в експоненті, а знаходиться в базі, ми використовуємо коріння для вирішення рівняння.
Важливо пам'ятати, що ми використовуємо логарифми лише тоді, коли змінна знаходиться в експоненті.

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Статист створює веб-сайт для аналізу спортивної статистики. У його бізнес-плані зазначено, що його мета - накопичити 50 000 підписників до кінця 2 років (через 24 місяці). Він сподівається, що якщо він досягне цієї мети, його сайт буде придбаний спортивним новинним виданням. Початкова користувацька база людей, які зареєструвалися в результаті передстартової реклами, становить 400 осіб. Знайдіть щомісячний темп зростання, необхідний, якщо користувацька база повинна накопичити до 50 000 користувачів наприкінці 24 місяців.

Рішення

Дозвольте\(y\) бути загальною базою користувачів\(t\) місяців після запуску сайту.

Функція зростання для цього сайту є\(y = 400(1+r)^t\);

Ми не знаємо темпів зростання\(r\). Ми знаємо, що коли\(t\) = 24 місяці, то\(y\) = 50000.

Підставляємо значення\(y\) і\(t\); тоді нам потрібно вирішити для\(r\).

\[5000 = 400(1+r)^{24} \nonumber \]

Розділіть обидві сторони на 400, щоб виділити (1+r) ²⁴ на одній стороні рівняння

\ [\ begin {масив} {l}
\ розрив {50000} {400} =\ гідророзриву {400} {400} (1+r) ^ {24}\
125 =( 1+r) ^ {24}
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Оскільки змінна в цьому рівнянні знаходиться в основі, ми використовуємо коріння:

\ [\ почати {масив} {l}
\ sqrt [24] {125} =1+r\\
125^ {1/24} =1+r\\
1.2228\ приблизно 1+r\\
0.2228\ приблизно r
\ end {масив}\ nonumber\]

Користувацька база сайту повинна збільшуватися зі швидкістю 22,28% на місяць, щоб до кінця 24 місяців накопичити 50 000 користувачів.

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Фактологічний лист про залежність від кофеїну від медичного центру Джона Хопкінса стверджує, що період напіврозпаду кофеїну в організмі становить від 4 до 6 годин. Припускаючи, що типовий період напіврозпаду кофеїну в організмі становить 5 годин для середньої людини і що типова чашка кави містить 120 мг кофеїну.

1. Запишіть функцію розпаду.
2. Знайдіть годинну норму, при якій кофеїн виходить з організму.
3. Скільки часу це займе, поки тільки 20 мг кофеїну все ще знаходиться в організмі?
   www.hopkinsmedicine.org/психічний... fact_sheet.pdf

Рішення

а. нехай\(y\) буде загальна кількість кофеїну в організмі\(t\) годин після вживання кави.

Функція експоненціального розпаду\(y = ab^t\) моделює цю ситуацію.

Початкова кількість кофеїну\(a\) = 120.

Ми не знаємо\(b\) або\(r\), але ми знаємо, що період напіврозпаду кофеїну в організмі становить 5 годин. Це говорить нам про те, що коли\(t\) = 5, то в організмі залишається половина початкової кількості кофеїну.

\ [\ begin {масив} {l}
y=120 b^ {t}\
\ розрив {1} {2} (120) =120 b^ {5}\\
60=120 b^ {5}
\ end {масив}\ nonumber\]

Розділіть обидві сторони на 120, щоб ізолювати вираз\(b^5\), що містить змінну.

\ [\ begin {масив} {l}
\ frac {60} {120} =\ frac {120} {120}\ mathrm {b} ^ {5}\\
0.5=\ mathrm {b} ^ {5}
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Змінна знаходиться в базі, а показник - число. Використовуйте коріння, щоб вирішити для\(b\):

\ [\ begin {масив} {l}
\ sqrt [5] {0.5} =\ mathrm {b}\\
0.5^ {1/5} =\ mathrm {b}\
\ mathrm {b}
\ end {масив}\ nonumber\]

Тепер ми можемо написати функцію розпаду для кількості кофеїну (в мг.), що залишається в організмі через\(t\) години після випивання чашки кави з 120 мг кофеїну

\[y=f(t)=120(0.87)^{t} \nonumber \]

б. використовувати\(b = 1 + r\), щоб знайти швидкість розпаду\(r\). Оскільки\(b = 0.87 < 1\) і кількість кофеїну в організмі з часом зменшується, значення\(r\) буде негативним.

\ [\ begin {масив} {l}
0.87=1+r\\
r = -0.13
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Швидкість розпаду становить 13%; кількість кофеїну в організмі зменшується на 13% на годину.

в Щоб знайти час, в яке в організмі залишається всього 20 мг кофеїну, підставляємо\(y\) = 20 і вирішуємо на відповідне значення\(t\).

\ [\ begin {масив} {l}
y=120 (.87) ^ {t}\\
20=120 (.87) ^ {t}
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Розділіть обидві сторони на 120, щоб виділити експоненціальний вираз.

\ [\ begin {масив} {l}
\ frac {20} {120} =\ frac {120} {120}\ лівий (0.87^ {t}\ праворуч)\\
0.1667=0.87^ {t}
\ end {масив}\ nonumber\]

Перепишіть вираз в логарифмічну форму і використовуйте зміну базової формули

\ [\ begin {масив} {l}
t=\ log _ {0.87} (0.1667)\\
t=\ frac {\ ln (0.1667)} {\ ln (0.87)}\ приблизно 12.9\ текст {години}
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Через 12,9 години в організмі залишається 20 мг кофеїну.

ВИРАЖЕННЯ ЕКСПОНЕНЦІАЛЬНИХ ФУНКЦІЙ У ФОРМАХ y = ab ^t і y = ae ^kt

Тепер, коли ми розробили наші навички розв'язання рівнянь, ми переглядаємо питання вираження експоненціальних функцій еквівалентно у формах\(y = ab^t\) і\(y = ae^{kt}\)

Ми вже визначили, що якщо дана форма\(y = ae^{kt}\), її просто знайти\(b\).

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Для наступних прикладів, припустимо,\(t\) вимірюється роками.

1. \(y = 3500e^{0.25t}\)Висловіть за формою\(y = ab^t\) і знайдіть річний відсоток приросту.
2. \(y = 28000e^{-0.32t}\)Висловіть за формою\(y = ab^t\) і знайдіть річний відсоток швидкості розпаду.

Рішення

а. експрес\(y = 3500e^{0.25t}\) у формі\(y = ab^t\)

\ [\ begin {масив} {l}
y=a e^ {k t} =a\
a\ лівий (e^ {k}\ праворуч) ^ {t} = a b^ {t}
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Таким чином\(e^k=b\)

У цьому прикладі\(b=e^{0.25} \approx 1.284\)

Переписуємо функцію зростання як y = 3500 (1,284 ^т)

Щоб знайти\(r\), нагадаємо, що\(b = 1+r\)
\ [\ begin {вирівняний}
&1.284=1+r\\
&0.284=\ mathrm {r}
\ end {вирівняний}\ nonumber\]

Безперервний темп зростання становить\(k\) = 0,25, а річний відсоток приросту становить 28,4% на рік.

б. експрес\(y = 28000e^{-0.32t}\) у формі\(y = ab^t\)

\ [\ begin {масив} {l}
y=a e^ {k t} =a\
a\ лівий (e^ {k}\ праворуч) ^ {t} = a b^ {t}
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Таким чином\(e^k=b\)

У цьому прикладі\(\mathrm{b}=e^{-0.32} \approx 0.7261\)

Переписуємо функцію зростання як y = 28000 (0,7261 ^т)

Щоб знайти\(r\), нагадаємо, що\(b = 1+r\)
\ [\ begin {масив} {l}
0.7261=1+r\\
0.2739=r
\ end {масив}\ nonumber\]

Швидкість безперервного розпаду становить\(k\) = -0,32, а річний відсоток розпаду становить 27,39% на рік.

У реченні ми опускаємо негативний знак при зазначенні річного відсотка розпаду, оскільки ми використовували слово «розпад», щоб вказати, що r є негативним.

Приклад\(\PageIndex{8}\)

1. Експрес\(y = 4200 (1.078)^t\) у формі\(y =ae^{kt}\)
2. Експрес\(y = 150 (0.73)^t\) у формі\(y =ae^{kt}\)

Рішення

а. експрес\(y = 4200 (1.078)^t\) у формі\(y =ae^{kt}\)

\ [\ begin {масив} {l}
\ математика {y} =\ математика {a} e^ {\ mathrm {k} t} =\ математика {ab} ^ {\ mathrm {t}}\\ математика {a}
\ лівий (e^ {\ mathrm {k}}}\ праворуч) ^ {\ mathrm {t}} =\ mathrm {t}} thrm {ab} ^ {\ mathrm {t}}\\
e^ {\ mathrm {k}} =\ математика {b}\\
e^ {k} =1.078
\ end {масив}\ nonumber\]

Тому\(\mathrm{k}=\ln 1.078 \approx 0.0751\)

Переписуємо функцію зростання як\(y = 3500e^{0.0751t}\)

б. експрес\(y =150 (0.73)^t\) у формі\(y = ae^{kt}\)

\ [\ почати {масив} {л}
y=a e^ {k t} = а б ^ {t}\\
a\ лівий (e^ {k}\ праворуч) ^ {t} = a b^ {t}\\
e^ {k} =b\\
e^ {k} =0.73
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Тому\(\mathrm{k}=\ln 0.73 \approx-0.3147\)

Переписуємо функцію зростання як\(y = 150e^{-0.3147t}\)

ЗАСТОСУВАННЯ ЛОГАРИФМІЧНОЇ ФУНКЦІЇ

Припустимо, ми сьогодні інвестуємо 10 000 доларів і хочемо знати, скільки часу знадобиться для накопичення до зазначеної суми, наприклад, 15 000 доларів. Час,\(t\) необхідний для досягнення майбутнього значення,\(y\) є логарифмічною функцією майбутнього значення:\(t = g(y)\)

Приклад\(\PageIndex{9}\)

Припустимо, що Vinh інвестує $10000 в інвестиції, заробляючи 5% на рік. Він хоче знати, скільки часу знадобиться його інвестиції, щоб накопичити до 12000 доларів, і скільки часу знадобиться, щоб накопичити до 15000 доларів.

Рішення

Ми починаємо з написання функції експоненціального зростання, яка моделює вартість цієї інвестиції як функцію часу, оскільки спочатку інвестується $10000.

\[y=10000(1.05)^{t} \nonumber \]

Ми ділимо обидві сторони на 10000, щоб виділити експоненціальний вираз з одного боку.

\[\frac{y}{10000}=1.05^{t} \nonumber \]

Далі ми переписуємо це в логарифмічну форму, щоб висловити час як функцію накопиченого майбутнього значення. Ми будемо використовувати позначення функції і викликати цю функцію\(g(y)\).

\[\mathrm{t}=\mathrm{g}(\mathrm{y})=\log _{1.05}\left(\frac{\mathrm{y}}{10000}\right) \nonumber \]

Скористайтеся зміною базової формули, щоб висловити\(t\) як функцію\(y\) використання натурального логарифма:

\[\mathrm{t}=\mathrm{g}(\mathrm{y})=\frac{\ln \left(\frac{\mathrm{y}}{10000}\right)}{\ln (1.05)} \nonumber \]

Тепер ми можемо використовувати цю функцію, щоб відповісти на запитання Віня.

Щоб знайти кількість років, поки вартість цієї інвестиції не складе 12 000 доларів, підставляємо\(y\) = 12 000 доларів у функцію\(g\) та оцінюємо\(t\):

\[\mathrm{t}=\mathrm{g}(12000)=\frac{\ln \left(\frac{12000}{10000}\right)}{\ln (1.05)}=\frac{\ln (1.2)}{\ln (1.05)}=3.74 \text { years } \nonumber \]

Щоб знайти кількість років, поки вартість цієї інвестиції не складе 15 000 доларів, ми підставляємо\(y\) = 15 000 доларів у функцію\(g\) та оцінюємо\(t\):

\[\mathrm{t}=\mathrm{g}(15000)=\frac{\ln \left(\frac{15000}{10000}\right)}{\ln (1.05)}=\frac{\ln (1.5)}{\ln (1.05)}=8.31 \text { years } \nonumber \]

Перш ніж закінчити цей розділ, досліджуємо графік функції\(\mathrm{t}=\mathrm{g}(\mathrm{y})=\frac{\ln \left(\frac{\mathrm{y}}{10000}\right)}{\ln (1.05)}\). Ми бачимо, що функція має загальну форму логарифмічних функцій, які ми розглянули в розділі 5.5. З точок, побудованих на графіку, ми бачимо, що функція\(g\) є зростаючою функцією, але вона збільшується дуже повільно.

Якщо розглядати тільки функцію\(\mathrm{t}=\mathrm{g}(\mathrm{y})=\frac{\ln \left(\frac{\mathrm{y}}{10000}\right)}{\ln (1.05)}\), то область функції буде\(y > 0\), всі позитивні дійсні числа, а діапазон для\(t\) буде всі дійсні числа.

У контексті цієї інвестиційної проблеми початкова інвестиція на час\(t\) = 0 дорівнює\(y\) = 10 000 доларів США. Негативні значення для часу не мають сенсу. Значення інвестицій, які нижчі за початкову суму в 10 000 доларів, також не мають сенсу для інвестицій, які зростають у вартості.

Тому функція та графік, як це стосується цієї проблеми щодо інвестицій, має
область\(y ≥ 10,000\) та діапазон\(t ≥ 0\).

Графік нижче обмежений доменом та діапазоном, які мають практичний сенс для інвестицій у цю проблему.