5.5: Графіки та властивості логарифмічних функцій

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66963

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

У цьому розділі ви:

вивчити властивості логарифмічних функцій
вивчити графіки логарифмічних функцій
вивчити зв'язок між графами експоненціальних і логарифмічних функцій

Нагадаємо, що експоненціальна функція$f(x) = 2^x$ видає цю таблицю значень.

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3
$f(x)$	1/8	1/4	1/2	1	2	4	8

Оскільки логарифмічна функція є оберненою експоненціальної,$g(x)=\log_{2}(x)$ видає таблицю значень

$x$	1/8	1/4	1/2	1	2	4	8
$g(x)$	-3	-2	-1	0	1	2	3

У цій другій таблиці зверніть увагу, що

У міру збільшення вхідного сигналу вихід збільшується.
Зі збільшенням вхідного сигналу вихід збільшується повільніше.
Оскільки експоненціальна функція виводить лише позитивні значення, логарифм може приймати лише позитивні значення як вхідні дані, тому область функції журналу є$(0, \infty)$.
Оскільки експоненціальна функція може приймати всі дійсні числа як вхідні дані, логарифм може мати будь-яке дійсне число як вихід, тому діапазон - це всі дійсні числа або$(-\infty, \infty)$.

$5.5.png$

Побудувавши графік$g(x) = \log_{2}(x)$ з точок в таблиці, зверніть увагу, що в міру$x$ наближення вхідних значень до нуля, вихід функції зростає дуже великим в негативному напрямку, вказуючи на вертикальну асимптоту при$x = 0$.

У символічному позначенні пишемо

як$x \rightarrow 0^{+}$,$f(x) \rightarrow-\infty$

і як$x \rightarrow \infty, f(x) \rightarrow \infty$

Джерело: Матеріал у цьому розділі підручника походить від Девіда Ліппмана та Мелоні Расмуссен, Книгарня Open Text, Перечислення: Дослідження функцій, «Глава 4: Експоненціальні та логарифмічні функції», ліцензована за ліцензією Creative Commons CC BY-SA 3.0. Матеріал тут базується на матеріалі, що міститься в цьому підручнику, але був змінений Робертою Блумом, як це дозволено цією ліцензією.

Графічно в функції$g(x) = \log_{b}(x)$$b > 1$ ми спостерігаємо такі властивості:

$5.5b.png$

Графік має горизонтальний перехоплення в (1, 0)
Лінія x = 0 (вісь y) є вертикальною асимптотою; як$x \rightarrow 0^{+}, y \rightarrow-\infty$
Графік збільшується, якщо$b > 1$
Домен функції$x > 0$, або (0,$\infty$)
Діапазон функції - це всі дійсні числа, або$(-\infty, \infty)$

Однак якщо база$b$ менше 1, 0$b$ < 1, тоді графік відображається, як показано нижче.
Це випливає з властивості log взаємних підстав:$\log _{1 / b} C=-\log _{b}(C)$

$5.5c.png$

Графік має горизонтальний перехоплення в (1, 0)
Лінія x = 0 (вісь y) є вертикальною асимптотою; як$x \rightarrow 0^{+}, y \rightarrow \infty$
Графік зменшується, якщо 0 <$b$ < 1
Домен функції —$x$ > 0, або (0,$\infty$)
Діапазон функції - це всі дійсні числа, або$(-\infty, \infty)$

При графіку логарифмічної функції може бути корисно пам'ятати, що графік буде проходити через точки (1, 0) і ($b$, 1).

Нарешті, порівняємо графіки$y = b^x$ і$y = \log_{b}(x)$, показані нижче на однакових осях.

Оскільки функції є оберненими функціями один одного, для кожної конкретної впорядкованої пари
($h$,$k$) на графіку$y = b^x$, ми знаходимо точку ($k$,$h$) зі зворотними координатами на графіку$y = \log_{b}(x)$.

Іншими словами, якщо точка з$x = h$ і$y = k$ знаходиться на графіку$y = b^x$, то точка з$x = k$ і$y = h$ лежить на графіку$y = \log_{b} (x)$

Домен$y = b^x$ - це діапазон$y = \log_{b} (x)$

Діапазон$y = b^x$ - це домен$y = \log_{b} (x)$

З цієї причини графіки відображаються як відображення або дзеркальне зображення один одного по діагональній лінії$y=x$. Це властивість графіків обернених функцій, які студенти повинні згадати з вивчення обернених функцій у своєму класі алгебри передумови.

$5.5d.png$

	$\bf{y = b^x}$, з$\bf{b>1}$	$\bf{y = \log_{b} (x)}$, з$\bf{b>1}$
Домен	\ (\ bf {y = b^x}\), з$\bf{b">1}$ "valign="top» ширина ="188" клас = «lt-math-38599"> всі дійсні числа	\ (\ bf {y =\ log_ {b} (x)}\), з$\bf{b">1}$ "валігн="верхня» ширина ="189" клас = "lt-математика-38599"> всі позитивні дійсні числа
Діапазон	\ (\ bf {y = b^x}\), з$\bf{b">1}$ "valign="top» ширина ="188" клас = «lt-math-38599"> всі позитивні дійсні числа	\ (\ bf {y =\ log_ {b} (x)}\), з$\bf{b">1}$ "валігн="верхня» ширина ="189" клас = "lt-математика-38599"> всі дійсні числа
Перехоплює	\ (\ bf {y = b^x}\), з$\bf{b">1}$ "valign="top» ширина ="188" клас = «lt-math-38599"> (0,1)	\ (\ bf {y =\ log_ {b} (x)}\), з$\bf{b">1}$ "валігн="верхня» ширина ="189" клас = "lt-математика-38599"> (1,0)
Асимптоти	\ (\ bf {y = b^x}\), з$\bf{b">1}$ "valign="top» ширина ="188" клас = «lt-math-38599"> Горизонтальна асимптота - це лінія y = 0 (вісь x) Як$x \rightarrow-\infty, \: y \rightarrow 0$	\ (\ bf {y =\ log_ {b} (x)}\), з$\bf{b">1}$ "валігн="верхня» ширина ="189" клас = "lt-математика-38599"> Вертикальна асимптота - це лінія x = 0 (вісь y) Як$x \rightarrow 0^{+}, \: y \rightarrow-\infty$

	\(\bf{y = b^x}\), з\(\bf{b>1}\)	\(\bf{y = \log_{b} (x)}\), з\(\bf{b>1}\)
Домен	\ (\ bf {y = b^x}\), з\(\bf{b">1}\) "valign="top» ширина ="188" клас = «lt-math-38599"> всі дійсні числа	\ (\ bf {y =\ log_ {b} (x)}\), з\(\bf{b">1}\) "валігн="верхня» ширина ="189" клас = "lt-математика-38599"> всі позитивні дійсні числа
Діапазон	\ (\ bf {y = b^x}\), з\(\bf{b">1}\) "valign="top» ширина ="188" клас = «lt-math-38599"> всі позитивні дійсні числа	\ (\ bf {y =\ log_ {b} (x)}\), з\(\bf{b">1}\) "валігн="верхня» ширина ="189" клас = "lt-математика-38599"> всі дійсні числа
Перехоплює	\ (\ bf {y = b^x}\), з\(\bf{b">1}\) "valign="top» ширина ="188" клас = «lt-math-38599"> (0,1)	\ (\ bf {y =\ log_ {b} (x)}\), з\(\bf{b">1}\) "валігн="верхня» ширина ="189" клас = "lt-математика-38599"> (1,0)
Асимптоти	\ (\ bf {y = b^x}\), з\(\bf{b">1}\) "valign="top» ширина ="188" клас = «lt-math-38599"> Горизонтальна асимптота - це лінія y = 0 (вісь x) Як\(x \rightarrow-\infty, \: y \rightarrow 0\)	\ (\ bf {y =\ log_ {b} (x)}\), з\(\bf{b">1}\) "валігн="верхня» ширина ="189" клас = "lt-математика-38599"> Вертикальна асимптота - це лінія x = 0 (вісь y) Як\(x \rightarrow 0^{+}, \: y \rightarrow-\infty\)