5.4: Логарифми та логарифмічні функції
- Page ID
- 66949
У цьому розділі ви дізнаєтеся
- визначення логарифмічної функції як оберненої експоненціальної функції
- написати еквівалентні логарифмічні та експоненціальні вирази
- визначення загального колоди і натурального колоди
- властивості колод
- для оцінки колод, використовуючи формулу зміни підстави
Логарифм
Припустимо, що популяція з 50 мух, як очікується, подвоїться щотижня, що призводить до функції форми\(f(x) = 50(2)^x\), де\(x\) представляє кількість тижнів, що минули. Коли це населення досягне 500?
Спроба вирішити цю проблему призводить до
\[500 = 50(2)^x\nonumber \]
Діливши обидві сторони на 50, щоб ізолювати експоненціальні призводить до
\[10 = 2^x . \nonumber \]
Хоча ми створили експоненціальні моделі та використовували їх для прогнозування, ви, можливо, помітили, що рішення експоненціальних рівнянь ще не згадується. Причина проста: жоден з обговорюваних алгебраїчних інструментів не є достатнім для вирішення експоненціальних рівнянь. Розглянемо рівняння 2 х = 10 вище. Ми знаємо, що 2 3 = 8 і 2 4 = 16, тому зрозуміло, що х повинен бути деяким значенням між 3 і 4, оскільки g (x) = 2 x збільшується. Ми могли б використати технологію для створення таблиці значень або графіка, щоб краще оцінити рішення, але ми хотіли б знайти алгебраїчний спосіб розв'язання рівняння.
Нам потрібна обернена операція до зведення в ступінь, щоб вирішити для змінної, якщо змінна знаходиться в експоненті. Як ми дізналися в класі алгебри (передумовою цього скінченного курсу математики), обернена функція для експоненціальної функції є логарифмічною функцією.
Ми також дізналися, що експоненціальна функція має обернену функцію, оскільки кожне вихідне (y) значення відповідає лише одному вхідному (x) значенню. Назва, яку давала ця властивість, була «один-на-один».
Джерело: Матеріал у цьому розділі підручника походить від Девіда Ліппмана та Мелоні Расмуссен, Книгарня Open Text, Перечислення: Дослідження функцій, «Глава 4: Експоненціальні та логарифмічні функції», ліцензована за ліцензією Creative Commons CC BY-SA 3.0. Матеріал тут базується на матеріалі, що міститься в цьому підручнику, але був змінений Робертою Блумом, як це дозволено цією ліцензією.
Функція логарифма (base b), записана log b (x), є оберненою експоненціальною функцією (base b), b x.
\[\mathbf{y=\log_{b}(x)} \quad \textbf{ is equivalent to } \quad \mathbf{b^y=x} \nonumber \]
В цілому твердження\(b^a = c\) рівнозначне твердженню\(\log_b(c) = a\).
Примітка: база\(b\) повинна бути позитивною:\(b>0\)
Обернена властивість логарифмів
Оскільки логарифм і експоненціальний є зворотними, то випливає, що:
\[ \log_{b}(b^x) \quad \text{ and } b^{\log_{b}(x)}=x \nonumber \]
Оскільки log є функцією, він найбільш правильно записаний як log b (c), використовуючи дужки для позначення оцінки функції, так само, як ми б з f (c). Однак, коли вхідні дані є однією змінною або числом, зазвичай можна побачити дужки скинуті та вираз, записаний як log b c.
Запишіть ці експоненціальні рівняння як логарифмічні рівняння:
- 2 3 = 8
- 5 2 = 25
- \(10^{-3} = \frac{1}{1000}\)
Рішення
а. 2 3 = 8 можна записати як логарифмічне рівняння як журнал 2 (8) = 3б. 5 2 = 25 можна записати як логарифмічне рівняння як журнал 5 (25) = 2
c.\(10^{-3} = \frac{1}{1000}\) може бути записано як логарифмічне рівняння як\(\log _{10}\left(\frac{1}{1000}\right)=-3\)
Запишіть ці логарифмічні рівняння як експоненціальні рівняння:
- \(\log _{6}(\sqrt{6})=\frac{1}{2}\)
- \(\log _{3}(9)=2\)
Рішення
- \(\log _{6}(\sqrt{6})=\frac{1}{2}\)може бути записано як експоненціальне рівняння як\(6^{\frac{1}{2}}=\sqrt{6}\)
- \(\log _{3}(9)=2\)може бути записано як експоненціальне рівняння як\(3^{2}=9\)
Встановлюючи зв'язок між експоненціальними та логарифмічними функціями, тепер ми можемо вирішити основні логарифмічні та експоненціальні рівняння шляхом перезапису.
Вирішити журнал 4 (х) = 2 для х.
Рішення
Переписуючи цей вираз як експоненціальне, 4 2 = х, так х = 16
Вирішити 2 х = 10 для х.
Рішення
Переписуючи цей вираз як логарифм, отримаємо x = log 2 (10)
Хоча це визначає рішення, ви можете виявити його дещо незадовільним, оскільки важко порівняти цей вираз з десятковою оцінкою, яку ми зробили раніше. Крім того, давати точний вираз для розв'язку не завжди корисно - часто нам дійсно потрібно десяткове наближення до розв'язку. На щастя, це завдання, в якому калькулятори та комп'ютери досить вмілі. На жаль для нас, більшість калькуляторів та комп'ютерів оцінюватимуть лише логарифми двох основ: бази 10 та бази e. На щастя, це закінчується не проблемою, оскільки ми скоро побачимо, що ми можемо використовувати формулу «зміна бази» для оцінки логарифмів для інших баз.
Загальні та природні логарифми
Загальним журналом є логарифм з основою 10, і, як правило, пишеться\(\log (x)\) і іноді подобається\(\log_{10} (x)\). Якщо основа не вказана в функції журналу, то використовується основа b\(b=10\).
Натуральний журнал - це логарифм з основою\(e\), і, як правило, пишеться\(\ln (x)\).
Зверніть увагу, що для будь-якої іншої бази b, крім 10, база повинна бути вказана в позначеннях\(\log_b (x)\).
Оцініть\(\log(1000)\) за допомогою визначення загального журналу.
Рішення
У таблиці наведені значення загального журналу
| число | число як експоненціальне | журнал (номер) |
|---|---|---|
| 1000 | 10 3 | 3 |
| 100 | 10 2 | 2 |
| 10 | 10 1 | 1 |
| 1 | 10 0 | 0 |
| 0.1 | 10 -1 | -1 |
| 0,01 | 10 -2 | -2 |
| 0,001 | 10 -3 | -3 |
Щоб оцінити журнал (1000), можна сказати
\[ x = \log(1000) \nonumber \]
Потім перепишіть рівняння в експоненціальній формі, використовуючи загальну базу журналу 10
\[10^x = 1000 \nonumber \]
З цього, ми могли б визнати, що 1000 це куб 10, так
\[x=3 \nonumber \]
Крім того, ми можемо використовувати зворотну властивість журналів для запису
\[\log_{10}(10^3) = 3 \nonumber \]
Оцінити\(\log\left(\dfrac{1}{1,000,000}\right)\)
Рішення
Щоб оцінити журнал (1/1 000 000), можна сказати
\[x=\log (1 / 1,000,000)=\log \left(1 / 10^{6}\right)=\log \left(10^{-6}\right) \nonumber \]
Потім перепишіть рівняння в експоненціальному вигляді:\(10^{x}=10^{-6}\)
Тому\(x = -6\)
Крім того, ми можемо використовувати зворотну властивість logs, щоб знайти відповідь:
\[ \log _{10}\left(10^{-6}\right)=-6 \nonumber \]
Оцінити
- \(\ln e^5\)
- \(\ln \sqrt{e}\)
Рішення
а. щоб оцінити\(\ln e^5\), можна сказати
\[ x = \ln e^5 \nonumber \]
Потім перепишіть в експоненціальну форму, використовуючи природну базу журналу e
\[ e^x = e^5 \nonumber \]
Тому\(x = 5\).
Крім того, ми можемо використовувати зворотну властивість журналів для запису\(\ln \left(e^{5}\right)=5\).
б. для оцінки нагадаємо\(\ln \sqrt{e}\), що коріння представлені дробовими показниками
\[\mathrm{x}=\ln \sqrt{e}=\ln (\sqrt{e})=\ln \left(e^{1 / 2}\right) \nonumber \]
Потім перепишіть в експоненціальну форму, використовуючи природну базу журналу e
\[\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{1 / 2} \nonumber \]
Тому\(x = 1/2\)
Крім того, ми можемо використовувати зворотну властивість журналів для запису
\[(\ln \left(\mathrm{e}^{1 / 2}\right)=1 / 2 \nonumber \]
Оцініть наступне за допомогою калькулятора або комп'ютера:
- \(\log 500\)
- \(\ln 500\)
Рішення
a. використовуючи ключ LOG на калькуляторі для оцінки логарифмів в базі 10, ми оцінюємо LOG (500)
Відповідь:\(\log 500 \approx 2.69897\)
b Використовуючи ключ LN на калькуляторі для оцінки натуральних логарифмів, оцінюємо LN (500)
Відповідь:\(\ln 500 \approx 6.214608\)
Деякі властивості логарифмів
Нам часто потрібно оцінювати логарифми, використовуючи базу, відмінну від 10 або e. Щоб знайти спосіб використовувати загальні або природні функції логарифма для оцінки виразів, таких як log 2 (10), нам потрібні деякі додаткові властивості.
\[\log _{b}\left(A^{q}\right)=q \log _{b}(A) \nonumber \]
Властивість exponent дозволяє знайти метод зміни бази логарифмічного виразу.
\[\log _{b}(A)=\frac{\log _{c}(A)}{\log _{c}(b)} \text { for any bases } b, c>0 \nonumber \]
Щоб показати, чому ці властивості правдиві, ми пропонуємо докази.
Доказ властивості експоненти:\(\log _{b}\left(A^{q}\right)=q \log _{b}(A)\)
Оскільки логарифмічна та експоненціальна функції є зворотними,
\[\log _{b}\left(A^{q}\right)=\mathrm{A} \nonumber \]
Так
\[A^{q}=\left(b^{\log _{b} A}\right)^{q} \nonumber \]
Використовуючи експоненціальне правило, яке стверджує\(\left(x^{p}\right)^{q}=x^{p q}\), ми отримуємо
\[A^{q}=\left(b^{\log _{b} A}\right)^{q}=b^{q \log _{b} A} \nonumber \]
Тоді\[\log _{b} A^{q}=\log _{b} b^{q \log _{b} A} \nonumber \]
Знову ж таки, використовуючи зворотну властивість на правій стороні, дає результат.
\[\log _{b} A^{q}=q \log _{b} A \nonumber \]
Доказ зміни базової власності:\(\log _{b}(A)=\frac{\log _{c}(A)}{\log _{c}(b)}\) для будь-яких підстав\(b\),\(c >0\)
Нехай\(\log _{b}(A)=x\).
Переписування як експоненціальна дає\(b^x = A\).
Беручи основу колоди\(c\) з обох сторін це рівняння дає\(\log _{c} b^{x}=\log _{c} A\).
Тепер використовуючи властивість експоненти для журналів на лівій стороні,
\[x \log _{c} b=\log _{c} A \nonumber \]
Діливши, отримаємо,\(x=\frac{\log _{c}(A)}{\log _{c}(b)}\) яка є зміною базової формули.
Оцінка логарифмів
Зі зміною базової формули,\(\log _{b}(A)=\frac{\log _{c}(A)}{\log _{c}(b)}\) для будь-яких\(b\) основ\(c >0\), ми можемо нарешті знайти десяткове наближення до нашого питання з початку розділу.
Вирішити\(2^x = 10\) для\(x\).
Рішення
Перепишіть експоненціальне рівняння 2 x = 10 як логарифмічне рівняння
\[x=\log _{2}(10) \nonumber \]
Використовуючи зміну базової формули, ми можемо переписати базу журналу 2 як логарифм будь-якої іншої бази. Оскільки наші калькулятори можуть оцінювати натуральний журнал, ми можемо використовувати натуральний логарифм, який є основою журналу e:
Використовуючи наші калькулятори, щоб оцінити це,\(\frac{\ln (10)}{\ln (2)}=\mathrm{LN}(10) / \mathrm{LN}(2) \approx 3.3219\)
Нарешті це дозволяє нам відповісти на наше оригінальне запитання з початку цього розділу:
Для популяції 50 мух, яка подвоюється щотижня, знадобиться приблизно 3, 32 тижні, щоб вирости до 500 мух.
Оцініть\(\log_{5}(100)\) за допомогою зміни базової формули.
Рішення
Ми можемо переписати цей вираз, використовуючи будь-яку іншу базу.
Спосіб 1: Ми можемо використовувати натуральний логарифм base e зі зміною базової формули
\[\log _{5}(100)=\frac{\ln (100)}{\ln (5)}=\mathrm{LN}(100) / \mathrm{LN}(5) \approx 2.861 \nonumber \]
Метод 2: Ми можемо використовувати загальну основу логарифму 10 зі зміною базової формули,
\[\log _{5}(100)=\frac{\log (100)}{\log (5)}=\operatorname{LOG}(100) / \mathrm{LOG}(5) \approx 2.861 \nonumber \]
Узагальнено взаємозв'язок між експоненціальною та логарифмічною функціями
Функція логарифма (base b), записана log b (x), є оберненою експоненціальною функцією (base b), b x.
\[\mathbf{y=\log_{b}(x)} \quad \textbf{ is equivalent to } \quad \mathbf{b^y=x} \nonumber \]
В цілому твердження\(b^a = c\) рівнозначне твердженню\(\log_b(c) = a\).
Примітка: База b повинна бути позитивною: b> 0
Обернена властивість логарифмів
Оскільки логарифм і експоненціальний є зворотними, то випливає, що:
\[ \log_{b}(b^x) \quad \text{ and } b^{\log_{b}(x)}=x \nonumber \]
Властивості журналів: Експоненціальна властивість:\(\log _{b}\left(A^{q}\right)=q \log _{b}(A) \nonumber\)
Властивості журналів: Зміна бази:\(\log _{b}(A)=\frac{\log _{c}(A)}{\log _{c}(b)} \text { for any base } b, c>0 \nonumber\)
Зворотне, експоненціальне та зміна базових властивостей вище дозволить нам вирішити рівняння, що виникають у задачах, з якими ми стикаємося в цьому підручнику. Для повноти викладемо ще кілька властивостей логарифмів
Сума Logs Властивість:\(\log _{b}(A)+\log _{b}(C)=\log _{b}(A C)\)
Різниця властивості журналів: \(\log _{b}(A)-\log _{b}(C)=\log _{b}\left(\frac{A}{C}\right)\)
Журнали взаємних:\(\log _{b}\left(\frac{1}{C}\right)=-\log _{b}(C)\)
Взаємні основи:\(\log _{1 / b} C=-\log _{b}(C)\)
Джерело: Матеріал у цьому розділі підручника походить від Девіда Ліппмана та Мелоні Расмуссен, Книгарня Open Text, Перечислення: Дослідження функцій, «Глава 4: Експоненціальні та логарифмічні функції», ліцензована за ліцензією Creative Commons CC BY-SA 3.0. Матеріал тут базується на матеріалі, що міститься в цьому підручнику, але був змінений Робертою Блумом, як це дозволено цією ліцензією.