5.3: Графіки та властивості функцій експоненціального зростання та розпаду

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66977

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

У цьому розділі ви:

Вивчити властивості експоненціальних функцій
Вивчіть графіки експоненціальних функцій

Експоненціальна функція може бути записана у формах

\[f(x) = ab^x = a(1 + r)^x = ae^{kx} \nonumber \]

де

$\mathbf{a}$є початковим значенням, тому що$f(0) = a$. У моделям зростання та розпаду, які ми розглядаємо в цьому кінцевому підручнику з математики,$a > 0$.
$\mathbf{b}$часто називають фактором росту. Ми$b$ обмежуємося бути додатними ($b > 0$), оскільки парні корені від'ємних чисел не визначені. Ми хочемо, щоб функція була визначена для всіх значень$x$, але$b^x$ буде undefined для деяких значень$x$ якщо$b<0$.
$\mathbf{r}$називається швидкістю зростання або розпаду. У формулі для функцій ми використовуємо r в десятковій формі, але в контексті задачі зазвичай вказуємо r у відсотках.
$\mathbf{k}$називається безперервна швидкість росту або безперервна швидкість розпаду.

Властивості експоненціальних функцій зростання

Функція$y=f(x) = ab^x$ являє собою зростання, якщо$b > 1$ і$a > 0$.

Темп зростання$r$ позитивний, коли$b>1$. Тому що$b = 1+ r > 1$, то$r = b−1 > 0$

Функція$y=f(x) = ae^{kx}$ являє собою зростання, якщо$k > 0$ і$a > 0$.

Функція є зростаючою функцією;$y$$x$ збільшується зі збільшенням.

$5.3.png$

Домен: {всі дійсні числа}; всі дійсні числа можуть бути введені в експоненціальну функцію
Діапазон: Якщо$a>0$ діапазон дорівнює {додатним дійсним числом} Графік завжди знаходиться над віссю x.
Горизонтальна асимптота: коли$b > 1$ горизонтальна асимптота є негативною віссю x, оскільки x стає великим негативним. Використання математичних позначень: як x → −∞, потім y → 0.
Вертикальний перехоплення - це точка$(0,a)$ на осі Y. Немає горизонтального перехоплення, оскільки функція не перетинає вісь x.

Властивості експоненціальних функцій розпаду

Функція$y=f(x) = ab^x$ функції являє собою розпад, якщо$0 < b < 1$ і$a > 0$.

Темп зростання$r$ негативний, коли$0 < b < 0$. Тому що$b=1+r < 1$, тоді$r=b-1<0$.

Функція$y=f(x) = ae^{kx}$ функції являє собою розпад, якщо$k < 0$ і$a > 0$.

Функція є спадною функцією;$y$ зменшується зі$x$ збільшенням.

Домен: {всі дійсні числа}; всі дійсні числа можуть бути введені в експоненціальну функцію

Діапазон: Якщо$a>0$ діапазон дорівнює {додатним дійсним числом} Графік завжди знаходиться над віссю x.

Горизонтальна асимптота: коли$b < 1$ горизонтальна асимптота є позитивною віссю x, оскільки x стає великим позитивним. Використання математичних позначень: як x → ∞, потім y → 0.

Вертикальний перехоплення - це точка$(0,a)$ на осі Y. Немає горизонтального перехоплення, оскільки функція не перетинає вісь x.

Графіки експоненціальних функцій зростання та розпаду наведені нижче для порівняння.

$5.3 графіків. PNG$

Експоненціальна функція - це функція один до одного

Зверніть увагу, що на графіку експоненціальної функції кожне значення y на графіку зустрічається лише один раз. Тому кожне значення y в діапазоні відповідає лише одному значенню x. Отже, для будь-якого конкретного значення y, ви можете використовувати графік, щоб побачити, яке значення х є вхідним для отримання цього значення y як вихід. Це властивість називається «один-на-один».

Оскільки для кожного значення вихідного y можна однозначно визначити значення відповідного вхідного x, таким чином кожна експоненціальна функція має обернену функцію. Обернена функція експоненціальної функції - логарифмічна функція, яку ми досліджуємо в наступному розділі.

Приклад$\PageIndex{1}$

$x$років після 2015 року населенню міста Фултон дана функція$y= f(x) = 35000(1.03^x)$. $x$років після 2015 року чисельність населення міста Грінвілл дається функцією$y = g(x) = 80000(0.95^x)$. Порівняйте графіки цих функцій.

Рішення

Наведені нижче графіки були створені за допомогою комп'ютерного графічного програмного забезпечення. Ви також можете графувати ці функції за допомогою графічного калькулятора.

Чисельність населення Фултон	Чисельність населення Грінвілл
\[y=f(x)=35000\left(1.03^{x}\right) \nonumber \]	\[y=g(x)=80000\left(0.95^{x}\right) \nonumber \]
Населення Фултона збільшується. $b = 1.03 > 1$і$r=0.03>0$ Експоненціальне зростання	Населення Грінвілла зменшується. $b = 0.95 < 1$і$r = −0.05 < 0$ Експоненціальний розпад
$Приклад 5.3.1. PNG$	$Приклад 5.3.1 B.PNG$
y-перехоплення: (0, 35000) Початкова чисельність населення в 2015 році становить 35000.	y-перехоплення: (0,80000) Початкова чисельність населення в 2015 році становить 80000.
Горизонтальна асимптота: Від'ємна вісь x є горизонтальною асимптотикою. y → 0 як x → − ∞	Горизонтальна асимптота: позитивна вісь x - це горизонтальна асимптота. y → 0 як x → ∞

Домен: Загалом, область обох функцій$y= f(x) = 35000(1.03^x)$ і$y= g(x) = 80000(0.95^x)$ являє собою множину всіх дійсних чисел.

Діапазон: Діапазон обох функцій - це набір позитивних дійсних чисел. Обидва графіки завжди лежать над віссю x.

Домен та діапазон у контексті цієї проблеми:

Функції представляють чисельність населення як функцію часу після 2015 року. Ми обмежуємо домен у цьому контексті, використовуючи «практичний домен» як набір всіх невід'ємних дійсних чисел:$x≥0$. Тоді ми б розглянули лише ту частину графіка, яка лежить у першому квадранті.

Якщо обмежити домен$x≥0$ для функції зростання$y= f(x) = 35000(1.03^x)$, то діапазон для населення Фултона дорівнює$y ≥ 35,000$
Якщо ми обмежимо домен$x≥0$ для функції розпаду$y= g(x) = 80000(0.95^x)$, то діапазон для населення Грінвілла дорівнює$y ≤ 80,000$.

Чисельність населення Фултон	Чисельність населення Грінвілл
\[y=f(x)=35000\left(1.03^{x}\right) \nonumber \]	\[y=g(x)=80000\left(0.95^{x}\right) \nonumber \]
Населення Фултона збільшується. \(b = 1.03 > 1\)і\(r=0.03>0\) Експоненціальне зростання	Населення Грінвілла зменшується. \(b = 0.95 < 1\)і\(r = −0.05 < 0\) Експоненціальний розпад
$Приклад 5.3.1. PNG$	$Приклад 5.3.1 B.PNG$
y-перехоплення: (0, 35000) Початкова чисельність населення в 2015 році становить 35000.	y-перехоплення: (0,80000) Початкова чисельність населення в 2015 році становить 80000.
Горизонтальна асимптота: Від'ємна вісь x є горизонтальною асимптотикою. y → 0 як x → − ∞	Горизонтальна асимптота: позитивна вісь x - це горизонтальна асимптота. y → 0 як x → ∞