5.2: Моделі експоненціального зростання та розпаду

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66992

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

У цьому розділі ви навчитеся

Розпізнавання та моделювання експоненціального зростання та розпаду
Порівняйте лінійне та експоненціальне зростання
Розрізняють експоненціальні та силові функції

Порівняння експоненціального та лінійного зростання

Розглянемо два сайти соціальних медіа, які розширюють кількість користувачів, які вони мають:

Сайт A має 10 000 користувачів і розширюється, додаючи 1500 нових користувачів щомісяця
Сайт B налічує 10 000 користувачів і розширюється за рахунок збільшення кількості користувачів на 10% щомісяця.

Кількість користувачів для сайту А може бути змодельована як лінійне зростання. Кількість користувачів збільшується на постійну кількість, 1500, щомісяця. Якщо$x$ = кількість місяців, які минули і$y$ є кількістю користувачів, кількість користувачів після$x$ місяців дорівнює$y = 10000+1500x$. Для сайту В база користувачів щомісяця розширюється на постійний відсоток, а не на постійну кількість. Зростання, що відбувається при постійному відсотку кожної одиниці часу, називається експоненціальним зростанням.

Ми можемо подивитися на зростання для кожного сайту, щоб зрозуміти різницю. У таблиці порівнюється кількість користувачів для кожного сайту за 12 місяців. У таблиці наведено розрахунки лише за перші 4 місяці, але використовує той самий процес розрахунку для завершення решти 12 місяців.

Місяць	Користувачі сайту A	Користувачі сайту B
0	$10000$	$10000$
1	$10000 + 1500 = 11500$	\ (\ почати {вирівняний} 10000+&10\%\ текст {з} 10000\\ =& 10000+0,10 (10000)\\ =& 10000 (1.10) =11000 \ кінець {вирівняний}\)
2	$11500 + 1500 = 13000$	\ (\ почати {вирівняний} 11000+&10\%\ текст {з} 11000 &\\ =&11000+0.10 (11000)\ =&11000 (1.10) =12100 \ кінець {вирівняний}\)
3	$13000 + 1500 = 14500$	\ (\ почати {вирівняний} 12100+&10\%\ текст {з} 12100 &\\ =&12100+0.10 (12100)\\ =&12100 (1.10) =13310 \ кінець {вирівняний}\)
4	$14500 + 1500 = 16000$	\ (\ почати {вирівняний} 13310+&10\%\ текст {з} 13310\\ =&13310+0.10 (13310)\\ =&13310 (1.10) =14641 \ кінець {вирівняний}\)
5	$17500$	$16105$
6	$19000$	$17716$
7	$20500$	$19487$
8	$22000$	$21436$
9	$23500$	$23579$
10	$25000$	$25937$
11	$26500$	$28531$
12	$28000$	$31384$

Для сайту B ми можемо повторно висловити розрахунки, щоб допомогти нам спостерігати закономірності та розробити формулу для кількості користувачів через x місяців.

Місяць 1:$y = 10000(1.1) = 11000$
Місяць 2:$y = 11000(1.1) = 10000(1.1)(1.1)=\mathbf{10000(1.1)^2}= 12100$
Місяць 3:$y = 12100(1.1) = 10000(1.1)^2 (1.1)=\mathbf{10000(1.1)^3}= 13310$
Місяць 4:$y = 13310(1.1) = 10000(1.1)^3 (1.1)=\mathbf{10000(1.1)^4}= 14641$

Подивившись на закономірності в розрахунках для місяців 2, 3 і 4, ми можемо узагальнити формулу. Через$x$ місяці кількість користувачів$y$ задається функцією$\mathbf{y = 10000(1.1)^x}$

Використання експоненціальних функцій для моделювання зростання та розпаду

При експоненціальному зростанні значення залежної змінної$y$ збільшується з постійною процентною швидкістю у міру збільшення значення незалежної змінної ($x$або$t$). Приклади функцій експоненціального зростання включають:

кількість жителів міста або нації, яка зростає з постійною відсотковою швидкістю.
сума грошей на банківському рахунку, який заробляє відсотки, якщо гроші внесені в один момент часу і залишені в банку для складання без будь-яких зняття коштів.

При експоненціальному розпаді значення залежної змінної y зменшується з постійною процентною швидкістю у міру збільшення значення незалежної змінної ($x$або$t$). Приклади функцій експоненціального розпаду включають:

вартість автомобіля або обладнання, яке знецінюється з постійною відсотковою ставкою з плином часу
кількість препарату, який все ще залишається в організмі з плином часу після його прийому
кількість радіоактивного матеріалу, що залишається з часом, коли радіоактивна речовина розпадається.

Експоненціальні функції часто моделюють величини як функцію часу; тому ми часто використовуємо букву$t$ як незалежну змінну замість$x$.

У таблиці порівнюються експоненціальні функції зростання та експоненціального розпаду:

Експоненціальне зростання	Експоненціальний розпад
Кількість зростає на постійний відсоток за одиницю часу	Кількість зменшується на постійний відсоток за одиницю часу
\(\mathbf{y=ab^x}\) \(a\)є додатним числом, що представляє початкове значення функції, коли\(x = 0\) \(b\)дійсне число, яке більше 1:\(b > 1\) темп приросту\(r\) - позитивне число,\(r > 0\) де\(b = 1+ r\) (щоб\(r = b-1\))	\(\mathbf{y=ab^x}\) \(a\)є додатним числом, що представляє початкове значення функції, коли\(x = 0\) \(b\)дійсне число, яке знаходиться в межах від 0 до 1:\(0 < b < 1\) швидкість розпаду\(r\) - від'ємне число,\(r < 0\) де\(b = 1+ r\) (щоб\(r = b-1\))

Експоненціальне зростання

Експоненціальний розпад

Кількість зростає на постійний відсоток
за одиницю часу

Кількість зменшується на постійний відсоток за одиницю часу

$\mathbf{y=ab^x}$

$a$є додатним числом, що представляє початкове значення функції, коли$x = 0$
$b$дійсне число, яке більше 1:$b > 1$
темп приросту$r$ - позитивне число,$r > 0$ де$b = 1+ r$ (щоб$r = b-1$)

$\mathbf{y=ab^x}$

$a$є додатним числом, що представляє початкове значення функції, коли$x = 0$
$b$дійсне число, яке знаходиться в межах від 0 до 1:$0 < b < 1$
швидкість розпаду$r$ - від'ємне число,$r < 0$ де$b = 1+ r$ (щоб$r = b-1$)

Взагалі область експоненціальних функцій - це множина всіх дійсних чисел. Діапазон експоненціальної функції зростання або розпаду - це сукупність всіх позитивних дійсних чисел.

У більшості застосувань незалежна змінна,$x$ або$t$, являє собою час. Коли незалежна змінна представляє час, ми можемо обмежити домен таким чином, щоб незалежна змінна могла мати лише невід'ємні значення для того, щоб програма мала сенс. Якщо ми обмежимо домен, то діапазон також обмежений.

Для експоненціального зростання функції$y=ab^x$ з$b>1$ і$a > 0$, якщо ми обмежимо домен так$x ≥ 0$, що, то діапазон є$y ≥ a$.
Для експоненціальної функції розпаду$y=ab^x$ з$0<b<1$ і$a > 0$, якщо ми обмежуємо домен так$x ≥ 0$, що, то діапазон є$0 < y ≤ a$.

Приклад$\PageIndex{1}$

Розглянемо моделі зростання для сайтів соціальних мереж A і B, де$x$ = кількість місяців з моменту запуску сайту і$y$ = кількість користувачів. Кількість користувачів для сайту А відповідає моделі лінійного зростання:

\[y = 10000+1500x \nonumber. \nonumber \]

Кількість користувачів для сайту B відповідає моделі експоненціального зростання:

\[y=10000(1.1^x) \nonumber \]

Для кожного сайту використовуйте функцію розрахунку кількості користувачів в кінці першого року, щоб перевірити значення в таблиці. Потім використовуйте функції, щоб передбачити кількість користувачів через 30 місяців.

Рішення

Так як$x$ вимірюється місяцями, то$x = 12$ в кінці одного року.

Модель лінійного росту:

Коли$x = 12$ місяці, то$y = 10000 + 1500(12) = 28,000$ користувачі
Коли$x = 30$ місяці, то$y = 10000 + 1500(30) = 55,000$ користувачі

Модель експоненціального зростання:

Коли$x = 12$ місяці, то$y = 10000(1.1^{12}) = 31,384$ користувачі
Коли$x = 30$ місяці, то$y = 10000(1.1^{30}) =174,494$ користувачі

Ми бачимо$x$, що коли кількість місяців стає більшою, функція експоненціального зростання зростає швидше, ніж лінійна функція (хоча в прикладі$\PageIndex{1}$ лінійна функція спочатку росла швидше). Це важлива характеристика експоненціального зростання: експоненціальні функції зростання завжди ростуть швидше і більше в довгостроковій перспективі, ніж функції лінійного росту.

Корисно використовувати позначення функції, написання$y = f(t) = ab^t$, щоб вказати значення,$t$ за яким оцінюється функція.

Приклад$\PageIndex{2}$

Ліс має населення 2000 білок, що збільшується зі швидкістю 3% на рік. Нехай$t$ = кількість років і$y = f(t) =$ кількість білок в той час$t$.

Знайдіть експоненціальну функцію зростання, яка моделює кількість білок у лісі наприкінці$t$ років.
Використовуйте функцію, щоб знайти кількість білок через 5 років і після 10 років

Рішення

а Функція експоненціального зростання полягає в тому$y = f(t) = ab^t$, де,$a = 2000$ оскільки початкова популяція становить 2000 білок

Річний темп приросту становить 3% на рік, зазначено в проблемі. Ми будемо виражати це в десятковій формі як$r = 0.03$

Тоді$b = 1+r = 1+0.03 = 1.03$

Відповідь: Функція експоненціального зростання$y = f(t) = 2000(1.03^t)$

б. через 5 років популяція білок -$y = f(5) = 2000(1.03^5) \approx 2319$ білки

Через 10 років популяція білок -$y = f(10) = 2000(1.03^{10}) \approx 2688$ білки

Приклад$\PageIndex{3}$

Велике озеро налічує популяцію 1000 жаб. На жаль, популяція жаби скорочується зі швидкістю 5% на рік. Нехай$t$ = кількість років і$y$$g(t)$ = кількість жаб в озері за часом$t$.

Знайдіть експоненціальну функцію розпаду, яка моделює популяцію жаб.
Обчисліть чисельність популяції жаби через 10 років.

Рішення

а. експоненціальна функція розпаду є$y = g(t) = ab^t$, де,$a = 1000$ оскільки початкова популяція 1000 жаб

Річний показник розпаду становить 5% на рік, зазначено в проблемі. Слова зменшення та розпад вказували на те, що$r$ є негативним. Ми виражаємо це як$r = -0.05$ в десятковій формі.

Потім,$b = 1+ r = 1+ (-0.05) = 0.95$

Відповідь: Функція експоненціального розпаду:$y = g(t) = 1000(0.95^t)$

б. через 10 років популяція$y = g(10) = 1000(0.95^{10}) \approx 599$ жаби - жаби

Приклад$\PageIndex{4}$

Популяція бактерій задається функцією$y = f(t) = 100(2^t)$, де$t$ час вимірюється годинами і$y$ кількість бактерій у популяції.

Що таке початкова популяція?
Що відбувається з населенням в першу годину?
Скільки часу потрібно, щоб популяція досягла 800 бактерій?

Рішення

а Початкова популяція становить 100 бактерій. Ми знаємо це тому, що$a = 100$ і тому, що в той час$t = 0$, тоді$f(0) = 100(2^0) = 100(1)=100$

б. після закінчення 1 години популяція -$y = f(1) = 100(2^1) = 100(2)=200$ бактерії.
Чисельність населення збільшилася вдвічі протягом першої години.

c Нам потрібно знайти час,$t$ в який$f(t) = 800$. Підставляємо 800 як значення$y$:

\ [\ почати {масив} {l}
y=f (t) =100\ ліворуч (2^ {t}\ праворуч)\\
800 = 100\ ліворуч (2^ {t}\ праворуч)
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Розділіть обидві сторони на 100, щоб виділити експоненціальний вираз з одного боку

\[8=1\left(2^{\mathrm{t}}\right) \nonumber \]

8 = 2 ³, тому потрібно$t = 3$ години, щоб популяція досягла 800 бактерій.

Дві важливі зауваження щодо Приклад$\PageIndex{4}$:

У вирішенні$8 = 2^t$ ми «знали», що$t$ це 3. Але ми зазвичай не можемо дізнатися значення змінної, просто дивлячись на рівняння. Пізніше ми будемо використовувати логарифми для вирішення рівнянь, які мають змінну в експоненті.
Для$800 = 100(2^t)$ розв'язання ми розділили обидві сторони на 100, щоб виділити експоненціальний вираз$2^t$. Ми не можемо помножити 100 на 2. Навіть якщо ми запишемо його як$800 =100(2)^t$, що еквівалентно, ми все одно не зможемо помножити 100 на 2. Показник застосовується лише до кількості безпосередньо перед ним, тому показник t застосовується лише до основи 2.

Порівняння лінійних, експоненціальних та силових функцій

Щоб визначити тип функції з її формули, нам потрібно уважно відзначити позицію, яку займає змінна в формулі.

Лінійну функцію можна записати у вигляді$\mathbf{y=a x+b}$

Як ми вивчали в розділі 1, існують інші форми, в яких можна записати лінійні рівняння, але лінійні функції можуть бути перебудовані, щоб мати форму$y = mx + b$.

Експоненціальна функція має вигляд$\mathbf{y=ab^x}$

Змінна$\mathbf{x}$ знаходиться в експоненті. Основою$b$ є додатне число.

Якщо$b>1$, функція представляє експоненціальне зростання.
Якщо$0 < b < 1$, функція представляє експоненціальний розпад

Функція живлення має форму$\mathbf{y=cx^P}$

$\mathbf{x}$Змінна знаходиться в базі. Показник$p$ є ненульовим числом.

Порівнюємо три функції:

лінійна функція$y = f(x) = 2x$
експоненціальна функція$y = g(x) = 2^x$
функція харчування$y = h(x) = x^2$

$\mathbf{x}$	$\mathbf{y = f(x) =2x}$	$\mathbf{y = g(x) =2^x}$	$\mathbf{y= h(x) =x^2}$
\ (\ mathbf {x}\)» nowrap = «no-wrap» значення = «top» клас = «lt-math-38596">0	\ (\ mathbf {y = f (x) = 2x}\)» nowrap = «no wrap» значення = «top» клас = «lt-math-38596"> 0	\ (\ mathbf {y = g (x) =2^x}\)» nowrap = «no wrap» значення = «top» клас = «lt-math-38596"> 1	\ (\ mathbf {y= h (x) =x^2}\)» значення = «верхній» клас = «lt-математика-38596">0
\ (\ mathbf {x}\)» nowrap = «no wrap» значення = «top» клас = «lt-math-38596">1	\ (\ mathbf {y = f (x) = 2x}\)» nowrap = «no wrap» значення = «top» клас = «lt-math-38596"> 2	\ (\ mathbf {y = g (x) =2^x}\)» nowrap = «no wrap» значення = «top» клас = «lt-math-38596"> 2	\ (\ mathbf {y= h (x) =x^2}\)» значення = «верхній» клас = «lt-математика-38596">1
\ (\ mathbf {x}\)» nowrap = «no wrap» значення = «top» клас = «lt-math-38596"> 2	\ (\ mathbf {y = f (x) = 2x}\)» nowrap = «no wrap» значення = «top» клас = «lt-math-38596">4	\ (\ mathbf {y = g (x) =2^x}\)» nowrap = «no wrap» значення = «top» клас = «lt-math-38596">4	\ (\ mathbf {y= h (x) =x^2}\)» значення = «верхній» клас = «lt-математика-38596">4
\ (\ mathbf {x}\)» nowrap = «no wrap» значення = «top» клас = «lt-math-38596">3	\ (\ mathbf {y = f (x) = 2x}\)» nowrap = «no wrap» значення = «top» клас = «lt-math-38596"> 6	\ (\ mathbf {y = g (x) =2^x}\)» nowrap = «no wrap» валіг="top» клас = «lt-math-38596"> 8	\ (\ mathbf {y= h (x) =x^2}\)» значення = «верхній» клас = «lt-математика-38596">9
\ (\ mathbf {x}\)» nowrap = «no wrap» значення = «top» клас = «lt-math-38596">4	\ (\ mathbf {y = f (x) = 2x}\)» nowrap = «no wrap» значення = «top» клас = «lt-math-38596"> 8	\ (\ mathbf {y = g (x) =2^x}\)» nowrap = «no wrap» валіг="top» клас = «lt-math-38596">16	\ (\ mathbf {y= h (x) =x^2}\)» значення = «верхній» клас = «lt-математика-38596">16
\ (\ mathbf {x}\)» nowrap = «no wrap» значення = «top» клас = «lt-math-38596">5	\ (\ mathbf {y = f (x) = 2x}\)» nowrap = «no wrap» значення = «top» клас = «lt-math-38596"> 10	\ (\ mathbf {y = g (x) =2^x}\)» nowrap = «no wrap» валіг="top» клас = «lt-math-38596"> 32	\ (\ mathbf {y= h (x) =x^2}\)» значення = «верхній» клас = «lt-математика-38596">25
\ (\ mathbf {x}\)» nowrap = «no wrap» значення = «top» клас = «lt-math-38596">6	\ (\ mathbf {y = f (x) = 2x}\)» nowrap = «no wrap» значення = «top» клас = «lt-math-38596"> 12	\ (\ mathbf {y = g (x) =2^x}\)» nowrap = «no wrap» валіг="top» клас = «lt-math-38596">64	\ (\ mathbf {y= h (x) =x^2}\)» значення = «верхній» клас = «lt-математика-38596">36
\ (\ mathbf {x}\)» nowrap = «no wrap» значення = «top» клас = «lt-math-38596">10	\ (\ mathbf {y = f (x) = 2x}\)» nowrap = «no wrap» значення = «top» клас = «lt-math-38596"> 20	\ (\ mathbf {y = g (x) =2^x}\)» nowrap = «no wrap» валіг="top» клас = «lt-math-38596"> 1024	\ (\ mathbf {y= h (x) =x^2}\)» значення = «верхній» клас = «lt-математика-38596">100
\ (\ mathbf {x}\)» nowrap="nowrap» valign="top» клас ="lt-math-38596">Тип функції	\ (\ mathbf {y = f (x) = 2x}\)» nowrap = «no-wrap» значення = «top» клас = «LT-Math-38596"> лінійний$y = mx+b$	\ (\ mathbf {y = g (x) =2^x}\)» nowrap = «no-wrap» значення = «top» клас = «lt-Math-38596"> експоненціальна$y = ab^x$	\ (\ mathbf {y= h (x) =x^2}\)» значення = «верхній» клас = «LT-математика-38596">потужність$y = cx^P$
\ (\ mathbf {x}\)» nowrap="nowrap» valign="top» class="lt-Math-38596">Як розпізнати рівняння для цього типу функцій.	\ (\ mathbf {y = f (x) =2x}\)» nowrap="nowrap» valign="top» class="lt-math-38596">всі члени мають перший ступінь;$m$ є нахилом;$b$ є$y$ перехопленням	\ (\ mathbf {y = g (x) =2^x}\)» nowrap="nowrap» valign="top» class="lt-math-38596">база є числом$b>0$; змінна знаходиться в експоненті	\ (\ mathbf {y= h (x) =x^2}\)» valign="top» клас ="lt-math-38596">змінна знаходиться в базі; показник - число$\mathrm{p} \neq 0$
\ (\ mathbf {x}\)» nowrap = «no wrap» значення = «top» клас = «lt-math-38596">	\ (\ mathbf {y = f (x) =2x}\)» nowrap="nowrap» valign="top» class="lt-Math-38596">Для рівних інтервалів зміни$x$,$y$ збільшується на постійну величину	\ (\ mathbf {y = g (x) =2^x}\)» nowrap="nowrap» valign="top» class="lt-Math-38596">Для рівних інтервалів зміни$x$,$y$ збільшується на постійне співвідношення	\ (\ mathbf {y= h (x) =x^2}\)» значення = «верхній» клас = «lt-математика-38596">

Для функцій у попередній таблиці: лінійна функція$y = f(x) = 2x$, експоненціальна функція$y = g(x) = 2^x$ та функція потужності$y = h(x) = x^2$, якщо обмежити область$x ≥ 0$ лише, то всі ці функції є функціями зростання. Коли$x ≥ 0$, значення$y$ збільшується у міру$x$ збільшення значення.

Функція експоненціального зростання зростає швидше, ніж лінійні та силові функції, оскільки$x$ стає більшою. Це завжди вірно для експоненціальних функцій зростання, оскільки$x$ стає досить великим.

Приклад$\PageIndex{5}$

Класифікуйте наведені нижче функції як експоненціальні, лінійні або силові функції.

$y=10x^3$
$y=1000-30x$
$y=1000\left(1.05^x\right)$
$y=500(0.75^x)$
$y=10\sqrt[3]{x}=x^{1/3}$
$y=5x-1$
$y=6/x^2=6x^{-2}$

Рішення:

Експоненціальні функції

c$y=1000\left(1.05^x\right)$ Змінна знаходиться в експоненті; базою є число$b = 1.05$

d.$y=500(0.75^x)$\) Змінна знаходиться в експоненті; базою є число$b = 0.75$

Лінійними функціями є

б.$y=1000-30x$

ф.$y=5x-1$

Функції харчування є

а$y=10x^3$ Змінна є базою; експонента - фіксоване число,$p=3$.

e$y=10\sqrt[3]{x}=x^{1/3}$ Змінна є базою; експонентою є число,$p=1/3$.

g$y=6/x^2=6x^{-2}$ Змінна є базою; експонентою є число,$p = -2$.

НАТУРАЛЬНА ОСНОВА: e

Число e часто використовується як основа експоненціальної функції. е називають природною базою.

е приблизно 2.71828

e - ірраціональне число з нескінченною кількістю десяткових знаків; десятковий візерунок ніколи не повторюється.

Розділ 6.2 містить приклад, який показує, як розвивається значення e і чому це число математично важливо. Студенти, які вивчають скінченну математику, вже повинні бути знайомі з числом е зі своїх обов'язкових класів алгебри.

Коли e є основою в експоненціальній функції зростання або розпаду, це називається безперервним ростом або безперервним розпадом. Ми будемо використовувати е в розділі 6 у фінансових розрахунках, коли ми вивчаємо інтерес, який постійно поєднується.

Будь-яка експоненціальна функція може бути записана у вигляді$\mathbf{y = ae^{kx}}$

$\mathbf{k}$називається безперервним зростанням або швидкістю розпаду.

Якщо$k > 0$, функція представляє експоненціальне зростання
Якщо$k< 0$, функція представляє експоненціальний розпад

$\mathbf{a}$початкове значення

Ми можемо переписати функцію в тому вигляді$\mathbf{y = ab^x}$, де$\mathbf{b=e^k}$

Загалом, якщо ми знаємо одну форму рівняння, ми можемо знайти інші форми. Наразі ми ще не охопили навички, які потрібно знайти,$k$ коли знаємо$b$. Після того, як ми дізнаємося про логарифми пізніше в цьому розділі, ми знайдемо$k$ використання натурального журналу:$k = \ln b$.

Наведена нижче таблиця узагальнює форми експоненціальних функцій зростання і розпаду.

	у = аб ^х	у = а (1+р) ^х	у = а е ^кх, к ≠ 0
Початкове значення	a>0	a>0	a>0
Відносини між b, r, k	б > 0	b=1+ р	б = е ^к і к = лн б
Зростання	б > 1	р > 0	кг > 0
Розпад	0 < b < 1	r < 0	k < 0

Приклад$\PageIndex{6}$

Вартість будинків у місті зростає з постійними темпами зростання 6% на рік. Для будинку, який в даний час коштує 400 000 доларів:

Запишіть експоненціальну функцію зростання у формі$y=ae^{kx}$.
Якою буде цінність цього будинку через 4 роки?
Перепишіть експоненціальну функцію зростання у формі$y=ab^x$.
Знайти і інтерпретувати$r$.

Рішення

а. початкова вартість будинку$a$ = $400000

Проблема стверджує, що безперервний темп зростання становить 6% на рік, отже$k$ = 0,06

Функція зростання - це:$y=400000e^{0.06x}$

б. через 4 роки вартість будинку становить$y=400000e^{0.06 (4)}$ = 508 500 доларів.

с. щоб переписати$y=400000e^{0.06x}$ в бланк$y = ab^x$, використовуємо той факт, що$b=e^k$.

\ [\ почати {масив} {l}
\ mathrm {b} =e^ {0.06}\
\ mathrm {b} =1.06183657\ приблизно 1.0618\
\ mathrm {y} =400000 (1.0618) ^ {\ mathrm {x}}
\ кінець {масив}\ nonnumber\]

d. щоб знайти$r$, використовуємо той факт, що$b=1+ r$

\ [\ begin {масив} {l}
\ mathrm {b} =1.0618\\
1+\ mathrm {r} =1.0618
\\ mathrm {r} =0.0618
\ кінець {масив}\ номер\]

Вартість будинку зростає річними темпами 6,18%.

Приклад$\PageIndex{7}$

Припустимо, що вартість певної моделі нового автомобіля зменшується при безперервному темпі загасання 8% в рік. Для автомобіля, який коштує 20 000 доларів, коли новий:

Запишіть експоненціальну функцію розпаду у вигляді$y=ae^{kx}$.
Якою буде вартість цього автомобіля через 5 років?
Перепишіть експоненціальну функцію розпаду у вигляді$y=ab^x$.
Знайти і інтерпретувати$r$.

Рішення

а. початкова вартість автомобіля$a$ = $20000

Проблема стверджує, що швидкість безперервного розпаду становить 8% на рік, отже$k$ = -0,08

Функція зростання - це:$y=20000e^{-0.08x}$

б. через 5 років вартість автомобіля дорівнює$y=20000 e^{-0.08 (5)}$ = 13 406,40$.

с. щоб переписати$y=20000e^{-0.08x}$ в бланк$y=ab^x$, використовуємо той факт, що$b=e^k$.

\ [\ почати {масив} {l}
\ математика {b} =е^ {-0,08}\
\ математика {b} =0.9231163464\ приблизно 0.9231\
\ mathrm {y} =20000 (0.9231) ^ {\ mathrm {x}}
\ кінець {масив}\ nonnumber\]

d. щоб знайти$r$, використовуємо той факт, що$b=1+ r$

\ [\ begin {масив} {l}
\ математика {b} =0.9231\
\ mathrm {l} +\ mathrm {r} =0.9231\
\ mathrm {r} =0.9231-1=-0.0769
\ кінець {масив}\ nonnumber\]

Вартість автомобіля знижується в річному темпі 7,69%.

Місяць	Користувачі сайту A	Користувачі сайту B
0	\(10000\)	\(10000\)
1	\(10000 + 1500 = 11500\)	\ (\ почати {вирівняний} 10000+&10\%\ текст {з} 10000\\ =& 10000+0,10 (10000)\\ =& 10000 (1.10) =11000 \ кінець {вирівняний}\)
2	\(11500 + 1500 = 13000\)	\ (\ почати {вирівняний} 11000+&10\%\ текст {з} 11000 &\\ =&11000+0.10 (11000)\ =&11000 (1.10) =12100 \ кінець {вирівняний}\)
3	\(13000 + 1500 = 14500\)	\ (\ почати {вирівняний} 12100+&10\%\ текст {з} 12100 &\\ =&12100+0.10 (12100)\\ =&12100 (1.10) =13310 \ кінець {вирівняний}\)
4	\(14500 + 1500 = 16000\)	\ (\ почати {вирівняний} 13310+&10\%\ текст {з} 13310\\ =&13310+0.10 (13310)\\ =&13310 (1.10) =14641 \ кінець {вирівняний}\)
5	\(17500\)	\(16105\)
6	\(19000\)	\(17716\)
7	\(20500\)	\(19487\)
8	\(22000\)	\(21436\)
9	\(23500\)	\(23579\)
10	\(25000\)	\(25937\)
11	\(26500\)	\(28531\)
12	\(28000\)	\(31384\)

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Приклад\(\PageIndex{7}\)