3.1.1: Додатки для максимізації (вправи)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 67232

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Для наступних задач максимізації виберіть змінні, запишіть цільову функцію та обмеження, графікуйте обмеження, затіньте область техніко-економічного обґрунтування, позначте всі критичні точки та визначте рішення, яке оптимізує цільову функцію.

1) Фермер має 100 гектарів землі, на якій планує вирощувати пшеницю та кукурудзу. Кожен акр пшениці вимагає 4 годин праці та 20 доларів капіталу, а кожен акр кукурудзи вимагає 16 годин праці та 40 доларів капіталу. Фермер має щонайбільше 800 годин праці та 2400 доларів капіталу. Якщо прибуток від акра пшениці становить 80 доларів, а з акра кукурудзи - 100 доларів, скільки акрів кожної культури вона повинна посадити, щоб максимізувати свій прибуток?

2) Містер Тран має $24,000 для інвестування, деякі в облігації, а решта - в акції. Він вирішив, що грошей, вкладених в облігації, повинно бути як мінімум в два рази більше, ніж в акціях. Але гроші, вкладені в облігації, не повинні бути більше 18 000 доларів. Якщо облігації заробляють 6%, а акції заробляють 8%, скільки грошей він повинен вкладати в кожну, щоб максимізувати прибуток?

3) Фабрика виготовляє стільці та столи, кожен з яких вимагає використання трьох операцій: різання, складання та оздоблення. Першу операцію можна використовувати не більше 40 годин; другу максимум 42 години; а третю максимум 25 годин. Стілець вимагає 1 години різання, 2 години складання та 1 годину обробки; стіл потребує 2 годин різання, 1 година складання та 1 година обробки. Якщо прибуток становить 20 доларів за одиницю для стільця та 30 доларів за стіл, скільки одиниць кожного слід виготовити, щоб максимізувати дохід?

4) Компанія Silly Nut виробляє дві суміші горіхів: суміш А та суміш B. Фунт суміші А містить 12 унцій арахісу, 3 унції мигдалю та 1 унцію кешью і продає за 4 долари. Фунт суміші B містить 12 унцій арахісу, 2 унції мигдалю та 2 унції кешью і продається за 5 доларів. Компанія має 1080 фунтів арахісу, 240 фунтів мигдалю, 160 фунтів кешью. Скільки фунтів кожної з сумішей A і B повинна зробити компанія, щоб максимізувати прибуток?
(Підказка: Використовуйте послідовні одиниці. Працюйте всю проблему в фунтах шляхом перетворення всіх значень, заданих в унціях в частки фунтів).

5)\ [\ begin {масив} {lc}
\ текст {Максимізувати:} &Z = 4 x+10 y
\\ текст {За умови:} & x+y\ leq 5\\
& 2 x+y\ leq 8\\
& x+2 y\ leq 8\\
& x\ geq 0, y\ geq 0
\ end {масив}\ nonumber\]

6) Ця задача лінійного програмування максимізації не в «стандартній» формі. Він має змішані обмеження, деякі з яких включають ≤ нерівності, а деякі включають ≥ нерівності. Однак при ретельному графіку ми можемо вирішити це, використовуючи методи, які ми дізналися в цьому розділі.

\ [\ begin {масив} {ll}
\ текст {Максимізувати:} &Z = 5 x+7 y
\\\ текст {За умови:} & x+y\ leq 30\\
& 2 x+y\ leq 50\\
& 4 x+3 y\ geq 60\\
& 2 x\ geq y\\
x\ geq 0, y\ geq 0
\ end {масив}\ номер\]