2.3: Системи лінійних рівнянь — особливі випадки

Last updated
Save as PDF

Page ID: 67171

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

У цьому розділі ви навчитеся:

Визначте лінійні системи, які не мають рішення.
Вирішіть лінійні системи, які мають нескінченно багато рішень.

Якщо розглядати перетин двох ліній в площині, можуть статися три речі.

Лінії перетинаються рівно в одній точці. Це називається незалежною системою.
Лінії паралельні, тому вони не перетинаються. Це називається непослідовною системою.
Лінії збігаються; вони перетинаються в нескінченній кількості точок. Це залежна система.

На малюнках нижче показані всі три випадки.

$Приклад 2.3.PNG$

Кожна система рівнянь має або одне рішення, ні рішення, або нескінченно багато розв'язків.

В останньому розділі ми використовували метод Гаусса-Джордана для вирішення систем, які мали рівно одне рішення. У цьому розділі ми визначимо системи, які не мають рішення, і вирішимо системи, які мають нескінченно багато рішень.

Приклад$\PageIndex{1}$

Вирішити таку систему рівнянь:

\ begin {вирівняний}
x+y&=7\
x+y&=9
\ кінець {вирівняний}

Рішення

Давайте використаємо метод Гауса-Джордана для вирішення цієї системи. Розширена матриця

\ [\ лівий [\ begin {масив} {llll}
1 & 1 & | & 7\\
1 & 1 & | & 9
\ кінець {масив}\ праворуч]\ quad\ left [\ begin {масив} {l}
x+y = 7\\
x+y = 9
\ кінець {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

Якщо помножити перший ряд на - 1 і додати до другого ряду, отримаємо

\ [\ left [\ begin {масив} {llll}
1 & 1 & | & 7\\
0 & 0 & | & 2
\ кінець {масив}\ праворуч]\ quad\ left [\ begin {масив} {l}
x+y = 7\\
0 x+0 y=2
\ end {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

Оскільки 0 не може дорівнювати 2, останнє рівняння не може бути істинним для будь-якого вибору x та y.

Як варіант, зрозуміло, що дві лінії паралельні; отже, вони не перетинаються.

У наступних прикладах ми збираємося почати використовувати калькулятор для зменшення рядків розширеної матриці, щоб зосередитися на розумінні відповіді, а не зосереджуватися на процесі проведення операцій з рядками.

Приклад$\PageIndex{2}$

Вирішити наступну систему рівнянь.

\ [\ begin {масив} {l}
2 x+3 y-4 z=7\
3 x+4 y-2 z=9\
5 x+7 y-6 z=20
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Рішення

Вводимо в калькулятор наступну розширену матрицю.

\ [\ left [\ begin {масив} {ccccc}
2 & 3 & -4 & | & 7\\
3 & 4 & -2 & | & 9\\
5 & 7 & -6 & | & 20
\ end {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

Тепер натиснувши клавішу, щоб отримати зменшену форму ряд-ешелон, отримуємо

\ [\ left [\ begin {масив} {ccccc}
1 & 0 & 10 & | & 0\\
0 & 1 & -8 & | & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & | & 1
\ кінець {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

В останньому рядку зазначено, що$0x + 0y + 0z = 1$. Але ліва частина рівняння
дорівнює 0. Таким чином, цей останній рядок держав 0 = 1, що є протиріччям, помилкове твердження.

Цей нижній ряд вказує на те, що система непослідовна; отже, рішення не існує.

Приклад$\PageIndex{3}$

Вирішити наступну систему рівнянь.

\ begin {вирівняний}
x+y&=7\
x+y&=7
\ кінець {вирівняний}

Рішення

Завдання чітко просить перетин двох однакових ліній; тобто лінії збігаються. Це означає, що лінії перетинаються в нескінченній кількості точок.

Кілька точок перетину перераховані наступним чином: (3, 4), (5, 2), (-1, 8), (-6, 13) тощо Однак, коли система має нескінченну кількість розв'язків, рішення часто виражається у параметричній формі. Це може бути досягнуто шляхом присвоєння довільної константи, t, одній зі змінних, а потім вирішенням для інших змінних. Тому, якщо ми пустимо$y = t$, то$x = 7 - t$. Або ми можемо сказати, що всі впорядковані пари виду$(7 - t, t)$ задовольняють заданій системі рівнянь.

Як варіант, вирішуючи метод Гаусса-Йордана, ми отримаємо наведену нижче форму скороченого ряду-ешелону.

\ [\ left [\ begin {масив} {llll}
1 & 1 & | & 7\\
0 & 0 & | & 0
\ end {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

Рядок всіх нулів, можна просто ігнорувати. Цей рядок говорить$0x + 0y = 0$; він не дає додаткової інформації про значення x і y, які вирішують цю систему.

Це залишає нам лише одне рівняння, але дві змінні. І всякий раз, коли є більше змінних, ніж рівняння, рішення повинно бути виражено у вигляді параметричного рішення через довільної константи, як зазначено вище.

Параметричне рішення:$\mathbf{x = 7 - t, y = t}$.

Приклад$\PageIndex{4}$

Вирішити наступну систему рівнянь.

\ begin {вирівняний}
x+y+z & = 2\\
2 x+y-z & = 3\\
3 x+2 y&=5
\ кінець {вирівняний}

Рішення

Розширена матриця і зменшена форма ряд-ешелон наведені нижче.

\ [\ left [\ begin {масив} {ccccc}
1 & 1 & | & 2\\
2 & 1 & 1 & -1 & | & 3\\
3 & 2 & 0 & | & 5
\ end {масив}\ праворуч]\ текст {доповнена матриця для цієї системи}\ nonumber\]

\ [\ left [\ begin {масив} {ccccc}
1 & 0 & -2 & | & 1\\
0 & 3 & | & 1\\
0 & 0 & 0 & | & 0
\ end {масив}\ праворуч]\ текст {Зменшена форма ешелону рядків}\ nonumber\]

Оскільки останнє рівняння випало, нам залишилося два рівняння і три змінні. Це означає, що система має нескінченну кількість рішень. Ми виражаємо ці розв'язки в параметричній формі, даючи останній змінній$z$ рівній параметру$t$.

Отже$x - 2z = 1$, перше рівняння читає$x = 1 + 2z$.

Друге рівняння читає$y + 3z = 1$, отже,$y = 1 - 3z$.

А тепер, якщо ми$z = t$ дозволимо, параметричне рішення виражається наступним чином:

Параметричне рішення:$\mathbf{x=1+2t, \quad y=1-3t, \quad z=t}$.

Читач повинен відзначити, що конкретні рішення, або конкретні рішення, системі можна отримати шляхом присвоєння значень параметру t. наприклад:

якщо ми дозволимо$t = 2$, у нас є рішення$x = 5, y = -5, z = 2$:$(5, -5, 2)$
якщо ми дозволимо$t = 0$, у нас є рішення$x = 1, y = 1, z = 0$:$(1, 1, 0)$.

Приклад$\PageIndex{5}$

Вирішити наступну систему рівнянь.

\[\begin{align*} x + 2y - 3z &= 5 \\[4pt] 2x + 4y - 6z &= 10 \\[4pt] 3x + 6y - 9z &= 15 \end{align*} \nonumber \]

Рішення

Зменшена рядно-ешелонська форма наведена нижче.

\ [\ left [\ begin {масив} {ccccc}
1 & 2 & -3 & | & 5\\
0 & 0 & 0 & | & 0\ 0 &
0 & 0 & 0 & 0 & | & 0
\ end {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

Цього разу випадають останні два рівняння. Нам залишилося одне рівняння і три змінні. Знову ж таки, існує нескінченна кількість рішень. Але на цей раз відповідь повинен бути виражений через дві довільні константи.
Якщо ми дозволимо$z = t$ і нехай$y = s$, перше рівняння$x + 2y -3z = 5$ призводить до$x = 5 - 2s + 3t$.

Переписуємо параметричне рішення:$\mathbf{x = 5 - 2s + 3t, \quad y = s, \quad z = t}$.

Підсумовуємо нашу дискусію в наступній таблиці.

Якщо будь-який рядок зменшеної рядково-ешелонної форми матриці дає помилкове твердження типу 0 = 1, система непослідовна і не має розв'язку.
Якщо зменшена форма ешелону рядків має менше рівнянь, ніж змінних і система послідовна, то система має нескінченну кількість розв'язків. Пам'ятайте, що рядки, які містять всі нулі, скидаються.
1. Якщо система має нескінченну кількість розв'язків, рішення повинно бути виражено в параметричній формі.
2. Кількість довільних параметрів дорівнює кількості змінних мінус кількість рівнянь.

Цілі навчання

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Приклад\(\PageIndex{5}\)