2.2: Системи лінійних рівнянь та метод Гауса-Йордана
- Page ID
- 67193
У цьому розділі ви навчитеся
- Представляють систему лінійних рівнянь у вигляді доповненої матриці
- Вирішити систему за допомогою елементарних рядкових операцій.
У цьому розділі ми навчимося розв'язувати системи лінійних рівнянь за допомогою процесу, який називається методом Гауса-Йордана. Процес починається спочатку з вираження системи як матриці, а потім зведення її до еквівалентної системи простими рядковими операціями. Процес продовжують до тих пір, поки рішення не стане очевидним з матриці. Матриця, яка представляє систему, називається доповненою матрицею, а арифметична маніпуляція, яка використовується для переходу від системи до зменшеної еквівалентної системи, називається операцією рядків.
Запишіть наступну систему як доповнену матрицю.
\ [\ begin {масив} {l}
2 x+3 y-4 z=5\
3 x+4 y-5 z=-6\
4 x+5 y-6 z=7
\ кінець {масив}\ nonumber\]
Рішення
Висловлюємо вищевказану інформацію в матричному вигляді. Оскільки система повністю визначається своєю матрицею коефіцієнтів і матрицею постійних членів, доповнена матриця буде включати тільки матрицю коефіцієнтів і постійну матрицю. Отже, доповнена матриця у нас виходить наступним чином:
\ [\ left [\ begin {масив} {ccc|c}
2 & 3 & -4 & 5\\
3 & -5 & -5\ -6\
4 & -6 & -6 & -6 & 7
\ end {масив}\ nonumber\ праворуч]\ nonumber\]
В останньому розділі ми висловили систему рівнянь як\(AX = B\), де\(A\) представлена матриця коефіцієнтів, так і\(B\) матриця постійних членів. Як доповненої матриці записуємо матрицю як\(\left[\begin{array}{l|l}A & B \end{array}\right]\). Зрозуміло, що вся інформація зберігається в такому матричному вигляді, і тільки букви\(x\),\(y\) і\(z\) відсутні. Студент може вибрати, щоб написати\(x\),\(y\) і\(z\) поверх перших трьох стовпців, щоб допомогти полегшити перехід.
Для наступної розширеної матриці напишіть систему рівнянь, які вона представляє.
\ [\ left [\ begin {масив} {ccccc}
1 & 3 & -5 & | &
2\\ 2 & 0 & -3 & | -5\\
3 & 2 & -3 & | & -1
\ end {масив}\ праворуч]\ nonumber\]
Рішення
Система легко виходить, як показано нижче.
\ [\ begin {масив} {l}
x+3 y-5
z=2\ 2 x-3 z=-5\
3 x+2 y-3 z=-1
\ кінець {масив}\ nonumber\]
Після того, як система виражається як доповнена матриця, метод Гауса-Джордана зводить систему в ряд еквівалентних систем за допомогою операцій рядків. Це скорочення рядів триває до тих пір, поки система не буде виражена в тому, що називається скороченою формою ешелону ряду. Зведена строкова форма ешелону матриці коефіцієнтів має 1 по головній діагоналі та нулі в іншому місці. Розчин легко виходить з цієї форми.
Метод мало чим відрізняється від алгебраїчних операцій, які ми використовували в методі елімінації в першому розділі. Основна відмінність полягає в тому, що він має алгоритмічний характер, а, отже, легко може бути запрограмований на комп'ютері.
Далі ми вирішимо систему з двох рівнянь з двома невідомими, використовуючи метод елімінації, а потім покажемо, що метод аналогічний методу Гауса-Джордана.
Вирішити наступну систему методом ліквідації.
\ [\ begin {масив} {l}
x+3 y=7\
3 x+4 y=11
\ end {масив}\ nonumber\]
Рішення
Перше рівняння множимо на — 3, і додаємо його до другого рівняння.
\ почати {вирівняний}
-3 x-9 y &=-21\\
3 x+4 y &=11\\ hline
-5y &=-10
\ кінець {вирівняний}
Цим ми перетворили нашу оригінальну систему в еквівалентну систему:
\ begin {вирівняний}
x+3 y &=7\\
-5 y &=-10
\ кінець {вирівняний}
Друге рівняння ділимо на — 5, і отримуємо наступну еквівалентну систему.
\ begin {вирівняний}
x+3 y &= 7\\
y &=2
\ кінець {вирівняний}
Тепер множимо друге рівняння на — 3 і додаємо до першого, отримуємо
\ [\ begin {масив} {l}
x = 1\\
y=2
\ end {масив}\ nonumber\]
Вирішіть наступну систему з Прикладу 3 методом Гауса-Джордана і покажіть подібність в обох методах, написавши рівняння поруч з матрицями.
\ begin {масив} {л}
x+3 y=7\
3 x+4 y=11
\ end {масив}
Рішення
Доповнена матриця для системи виглядає наступним чином.
\ [\ лівий [\ початок {масив} {cccc}
1 & 3 & | & 7\\
3 & 4 & | & 11
\ кінець {масив}\ праворуч]\ квадратний\ лівий [\ початок {масив} {c}
x+3 y=7\
3 x+4 y=11
\ кінець {масив}\ праворуч]\ nonumber\]
Перший ряд множимо на — 3, і додаємо до другого ряду.
\ [\ left [\ begin {масив} {cccc}
1 & 3 & | & 7\\
0 & -5 & | & -10
\ кінець {масив}\ праворуч]\ quad\ left [\ begin {масив} {c}
x+3 y&=7\\
-5 y&=-10
\ end {масив}\ праворуч]\ nonumber\]
Другий ряд ділимо на — 5, отримуємо,
\ [\ лівий [\ begin {масив} {llll}
1 & 3 & | & 7\\
0 & 1 & | & 2
\ кінець {масив}\ праворуч]\ quad\ left [\ begin {масив} {rl}
x+3 y & =7\\
y & =2
\ end {масив}\ праворуч]\ nonumber\]
Нарешті, множимо другий ряд на — 3 і додаємо до першого ряду, і отримуємо,
\ [\ left [\ begin {масив} {llll}
1 & 0 & | & 1\\
0 & 1 & | & 2
\ кінець {масив}\ праворуч]\ quad\ left [\ begin {масив} {l}
x = 1\\
y=2
\ end {масив}\ праворуч]\ nonumber\]
Тепер ми перерахуємо три операції рядків, які використовує метод Гауса-Джордана.
- Будь-які два рядки в доповненій матриці можуть бути змінені місцями.
- Будь-який рядок можна помножити на ненульову константу.
- До іншого рядка може бути додано постійну кратну рядку.
Можна легко помітити, що ці трирядкові операції можуть змусити систему виглядати інакше, але вони не змінюють рішення системи.
Операція першого рядка стверджує, що якщо будь-які два ряди системи поміняються місцями, нова отримана система має те ж рішення, що і стара. Давайте розглянемо приклад в двох рівняннях з двома невідомими. Розглянемо систему
\ begin {вирівняний}
x+3 y&=7\
3 x+4 y&=11
\ кінець {вирівняний}
Поміняємо між собою ряди, і отримуємо,
\ begin {вирівняний}
3 x+4 y&=11\
x+3 y&=7
\ кінець {вирівняний}
Зрозуміло, що ця система має те ж рішення, що і вище.
Друга операція стверджує, що якщо рядок помножити на будь-яку ненульову константу, отримана нова система має таке ж рішення, що і стара. Розглянемо вищевказану систему ще раз,
\ begin {вирівняний}
x+3 y&=7\
3 x+4 y&=11
\ кінець {вирівняний}
Перший ряд множимо на —3, отримуємо,
\ begin {вирівняний}
-3 x-9 y &=-21\\
3 x+4 y &=11
\ кінець {вирівняний}
Знову ж таки, очевидно, що ця нова система має таке ж рішення, як і оригінал.
Операція третього рядка стверджує, що будь-яка константа, кратна одному рядку, доданому до іншого, зберігає рішення. Розглянемо нашу систему,
\ begin {вирівняний}
x+3 y&=7\
3 x+4 y&=11
\ кінець {вирівняний}
Якщо помножити перший ряд на —3, і додати його до другого ряду, то отримаємо,
\ begin {вирівняний}
x+3 y&=7\\
-5 y&=-10
\ кінець {вирівняний}
І ще раз витримується той же розчин.
Тепер, коли ми розуміємо, як працюють операції з трьома рядками, настав час ввести метод Гауса-Йордана для вирішення систем лінійних рівнянь. Як вже говорилося раніше, метод Гауса-Джордана починається з доповненої матриці, а за допомогою ряду рядкових операцій закінчується матрицею, яка знаходиться в скороченому вигляді ешелону рядків.
Матриця знаходиться у формі зменшеного рядка ешелону, якщо перший ненульовий запис у кожному рядку дорівнює 1, а стовпці, що містять ці 1, мають усі інші записи як нулі. Форма ешелону зменшеного рядка також вимагає, щоб провідний запис у кожному рядку знаходився праворуч від провідного запису в рядку над ним, а рядки, що містять всі нулі, були переміщені вниз. Викладемо метод Гауса-Джордана наступним чином.
- Напишіть доповнену матрицю.
- Обмінюйте рядки при необхідності для отримання ненульового числа в першому рядку, першому стовпці.
- Використовуйте операцію рядка, щоб отримати 1 як запис у першому рядку та першому стовпці.
- Використовуйте операції рядків, щоб зробити всі інші записи нулями в першому стовпці.
- Обмінюйте рядки при необхідності для отримання ненульового числа у другому рядку, другому стовпці. Скористайтеся операцією рядка, щоб зробити цей запис 1. Використовуйте операції рядків, щоб зробити всі інші записи нулями у другому стовпці.
- Повторіть крок 5 для рядка 3, стовпчик 3. Продовжуйте рухатися по головній діагоналі, поки не досягнете останнього ряду, або поки число не стане нульовим.
Кінцева матриця називається зменшеною рядно-ешелонною формою.
Вирішити наступну систему методом Гауса-Джордана.
\ почати {вирівняний}
2 x+y+2 z &= 10\\
x+2 y+z &= 8\\
3 x+y-z &= 2
\ кінець {вирівняний}
Рішення
Записуємо доповнену матрицю.
\ [\ left [\ begin {масив} {ccccc}
2 & 1 & 2 & | & 10\\
1 & 2 & 1 & | 8\\
3 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & | & 2
\ end {масив}\ праворуч]\ nonumber\]
Ми хочемо 1 в рядку один, стовпець один. Це можна отримати, розділивши перший ряд на 2, або помінявши другий ряд з першим. Зміна рядків є кращим вибором, оскільки таким чином ми уникаємо дробів.
\ [\ left [\ begin {масив} {ccccc}
1 & 2 & 1 & | & 8\\
2 & 1 & 2 & | & 10\\
3 & 1 & -1 & | & 2
\ end {масив}\ праворуч]\ квад\ текст {ми поміняли рядок 1 (R1) і рядок 2 (R2)}\ nonumber\]
Нам потрібно зробити всі інші записи нулями в стовпці 1. Щоб зробити запис (2) нулем в рядку 2, стовпці 1, множимо рядок 1 на - 2 і додаємо до другого ряду. Ми отримуємо,
\ [\ left [\ begin {масив} {ccccc}
1 & 2 & 1 & | & 8\\
0 & -3 & 0 & | -6\\
3 & 1 & -1 & | & 2
\ кінець {масив}\ праворуч]\ квад-2 R 1+R 2\ nonumber\]
Щоб зробити запис (3) нулем в рядку 3, стовпці 1, множимо рядок 1 на - 3 і додаємо до третього ряду. Ми отримуємо,
\ [\ left [\ begin {масив} {ccccc}
1 & 2 & 1 & | & 8\\
0 & -3 & 0 & | & -6\\
0 & -5 & -4 & | & -22
\ кінець {масив}\ праворуч]\ quad-3 R 1+R 3\ nonumber\]
Поки що ми зробили 1 в лівому куті і всі інші записи нулі в цьому стовпці. Тепер переходимо до наступного діагонального запису, ряду 2, стовпця 2. Нам потрібно зробити цей запис (—3) a 1 і зробити всі інші записи в цьому стовпці нулями. Щоб зробити рядок 2, стовпчик 2 запис a 1, ділимо весь другий ряд на —3.
\ [\ left [\ begin {масив} {ccccc}
1 & 2 & 1 & | & 8\\
0 & 1 & 0 & | & 2\\
0 & -5 & -4 & | & -22
\ кінець {масив}\ праворуч]\ quad\ mathrm {R} 2\ div (-3)\ nonumber\]
Далі робимо всі інші записи нулями в другому стовпці.
\ [\ left [\ begin {масив} {ccccc}
1 & 0 & 1 & | & 4\\
0 & 1 & 0 & | & 2\\
0 & 0 & 0 & -4 & | & -12
\ кінець {масив}\ праворуч]\ квадро-2 R 2+R 1\ текст {і} 5 R 2+R 3\ nonumber\]
Останній діагональний запис робимо 1, розділивши ряд 3 на — 4.
\ [\ left [\ begin {масив} {ccccc}
1 & 0 & 1 & | & 4\\
0 & 1 & 0 & | & 2\\
0 & 0 & 0 & 1 & | & 3
\ кінець {масив}\ праворуч]\ квад R 3\ div (-4)\ nonumber\]
Нарешті, ми робимо всі інші записи нулями в стовпці 3.
\ [\ left [\ begin {масив} {ccccc}
1 & 0 & 0 & | & 1\\
0 & 1 & 0 & | & 2\\
0 & 0 & 1 & | & 3
\ кінець {масив}\ праворуч]\ квад-\ mathrm {R} 3+\ mathrm {R} 1\ nonumber\]
Зрозуміло, що рішення читає\(x =1\)\(y = 2\), і\(z = 3\).
Перш ніж покинути цей розділ, ми згадуємо деякі терміни, які нам можуть знадобитися в четвертому розділі.
Процес отримання 1 в місці, а потім внесення всіх інших записів нулів у цьому стовпці, називається поворотним.
Число, яке робиться 1, називається шарнірним елементом, а рядок, який містить шарнірний елемент, називається стрижневим рядком.
Ми часто множимо стрижневий ряд на число і складаємо його в інший ряд, щоб отримати нуль в останньому. Рядок, до якого додається кратний стрижневий рядок, називається цільовим рядком.