Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.5: Більше додатків

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    66873

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Цілі навчання

    У цьому розділі ви навчитеся:

    1. Вирішити лінійну систему в двох змінних.
    2. Знайдіть точку рівноваги, коли задано рівняння попиту та пропозиції.
    3. Знайдіть точку беззбитковості, коли дані функції доходу та витрат.

    Пошук точки перетину двох ліній

    У цьому розділі ми будемо робити завдання додатків, які передбачають перетин ліній. Тому перш ніж приступити далі, спочатку навчимося знаходити перетин двох ліній.

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Знайдіть перетин прямої\(y = 3x -1\) і прямої\(y = - x + 7\).

    Рішення

    Графуємо обидві лінії на однакових осях, як показано нижче, і читаємо рішення (2, 5).


    Приклад 1.5.1.PNG

    Знайти перетин двох ліній графічно не завжди легко або практично, тому ми зараз навчимося вирішувати ці завдання алгебраїчно.

    У точці, де дві лінії перетинаються,\(y\) значення\(x\) і для обох ліній однакові. Таким чином, для того, щоб знайти перетин, ми або нехай\(x\) -значення або\(y\) -значення рівні.

    Якби ми мали вирішити вищевказаний приклад алгебраїчно, буде легше дозволити рівним значенням y. Так як\(y = 3x - 1\) для першого рядка, а\(y = - x + 7\) для другого рядка, давши y-значенням рівні, отримаємо

    \ begin {вирівняний}
    3 x-1 & =-x+7\\
    4 x & = 8\\
    x & = 2
    \ кінець {вирівняний}

    Підставивши\(x = 2\) в будь-яке з двох рівнянь, отримаємо\(y = 5\).

    Звідси і рішення (2, 5).

    Загальний алгебраїчний метод, який використовується для розв'язання систем рівнянь, називається методом елімінації. Мета полягає в усуненні однієї з двох змінних шляхом додавання лівої та правої частини рівнянь разом. Після того, як одна змінна буде усунена, ми маємо рівняння з лише однією змінною для може бути вирішена. Нарешті, підставивши значення змінної, яка була знайдена в одному з вихідних рівнянь, отримуємо значення іншої змінної.

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Знайти перетин ліній\(2x + y = 7\) і\(3x - y = 3\) методом усунення.

    Рішення

    Складаємо ліву і праву сторони двох рівнянь.

    \ почати {вирівняний}
    2 x+y&= 7\\
    3x-y&= 3\\\ hline 5x&= 10\\
    x & = 2
    \ кінець {вирівняний}

    Тепер підставляємо\(x = 2\) в будь-якому з двох рівнянь і вирішуємо для\(y\).

    \ begin {вирівняний}
    2 (2) +y&=7\
    y&=3
    \ кінець {вирівняний}

    Тому рішення є (2, 3).

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Вирішити систему рівнянь\(x + 2y = 3\) і\(2x + 3y = 4\) методом елімінації.

    Рішення

    Якщо ми додамо два рівняння, жодна зі змінних не буде усунена. Але змінну\(x\) можна усунути, помноживши перше рівняння на -2, а друге рівняння залишивши без змін.

    \ почати {вирівняний}
    -2 x-4 y &=-6\\
    2 x+3 y &= 4\
    \\ hline -y &=-2\\
    y &=2
    \ кінець {вирівняний}

    Підставивши\(y = 2\) в\(x + 2y = 3\), отримуємо

    \ begin {масив} {l}
    x+2 (2) =3\
    x=-1
    \ end {масив}

    Тому розчин є (-1, 2).

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Вирішити систему рівнянь\(3x - 4y = 5\) і\(4x - 5y = 6\).

    Рішення

    Цього разу перед складанням множимо перше рівняння на - 4, а друге на 3. (Вибір номерів не є унікальним.)

    \ почати {вирівняний}
    -12 x+16 y &= -20\\
    12 x-15 y &=18\\ hline y&=-2
    \ кінець {вирівняний}

    Підставивши y = - 2 в будь-якому з рівнянь, отримаємо х = -1.
    Звідси розчин є (-1, -2).

    ПРОПОЗИЦІЯ, ПОПИТ І РІВНОВАЖНА РИНКОВА ЦІНА

    У вільній ринковій економіці крива пропозиції товару - це кількість позицій товару, які можуть бути доступні за різними цінами, а крива попиту - це кількість предметів, які споживач буде купувати за різними цінами.

    Зі збільшенням ціни на товар знижується його попит і збільшується пропозиція. З іншого боку, у міру зниження ціни попит збільшується, а пропозиція зменшується. Рівноважна ціна досягається, коли попит дорівнює пропозиції.

    Приклад\(\PageIndex{5}\)

    Крива пропозиції для товару є\(y = 3.5x - 14\) і крива попиту на той самий товар\(y = - 2.5x + 34\), де x - ціна, а y - кількість вироблених товарів. Знайдіть наступне.

    1. Скільки товарів буде поставлено за ціною $10?
    2. Скільки предметів буде затребувано за ціною 10 доларів?
    3. Визначте рівноважну ціну.
    4. Скільки предметів буде вироблено за рівноважною ціною?

    Рішення

    а) Підставляємо\(x = 10\) в рівняння постачання,\(y = 3.5x - 14\) відповідь\(y = 3.5(10) - 14 =21\).

    б) Підставляємо\(x = 10\) в рівняння попиту,\(y = - 2.5x + 34\); відповідь є\(y = - 2.5(10) + 34= 9\).

    в) Дозволивши пропозицію дорівнювати попиту, ми отримуємо

    \ почати {вирівняний}
    3.5x-140 &=-25x+340\\
    6x &= 480\\
    x &=\ $8
    \ кінець {вирівняний}

    г) Підставляємо або\(x = 8\) в рівняння пропозиції, або попиту; отримуємо\(y = 14\).

    На графіку показано перетин функцій попиту та пропозиції та їх точки перетину (8,140).

    Інтерпретація: При рівновазі ціна становить 8 доларів за одиницю, а 140 найменувань виробляються постачальниками і купуються споживачами.

    Точка беззбитковості

    У бізнесі прибуток генерується за рахунок реалізації продукції.

    • Якщо компанія продає x кількість предметів за ціною P, то дохід R - це ціна, помножена на кількість проданих предметів:\(R = P \cdot x\).
    • Виробничі витрати C - це сума змінних витрат і постійних витрат, і часто записуються як C = mx+ b, де x - кількість вироблених виробів.
      • Ухил m називається граничною вартістю і являє собою витрати на виготовлення однієї додаткової позиції або одиниці.
      • Змінна вартість, mx, залежить від того, скільки виробляється
      • Фіксована вартість b постійна; вона не змінюється незалежно від того, скільки виробляється.
    • Прибуток дорівнює Виручці мінус Вартість: Прибуток = R − C

    Компанія отримує прибуток, якщо дохід перевищує вартість. Відбувається збиток, якщо вартість перевищує виручку. Точка на графіку, де виручка дорівнює вартості, називається точкою беззбитковості. У точці беззбитковості прибуток дорівнює 0.

    Приклад\(\PageIndex{6}\)

    Якщо функція доходу продукту є,\(R = 5x\) а функція витрат є\(y = 3x + 12\), знайдіть наступне.

    1. Якщо буде вироблено 4 найменування, якою буде виручка?
    2. Яка вартість виготовлення 4 найменувань?
    3. Скільки предметів слід виготовити, щоб зламати рівність?
    4. Якою буде виручка і вартість в точці беззбитковості?

    Рішення

    а) Підставляємо\(x = 4\) в рівняння доходу\(R = 5x\), і відповідь є\(R = 20\).

    б) Підставляємо\(x = 4\) в рівняння витрат\(C = 3x + 12\), і відповідь буде\(C = 24\).

    в) Допустивши дохід дорівнює вартості, ми отримуємо

    \ begin {вирівняний}
    5x&=3x+12\
    x & = 6\\
    \ кінець {вирівняний}

    г)\(x = 6\) Підставляємо або дохід, або рівняння витрат: отримуємо\(R = C = 30\).

    На графіку нижче показано перетин функцій доходу та витрат та їх точки перетину (6, 30).


    Приклад 1.5.6.PNG