1.3: Визначення рівняння прямої
- Page ID
- 66867
У цьому розділі ви навчитеся:
- Знайти рівняння прямої, якщо задано точку та нахил.
- Знайти рівняння прямої, якщо задано дві точки.
Поки що нам дали рівняння прямої і попросили дати інформацію про нього. Наприклад, нас попросили знайти точки на лінії, знайти її нахил і навіть знайти перехоплення. Тепер ми перейдемо до зворотного процесу. Тобто нам дадуть або дві точки, або точку і нахил прямої, і нас попросять знайти її рівняння.
Рівняння прямої може бути записано в трьох формах, форма нахил-перехоплення, точка-нахил, або стандартна форма. Кожен з них ми обговоримо в цьому розділі.
Лінія повністю визначається двома точками, або точкою і нахилом. Інформація, яку ми наводимо про ту чи іншу лінію, вплине на те, яку форму рівняння найзручніше використовувати. Як тільки ми знаємо будь-яку форму рівняння прямої, легко повторно висловити рівняння в інших формах, якщо це необхідно.
ФОРМА УХИЛ-ПЕРЕХОПЛЕННЯ ЛІНІЇ:\(y = mx + b\)
В останньому розділі ми дізналися, що рівняння прямої, нахил якої =\(m\) і
\(y\) -перехоплення =\(b\) є\[\mathbf{y=mx+b}. \nonumber \] Це називається формою нахилу-перехоплення лінії і є найбільш часто використовуваною формою.
Знайдіть рівняння прямої, нахил якої дорівнює 5, а\(y\) -перехоплення дорівнює 3.
Рішення
Так як нахил є\(m = 5\), а перехоплення\(y\) - є\(b = 3\), рівняння є\(y = 5x + 3\).
Знайдіть рівняння прямої, яка проходить через точку (\(2, 7\)) і має нахил\(3\).
Рішення
Так як\(m = 3\), часткове рівняння є\(y = 3x + b\).
Тепер\(b\) можна визначити, підставивши точку (\(2, 7\)) в рівнянні\(y = 3x + b\).
\ begin {вирівняний}
&7=3 (2) +b\ nonumber\\
&b = 1\ nonumber
\ кінець {вирівняний}
Тому рівняння є\(y = 3x + 1\).
Знайдіть рівняння прямої, яка проходить через точки (-1, 2), і (1, 8).
Рішення
\(m=\frac{8-2}{1-(-1)}=\frac{6}{2}=3\). Таким чином, часткове рівняння є\(y = 3x + b\).
Ми можемо використовувати будь-яку з двох точок (-1, 2) або (1, 8), щоб знайти\(b\). Підстановка (-1, 2) дає
\ begin {вирівняний}
&2=3 (-1) +b\ nonumber\
&5=b\ nonumber
\ end {вирівняний}
Отже, рівняння є\(y = 3x +5\).
Знайдіть рівняння прямої, яка має\(x\) -перехоплення 3, а\(y\) -перехоплення 4.
Рішення
\(x\)-перехоплення = 3, а\(y\) -перехоплення = 4 відповідають точкам (3, 0), і (0, 4) відповідно.
\[ m=\frac{4-0}{0-3} = -\frac{4}{3} \nonumber \]
Нам кажуть, що\(y\) -перехоплення дорівнює 4; таким чином\(b\) = 4
Тому рівняння є\(y = -\frac{4}{3} x + 4\).
ТОЧКОВО-НАХИЛ ФОРМА ЛІНІЇ:\(y - y_1 = m(x - x_1)\)
Форма точка-нахил корисна, коли ми знаємо дві точки на лінії і хочемо знайти рівняння прямої.
\(L\)Дозволяти лінія з нахилом\(m\), і, як відомо, містить певну точку (\(x_1\),\(y_1\)). Якщо (\(x, y\)) є будь-якою іншою точкою на лінії\(L\), то визначення нахилу призводить нас до форми точки-нахилу або формули точка-нахил.
Ухил - це\( \frac{y-y_1}{x-x_1}= m\)
Множення обох сторін на (\(x-x_1\)) дає форму точки-нахилу:
\[\mathbf{y - y_1 = m(x - x_1)} \nonumber \]
Знайдіть точку-нахил форми рівняння прямої, яка має нахил 1,5 і проходить через точку (12,4).
Рішення
Підставивши точку\((x_1,y_1) = (12,4)\) і\(m= 1.5\) в формулі точка-нахил, отримуємо
\[\mathbf{y - y_1 = m(x - x_1)} \nonumber \]
\[y - 4 = 1.5(x - 12) \nonumber \]
У студента може виникнути спокуса спростити це у формі перехоплення нахилу\(y = mx + b\). Але так як проблема конкретно запитує точково-похилу форму, ми не будемо її спрощувати.
СТАНДАРТНА ФОРМА ЛІНІЇ:\(Ax + By = C\)
Ще одна корисна форма рівняння прямої - стандартна форма.
Якщо ми знаємо рівняння прямої у формі точки-нахилу\(y - y_1 = m(x - x_1)\), або якщо ми знаємо рівняння прямої у формі перехоплення нахилу\(y = mx + b\), ми можемо спростити формулу, щоб мати всі\(x\) члени для\(y\) змінних і на одній стороні рівняння, а константа на іншій стороні рівняння.
Отриманий результат іменується стандартною формою рядка:\[\mathbf{Ax + By = C}. \nonumber \]
Використовуючи формулу точка-нахил, знайдіть стандартну форму рівняння прямої, яка проходить через точку (2, 3) і має нахил\(-3/5\).
Рішення: Підставивши точку (2, 3) і\(m= - 3/5\) в формулі точка-нахил, отримуємо
\[y - 3 = - 3/5(x - 2) \nonumber \]
Множення обох сторін на 5 дає нам
\ begin {вирівняний}
&5 (y-3) =-3 (x-2)\\
&5 y-15 = -3 x+6\
&3 x+5 y=21\ quad\ text {стандартна форма}
\ кінець {вирівняний}
Знайдіть стандартну форму лінії, яка проходить через точки (1, -2), і (4, 0).
Рішення
Спочатку знаходимо ухил:\(m = \frac{0-(-2)}{4-1} = \frac{2}{3}\)
Тоді точково-похила форма буває:\(y - (-2) = \frac{2}{3}(x -1)\)
Множення обох сторін на 3 дає нам
\ begin {вирівняний} &3 (y+2) =2 (x-1)\\
&3 y+6=2
x-2 x+3 y=-8\\
&2 x-3 y=8\ quad\ text {стандартна форма}\ кінець {вирівняний}
Ми завжди повинні бути в змозі перетворити з однієї форми рівняння в іншу. Наприклад, якщо нам дано рядок у вигляді ухил-перехоплення, ми повинні мати можливість висловити її в стандартному вигляді, і навпаки.
Запишіть рівняння\(y = -\frac{2}{3}x + 3\) в стандартному вигляді.
Рішення
Помноживши обидві сторони рівняння на 3, отримаємо
\ begin {вирівняний}
&3y = -2x + 9\\
&2x + 3y = 9\ quad\ text {Стандартна форма}
\ кінець {вирівняний}
Запишіть рівняння\(3x - 4y = 10\) в формі ухил-перехоплення.
Рішення
Вирішуючи за\(y\), отримуємо
\ begin {вирівняний}
&-4y = -3x + 10\\
&y =\ frac {3} {4} x -\ frac {5} {2}\ quad\ text {Стандартна форма}
\ кінець {вирівняний}
Нарешті, ми дізнаємося дуже швидкий і простий спосіб написати рівняння рядка в стандартному вигляді. Але спочатку треба навчитися знаходити ухил лінії в стандартному вигляді шляхом огляду.
Вирішуючи для\(y\), можна легко показати, що нахил лінії\(Ax + By = C\) є\(-A/B\).
Читач повинен переконатися в цьому.
Знайдіть ухил наступних ліній, шляхом огляду.
- \(3x-5y=10\)
- \(2x+7y=20\)
- \(4x-3y=8\)
Рішення
- \(A=3\)\(B=-5\), отже,\(m=\frac{3}{-5}=\frac{3}{5}\)
- \(A=2\)\(B=7\), отже,\(m=-\frac{2}{7}\)
- \(m=\frac{4}{-3}=\frac{4}{3}\)
Тепер, коли ми знаємо, як знайти нахил лінії в стандартній формі шляхом огляду, наша робота з пошуку рівняння лінії буде простою.
Знайдіть рівняння прямої, яка проходить через (2, 3) і має нахил - 4/5.
Рішення
Так як нахил прямої - 4/5, ми знаємо, що ліва сторона рівняння є\(4x + 5y\), а рівняння частки буде
\[4x + 5y = c \nonumber \]
Звичайно,\(c\) можна легко знайти, замінивши на\(x\) і\(y\).
\ begin {вирівняний}
&4 (2) +5 (3) = c\\
&23=c
\ кінець {вирівняний}
Бажане рівняння
\[4x + 5y = 23. \nonumber \]
Якщо використовувати цей метод досить часто, то можна зробити ці проблеми дуже швидко.
Підсумовуємо форми для рівнянь прямої нижче:
Форма перехоплення нахилу:\(\mathbf{y = mx + b}\),
де\(m\) = нахил,\(b\) =\(y\) -перехоплення
Форма нахилу точки:\(\mathbf{y - y_1 = m(x - x_1)}\),
де\(m\) = нахил,\((x_1,y_1)\) є точкою на лінії
Стандартна форма:\(\mathbf{Ax + By = C}\)
Горизонтальна лінія:\(\mathbf{y = b}\)
де\(b\) =\(y\) -перехоплення
Вертикальна лінія:\(\mathbf{x = a}\)
де\(a\) =\(x\) -перехоплення