Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.2: Нахил лінії

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    66857

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Цілі навчання

    У цьому розділі ви навчитеся:

    1. Знайдіть нахил лінії.
    2. Графік лінії, якщо задано точку та нахил.

    В останньому розділі ми навчилися графувати лінію, вибираючи дві точки на лінії. Графік прямої також можна визначити, якщо відома одна точка і «крутизна» прямої. Число, яке відноситься до крутизни або нахилу лінії, називається нахилом лінії.

    З попередніх курсів математики багато хто з вас пам'ятають нахил як «підйом над бігом» або «вертикальну зміну над горизонтальною зміною» і часто бачили, що це виражається як:

    \[\frac{\text {rise}}{\text {run}}, \frac{\text {vertical change}}{\text {horizontal change}}, \frac{\Delta y}{\Delta x} \text { etc. } \nonumber \]

    Даємо точне визначення.

    Визначення: Нахил

    Якщо (\(x_1\),\(y_1\)) і (\(x_2\),\(y_2\)) є двома різними точками на лінії, нахил лінії дорівнює

    \[\text{slope}=m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \label{slope} \]

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Знайдіть нахил прямої, що проходить через точки (−2, 3) та (4, −1), і графік лінії.

    Рішення

    Нехай (\(x_1\),\(y_1\)) = (−2, 3) і (\(x_2\),\(y_2\)) = (4, −1), тоді нахил (через Рівняння\ ref {схил}) дорівнює

    \(m = \frac{-1-3}{4-(-2)} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}\) Приклад 1.2.1.PNG

    Щоб дати читачеві краще розуміння, як зміна вертикалі, -4, так і зміна горизонталі, 6, показані на малюнку вище.

    Коли задано дві точки, не має значення, яка точка позначається як (\(x_1\),\(y_1\)), а яка (\(x_2\),\(y_2\)). Значення для ухилу буде однаковим.

    У прикладі\(\PageIndex{1}\), якщо замість цього вибрати (\(x_1\),\(y_1\)) = (4, −1) і (\(x_2\),\(y_2\)) = (−2, 3), то ми отримаємо те саме значення для нахилу, яке ми отримали раніше.

    Кроки, що беруть участь, такі.

    \[m = \frac{3-(-1)}{-2-4} = \frac{4}{-6} = -\frac{2}{3} \nonumber \]

    Учень повинен надалі спостерігати, що

    • якщо лінія піднімається при переході зліва направо, то вона має позитивний нахил. У цій ситуації, у міру\(x\) збільшення значення,\(y\) також збільшується
    • Якщо лінія падає йде зліва направо, вона має негативний нахил; як значення\(x\) збільшується, значення\(y\) зменшується.

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Знайдіть нахил прямої, яка проходить через точки (2, 3) і (2, −1), і графік.

    Рішення

    Нехай (\(x_1\),\(y_1\)) = (2, 3) і (\(x_2\),\(y_2\)) = (2, −1) тоді нахил

    \[m = \frac{-1-3}{2-2}=\frac{4}{0}=\text{undefined.} \nonumber \]


    Приклад 1.2.2.PNG

    Примітка: Нахил вертикальної лінії не визначено.

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Знайти нахил прямої, що проходить через точки (−1, −4) та (3, −4)

    Рішення

    Нехай (\(x_1\),\(y_1\)) = (−1, −4) і (\(x_2\),\(y_2\)) = (3, −4), тоді нахил дорівнює

    \[ m = \frac{-4-(-4)}{3-(-1)} = \frac{0}{4} = 0 \nonumber \]

    Примітка: Нахил горизонтальної лінії дорівнює 0

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Графік лінії, яка проходить через точку (1, 2) і має нахил\(-\frac{3}{4}\).

    Рішення

    Ухил дорівнює\(\frac{\text{rise}}{\text{run}}\). Той факт, що нахил є\(\frac{-3}{4}\), означає, що на кожен підйом -3 одиниці (падіння 3 одиниці) йде пробіг 4. Так що якщо з даної точки (1, 2) спускаємося вниз на 3 одиниці і йдемо вправо 4 одиниці, доходимо до точки (5, -1). Графік виходить шляхом з'єднання цих двох точок.

    Приклад 1.2.4 а PNG

    Крім того, оскільки\(\frac{3}{-4}\) представляє одне і те ж число, лінію можна провести, починаючи з точки (1,2) і вибравши підйом на 3 одиниці з подальшим пробігом -4 одиниці. Так від точки (1, 2) піднімаємося вгору на 3 одиниці, а вліво 4, досягаючи таким чином точки (-3, 5), яка також знаходиться на тій же лінії. Див. Малюнок нижче.

    Приклад 1.2.4 B.PNG

    Приклад\(\PageIndex{5}\)

    Знайдіть ухил лінії\(2x + 3y = 6\).

    Рішення

    Для того щоб знайти нахил цієї лінії, виберемо будь-які дві точки на цій лінії.

    Знову ж таки, вибір\(x\) і\(y\) перехоплення здається хорошим вибором. \(x\)-Перехоплення є (3, 0), а\(y\) -перехоплення є (0, 2). Тому ухил

    \[m = \frac{2-0}{0-3} =-\frac{2}{3}. \nonumber \]

    На графіку нижче показана лінія і\(x\) -перехоплює і\(y\) -перехоплює:

    Приклад 1.2.5.PNG

    Приклад\(\PageIndex{6}\)

    Знайдіть ухил лінії\(y = 3x + 2\).

    Рішення

    Знову знаходимо дві точки на лінії, наприклад, (0, 2) і (1, 5). Тому ухил

    \[m =\frac{5-2}{1-0} = \frac{3}{1} = 3. \nonumber \]

    Подивіться на схили і\(y\) -перехоплення наступних рядків.

    Лінія схил \(y\)-перехопити
    \(y=3x+2\) 3 \ (y\) -перехоплення">2
    \(y=-2x+5\) -2 \ (y\) -перехоплення">5
    \(y=\frac{3}{2}x-4\) \(\frac{3}{2}\) \ (y\) -перехоплення">-4

    Не випадково, коли рівняння прямої вирішується для\(y\), коефіцієнт\(x\) члена представляє нахил, а постійний член\(y\) - перехоплення.

    Іншими словами, для лінії\(y = mx + b\),\(m\) це нахил, а\(b\) є\(y\) -перехоплення.

    Приклад\(\PageIndex{7}\)

    Визначте ухил і\(y\) -перехоплення лінії\(2x + 3y = 6\).

    Рішення

    Ми вирішуємо для\(y\):

    \ begin {вирівнювати*}
    &2 x+3 y=6\ number\\
    &3 y=-2 x+6\ number\\
    &y =( -2/3) x+2\ nonumber
    \ end {align*}

    Ухил = коефіцієнт\(x\) терміна = − 2/3.

    The\(y\) -перехоплення = постійний термін = 2.