Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

10.3: Раціональні нерівності

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    66152

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Розв'язування раціональних нерівностей передбачає знаходження нулів чисельника та знаменника, а потім за допомогою цих значень досліджують області розв'язку множини на числовому рядку.

    Приклад Template:index

    Розв'яжіть нерівності та запишіть множини розв'язків у інтервальній нотації:

    1. \(\dfrac{x − 1}{x + 1} ≥ 0\)
    2. \(\dfrac{2x − 3}{x + 1} ≤ 0\)
    3. \(\dfrac{x + 2}{x − 2} ≥ 0\)
    Рішення
    1. \(\begin{array} &&\dfrac{x − 1}{x + 1} ≥ 0 &\text{Example problem} \\ &\dfrac{x − 1}{x + 1} ≥ 0 &\text{The quotient must be greater than or equal to \(0\).}\\ &x − 1 = 0,\; x = 1 &\ text {Знайти нулі чисельника}\\ &x + 1 = 0, x =\; −1 &\ text {Знайти нулі знаменника}\ end {масив}\)
    clipboard_ec11760d50b919ddd83bc64d27535e4b7.png
    Нулі ділять числову лінію на\(3\) регіони,\(x < −1\),\(−1 < x < 1\),\(x > 1\)

    \(\begin{array} &&\text{For } x < −1, \text{ choose } x = −2. \;\;\dfrac{−2 − 1}{−2 + 1} = \dfrac{−3}{−1} = 3 ≥ 0 \\ &\text{Replacing \(-2\)для\(x\) результатів у відповіді\(3\), яка більше або дорівнює\(0\). Ця область\(x < −1\) включена до набору розв'язків.}\\ [0.25in] &\ text {Для} −1 < x < 1,\ text {вибрати} x = 0.\;\ dfrac {0 − 1} {0 + 1} =\ dfrac {−1} {1} = −1 < 0\\ &\ text {Заміна\(0\)\(x\) результатів у відповіді\(-1\), яка є меншою\(0\), не виконаною задана нерівність у задачі.}\\ &\ text {Ця область\(−1 < x < 1\) виключена з набору розв'язків.}\\ [0.25in] &\ text {Для} x > 1,\ text {вибрати} x = 2;\;\ dfrac {2 − 1} {2 + 1} =\ dfrac {1} {3} ≥ 0\\ &\ text {Заміна\(2\) на\(x\) результати у відповіді\(\dfrac{1}{3}\), який є більше або дорівнює\(0\). Ця область\(x > 1\) включена до набору розв'язків.}\\ [0.25in] & (−∞, −1) (1, ∞)\\ &\ text {Остаточна відповідь написана інтервальними позначеннями (докладніше див. розділ Інтервальні позначення).} \ end {масив}\)

    1. \(\begin{array} &&\dfrac{2x − 3}{x + 1} ≤ 0 &\text{Example problem} \\ &\dfrac{2x − 3}{x + 1} ≤ 0 &\text{The quotient must be less than or equal to \(0\).}\\ &2x − 3 = 0,\; x = 1.5 &\ text {Знайти нулі чисельника}\\ &x + 1 = 0,\; x = −1 &\ text {Знайти нулі знаменника}\ end {масив}\)
    clipboard_eb1a3fd2706ba7b03d6acdeb3ad51ec07.png
    Нулі ділять числову лінію на\(3\) регіони,\(x < −1\),\(−1 < x < 1.5\),\(x > 1.5\)

    \(\begin{array} &&\text{For } x < −1, \text{ choose } x = −2. \;\; \dfrac{2(−2) − 3}{−2 − 1} = \dfrac{−7}{−3} = \dfrac{7}{3} ≥ 0 \\ &\text{Replacing \(-2\)для\(x\) результатів у відповіді\(\dfrac{7}{3}\), яка є більшою за\(0\), не виконану задану нерівність у задачі.}\\ &\ text {Ця область\(x < −1\) виключена з набору розв'язків.}\\ [0.25in] &\ text {For} −1 < x < 1.5,\ text {choose} x = 0.\;\ dfrac {2 (0) − 3} {0 − 1} =\ dfrac {−3} {−1} = 3 ≥ 0\\ &\ text {Заміна\(0\)\(x\) результатів у відповіді\(3\), яка більше або дорівнює, що не є тим\(0\), про що запитує проблема.}\\ &\ text {Ця область\(−1 < x < 1.5\) виключена з набору розв'язків.}\\ [0.25in] &\ text {Для } x > 1,\ text {вибрати} x = 2.\;\;\ dfrac {2 (2) − 3} {2 − 1} =\ dfrac {1} {1} = 1 ≥ 0\\ &\ text {Заміна\(2\)\(x\) результатів у відповіді\(1\), яка більше або дорівнює\(0\). Ця область\(x > 1\) виключена з набору розв'язків.}\\ [0.25in] &∅\\ &\ text {Ця проблема не має рішення. \(\dfrac{2x − 3}{x + 1}\)ніколи не буде менше або дорівнює\(0\).} \ end {масив}\)

    1. \(\begin{array} &&\dfrac{x + 2}{x − 2} ≥ 0 &\text{Example problem} \\ &\dfrac{x + 2}{x − 2} ≥ 0 &\text{The quotient must be greater than or equal to \(0\).}\\ &x + 2 = 0,\;\; x = −2 &\ text {Знайти нулі чисельника}\\ &x − 2 = 0,\;\; x = 2 &\ text {Знайти нулі знаменника}\ end {масив}\)
    clipboard_e3374fd2eab55feb8c3dfe2d5ebd8d557.png
    Нулі ділять числову лінію на\(3\) регіони,\(x < −2\),\(−2 < x < 2\),\(x > 2\)

    \(\begin{array} &&\text{For } x < −2, \text{ choose } x = −3. \dfrac{−3 + 2}{−3 − 2} = \dfrac{−1}{−5} = \dfrac{1}{5} ≥ 0 \\ &\text{Replacing \(-3\)для\(x\) результатів у відповіді\(\dfrac{1}{5}\), яка більше або дорівнює\(0\). Ця область\(x < −2\) включена до набору розв'язків.}\\ [0.25in] &\ text {Для} −2 < x < 2,\ text {choose} x = 0.\;\ dfrac {0 + 2} {0 − 2} =\ dfrac {2} = −1 < 0\\ &\ text {Заміна\(0\)\(x\) результатів у відповіді\(-1\), яка менше ніж\(0\), не виконана задана нерівність у задачі.}\\ &\ text {\(−2 < x < 2\)Ця область не включена до набору розв'язків.}\\ [0.25in] &\ text {Для} x > 2,\ text {вибрати} x = 3;\;\ dfrac {3 + 2} {3 − 2} =\ dfrac {5} {1} = 5 0\\ &\ text {Заміна\(3\) для\(x\) результатів у відповідь\(5\), який більше або дорівнює\(0\). Ця область\(x > 2\) включена до набору розв'язків.}\\ [0.25in] & (−∞, −2) (2, ∞)\\ &\ text {Остаточна відповідь написана інтервальними позначеннями (докладніше див. розділ Інтервальні позначення).} \ end {масив}\)

    Вправа Template:index
    1. \(\dfrac{x + 3}{x − 2} ≥ 0\)
    2. \(\dfrac{x − 2}{x − 1} ≤ 0\)
    3. \(\dfrac{2x − 1}{x + 2} ≤ 0\)
    4. \(\dfrac{2x − 3}{x + 1} ≥ 0\)