Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

9.4: Раціоналізувати алгебраїчні дроби

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    66123

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Визначення: Знаменник раціональних виразів

    Якщо знаменник раціонального виразу містить суми або відмінності за участю радикалів, то хороша форма завжди раціоналізувати знаменник шляхом множення чисельника і знаменника на сполучений знаменник.

    Сполучений знаменник містить ті ж терміни, але протилежні операції (додавання або віднімання).

    Приклад Template:index

    Раціоналізувати знаменник і спростити:

    1. \(\dfrac{1}{1 − \sqrt{x}}\)
    2. \(\dfrac{1}{\sqrt{x} − \sqrt{y}}\)
    3. \(\dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x} − \sqrt{y}}\)

    Рішення

    1. \(\begin{array} &&\dfrac{1}{1 − \sqrt{x}} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{(1)(1 + \sqrt{x})}{(1 − \sqrt{x})(1 + \sqrt{x})} &\text{Multiply both numerator and denominator by the conjugate, which is \((1+\sqrt{x})\)}\\ &\ dfrac {1 +\ sqrt {x}} {1 −\ sqrt {x} +\ sqrt {x} − (\ sqrt {x}) ^2} &\ text {FOIL знаменник.}\\ &\ dfrac {1 +\ sqrt {x}} {1 −\ скасувати {\ sqrt {x}} {x}} − (\ sqrt {x}) ^2} &\ text {Вилучити протилежні терміни, які дорівнюють нулю.}\\ &\ dfrac {1 +\ sqrt {x}} {1 − x} &\ text {Квадрат root of\(x\), кількість у квадраті дорівнює\(x\).}\\ &\ dfrac {1 +\ sqrt {x}} {1 − x} &\ text {Остаточна відповідь з раціоналізованим знаменником, що означає, що в знаменнику немає квадратних кореневих термінів.} \ end {масив}\)
    1. \(\begin{array} &&\dfrac{1}{\sqrt{x} − \sqrt{y}} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{(1)(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{(\sqrt{x} − \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})} &\text{Multiply both numerator and denominator by the conjugate, which is \((\sqrt{x} + \sqrt{y})\)}\\ &\ dfrac {(\ sqrt {x} +\ sqrt {y})} {(\ sqrt {x}) ^2 −\ sqrt {x} +\ sqrt {x}\ sqrt {y} − (\ sqrt {y}) ^2} &\ текст {FOIL знаменник.}\\ &\ drac {\ sqrt {x} +\ sqrt {y})} {(\ sqrt {x}) ^2 −\ скасувати {\ sqrt {x}\ sqrt {y}} +\ cancel {x}\ sqrt {y}}} − (\ sqrt {y}) ^2} &\ text {Вилучити протилежні терміни, які сума до нуля.}\\ &\ dfrac {\ sqrt {x} +\ sqrt {y}} {x − y} &\ text {Квадратний корінь\(x\), кількість у квадраті є\(x\), і квадратний корінь\(y\), кількість у квадраті є\(y\).}\\ &\ dfrac {\ sqrt {x} +\ sqrt {y}} {x − y} &\ text {Остаточна відповідь з деномом мінатор раціоналізований, значення що в знаменнику немає квадратних кореневих термінів.} \ end {масив}\)
    1. \(\begin{array} &&\dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x} − \sqrt{y}} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{(\sqrt{x} − \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})} &\text{Multiply both numerator and denominator by the conjugate, which is \((\sqrt{x} + \sqrt{y})\)}\\ &\ dfrac {(\ sqrt {x}) ^2 (\ sqrt {x}\ sqrt {y}) + (\ sqrt {y}) ^2} {(\ sqrt {x}) ^2 −\ sqrt {x}\ sqrt {y} +\ sqrt {x}\ sqrt {y} - (\ sqrt {y}) ^2} &\ текст {FOIL чисельник і знаменник.}\\ &\ dfrac {x + 2\ sqrt {x}\ sqrt {y} + y} {(\ sqrt {x}) ^2 −\ cancel {\ sqrt {x}\ sqrt {y}} +\ cancel {\ sqrt {x}} − (\ sqrt {y}) ^2} &\ text {Вилучити протилежні терміни, які дорівнюють нулю.}\\ &\ dfrac {x + 2\ sqrt {x}\ sqrt {y} + y} {x − y} &\ text {Квадратний корінь\(y\), кількість у квадраті дорівнює\(x\) квадрату\(y\).}\\ &\ dfrac {x + 2\ {sqrt x}\ sqrt {y} + y} {x − y} &\\(x\) text {Остаточна відповідь з раціоналізованим знаменником, що означає, що в знаменнику немає квадратних кореневих термінів.} \ end {масив}\)
    Вправа Template:index

    Раціоналізувати знаменник і спростити:

    1. \(\dfrac{x}{1 − \sqrt{x}}\)
    2. \(\dfrac{1}{1 − \sqrt{x}}\)
    3. \(\dfrac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} − 1}\)
    4. \(\dfrac{x − 1}{\sqrt{x} − 1}\)