Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

9.3: Додавання та віднімання раціональних виразів

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    66131

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Визначення: Додавання або віднімання раціональних виразів

    Щоб додати або відняти раціональні вирази, подумайте про це як дроби зі змінними. Загальний знаменник (званий РК-дисплеєм) потрібен для додавання і віднімання.

    Знайдіть РК/LCM

    Визначення: РК/LCM

    Щоб знайти РК-дисплей, спочатку повністю перерахуйте всі знаменники. Побудуйте РК-дисплей з факторів, знайдених у всіх знаменниках. Помножте кожен коефіцієнт найбільшу кількість разів, коли він зустрічається в будь-якому виразі. Якщо один і той же коефіцієнт зустрічається більше одного разу в обох виразах, помножте коефіцієнт найбільшу кількість разів, що він зустрічається в будь-якому виразі. Він буде називатися LCM в цьому розділі (Найменший спільний Множинний), тому що в цих задачах немає дробів.

    Приклад Template:index
    1. \((x^2 − 2x − 3)\)і\((x^2 + 2x − 15)\)
    2. \((x^2 − 9)\)і\((2x^2 − 5x − 3)\)
    3. \((x^2 + x − 2)\)і\((x^2 + 4x + 4)\)

    Рішення

    1. \(\begin{array} &&(x^2 − 2x − 3) \text{ and } (x^2 + 2x − 15) &\text{Example problem} \\ &(x − 3)(x + 1) \text{ and } (x − 3)(x + 5) &\text{Factor} \\ &\text{The LCM is } (x − 3)(x + 1)(x + 5) &\text{Final answer. Every factor must be represented in the answer.} \\& &\text{Only one copy of \((x − 3)\)потрібен, тому що він представляє коефіцієнт, знайдений у кожному виразі.} \ end {масив}\)
    1. \(\begin{array} &&(x^2 − 9) \text{ and } (2x^2 − 5x − 3) &\text{Example problem} \\ &(x−3)(x+3) \text{ and } (2x^2−6x+1x−3) &\text{Factor; the first polynomial is a difference of squares, and use factor by grouping for the second polynomial.} \\ &(x−3)(x+3) \text{ and } (2x(x−3)+1(x− 3)) &\text{Factor by grouping.} \\ &(x − 3)(x + 3) \text{ and } (2x + 1)(x − 3) &\text{Completely factored.} \\ &\text{The LCM is } (x − 3)(x + 3)(2x + 1) &\text{Final answer. Every factor must be represented in the answer.} \\ & &\text{Only one copy of \((x − 3)\)потрібен, тому що він представляє коефіцієнт, знайдений у кожному виразі.} \ end {масив}\)
    1. \(\begin{array} &&(x^2 + x − 2) \text{ and } (x^2 + 4x + 4) &\text{Example problem} \\ &(x − 1)(x + 2) \text{ and } (x + 2)(x + 2) &\text{Factor.} \\ &\text{The LCM is } (x − 1)(x + 2)(x + 2) &\text{Final answer. Every factor must be represented in the answer.} \\ & &\text{Two copies of \((x + 2)\)потрібні, оскільки вони представляють найбільшу кількість цих факторів, знайдених у будь-якому виразі.}\\ &\ text {LCM є} (x − 1) (x + 2) ^2 &\ text {Альтернативна відповідь.} \ end {масив}\)
    Вправа Template:index

    Знайдіть LCM:

    1. \((3x^2 − 13x + 4)\)і\((x^2 − 16)\)
    2. \((2x^2 + x − 3)\)і\((x^2 − 2x + 1)\)
    3. \((x − 1)\)і\((x^2 − 4x − 5)\)
    4. \((6x^2 − 23x + 20)\)і\((4x^2 − 25)\)

    Відніміть раціональні вирази та спростіть до єдиного раціонального виразу

    Визначення: Додавання або віднімання раціональних виразів за допомогою РК-дисплея

    Раціональні вирази - це дроби зі змінними (також відомі як алгебраїчні дроби). Щоб скласти або відняти раціональні вирази, спочатку знайдіть спільний знаменник (РК), потім додайте або відніміть чисельники, зберігаючи той же (загальний) знаменник. Нарешті, множник і спростити, видаливши спільні множники з чисельника і знаменника, якщо це можливо.

    Приклад Template:index

    Додавання або віднімання та спрощення:

    1. \(\dfrac{2x}{2x − 1} - \dfrac{2x}{2x + 5}\)
    2. \(\dfrac{4}{x^2 − 9} - \dfrac{5}{x^2 − 6x + 9}\)
    3. \(\dfrac{x}{1 + x} + \dfrac{2x + 3}{x^2 − 1}\)

    Рішення

    1. \(\begin{array} &&\dfrac{2x}{2x − 1} - \dfrac{2x}{2x + 5} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{2x}{2x − 1} - \dfrac{2x}{2x + 5} &\text{Find the LCD, which is \((2x − 1)(2x + 5)\)}\\ &\ dfrac {2x (2x + 5)} {(2x − 1) (2x + 5)} -\ dfrac {2x (2x − 1)} {(2x − 1) (2x + 5)} &\ text {Помножте чисельник і знаменник кожного раціонального виразу на відсутні терміни в РК-дисплеї.}\\ &\ dfrac {2x (2x + 5) − [2x (2x − 1)]} {(2x − 1) (2x + 5)} &\ text {Помістіть віднімання у чисельник над одним спільним знаменником.}\\ &\ dfrac {4x^2 + 10x − [4x^2 − 2x]} {(2x − 1) (2x + 5)} &\ text {Розподілити, об'єднати як терміни та спростити чисельник.}\\ &\ dfrac {4x^2 + 10x − 4x^2 + 2x} {2x − 1) (2x + 5)} &\ text {Подбайте про розподіл віднімання на обидва терміни.}\\ &\ dfrac { 12x} {(2x − 1) (2x + 5)} &\ text {Остаточна відповідь.} \ end {масив}\)
    1. \(\begin{array} &&\dfrac{4}{x^2 − 9} - \dfrac{5}{x^2 − 6x + 9} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{4}{(x + 3)(x − 3)} - \dfrac{5}{(x − 3)(x − 3)} &\text{Factor the denominators.} \\ &\dfrac{4}{(x + 3)(x − 3)} - \dfrac{5}{(x − 3)(x − 3)} &\text{Find the LCD, which is \((x − 3)(x − 3)(x + 3)\)}\\ &\ dfrac {4 (x − 3)} {(x + 3) (x − 3) (x − 3)} -\ dfrac {5 (x + 3)} {(x − 3) (x + 3)} &\ text {Помножте чисельник і знаменник кожного раціонального виразу на відсутні терміни в РК-дисплеї.}\\ &\ dfrag c {4} {(x − 3) − 5 (x + 3)} {(x + 3) (x − 3) (x − 3)} &\ text {Помістіть віднімання у чисельник над одним спільним знаменником.}\\ &\ dfrac {4x − 12 − [5x + 15]} {(x + 3) (x − 3) (x − 3)} &\ text {Розподілити, об'єднати як терміни та спростити чисельник.}\\ &\ dfrac {4x − 12 − 5x − 15} {(x + 3) (x + 3) (x − 3) (x − 3)} &\ text {Подбайте про розподіл віднімання на обидва терміни.}\\ &\ dfrac {−x − 27} {(x + 3) (x − 3) (x − 3)} &\ text {Остаточна відповідь.}\\ &\ dfrac {− (x + 27)} {(x + 3) (x − 3) (x − 3)} &\ text {Альтернативна відповідь}\ end {масив}\)
    1. \(\begin{array} &&\dfrac{x}{1 + x} + \dfrac{2x + 3}{x^2 − 1} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{x}{x + 1} + \dfrac{2x + 3}{(x − 1)(x + 1)} &\text{Factor the denominators.} \\ &\dfrac{x}{x + 1} + \dfrac{2x + 3}{(x − 1)(x + 1)} &\text{Find the LCD, which is \((x − 1)(x + 1)\)}\\ &\ dfrac {x (x − 1)} {(x + 1) (x − 1)} +\ dfrac {(2x + 3)} {(x − 1) (x + 1)} &\ text {Помножте чисельник і знаменник кожного раціонального виразу на відсутні терміни в РК-дисплеї.}\\ & &\ text {Зверніть увагу, що другий раціональний вираз вже має LCD як його знаменник.}\\ [0.125 in] &\ dfrac {x (x − 1) + (2x + 3)} {(x + 1) (x − 1)} &\ text {Помістіть віднімання в чисельнику над одним спільним знаменником.}\\ &\ dfrac {x^2 − x + 2x+ 3} {(x + 1) (x − 1) (x − 1)}}} &\ text {Розподілити, об'єднати як терміни та спростити чисельник.}\\ &\ dfrac {x^2+ x + 3} {(x + 1) (x − 1)}} &\ text { Подбайте про розподіл віднімання на обидва терміни.}\\ &\ dfrac {x^2+ x + 3} {(x + 1) (x − 1)} &\ text {Остаточна відповідь.} \ end {масив}\)
    Вправа Template:index

    Додавання або віднімання та спрощення:

    1. \(\dfrac{x}{x^2 + 1} + \dfrac{24x^3}{x3 + 2}\)
    2. \(\dfrac{x}{1 − x} + \dfrac{2x + 3}{x^2 − 1}\)
    3. \(\dfrac{5}{x + 3} + \dfrac{x^2 − 4x − 21}{x^2 − 9}\)
    4. \(\dfrac{39x + 36}{x^2 − 3x − 10} - \dfrac{23x − 16}{x^2 − 7x + 10}\)