Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

8.3: Факторинг та пошук поліноміальних розв'язків (нулів)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    66046

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Існує кілька способів знайти розв'язки поліномів, які є тріноміями форми\(ax^2 + bx + c = 0\). Ці розв'язки ще називають дійсними нулями многочленів.

    1. Метод факторингу випробувань та перевірки: За допомогою цього методу метою є створення двох біноміалів, які при множенні разом призводять до заданого триноміалу. Цей метод може бути дуже складним, коли даний триноміал має великі значення\(a\) і\(c\). Після завершення факторингу знайдіть усі реальні нулі, використовуючи властивість нульового фактора та встановивши кожен коефіцієнт рівним\(0\) та вирішуйте для\(x\).
    2. Фактор методом групування факторингу: За допомогою цього методу метою є створення чотирьох членів шляхом поділу середнього члена на два члени, коефіцієнти яких мають\(a ∗ c\) добуток і мають суму\(b\). Порядок термінів центру значення не має. Після створення чотирьох членів з'єднайте перші два члени з дужками, з'єднайте другі два члени з дужками та перерахуйте GCF з обох пар. Результуючий повторюваний біном є одним фактором, а коефіцієнти GCF об'єднуються, щоб зробити другий біноміальний. Це найпростіший метод для використання на будь-якому факторному триноміалі форми\(ax^2 + bx + c\), але може мати трохи кривої навчання. Після завершення факторингу знайдіть усі реальні нулі, використовуючи властивість нульового фактора та встановивши кожен коефіцієнт рівним\(0\) та вирішуйте для\(x\).
    3. Квадратична формула: Квадратична формула може бути використана для пошуку дійсних нулів факторного триноміала. Будь ласка, перегляньте Зміст, щоб знайти розділ, який пояснює, як використовувати квадратичну формулу.
    Приклад Template:index

    Фактор виразів за допомогою будь-якого з методів, розглянутих у цьому розділі (ці приклади завдань демонструють метод Factor by Gruping):

    1. \(4x^2 − 3x − 10\)
    2. \(8x^2 − 2x − 3\)
    3. \(12x − 14x^3 + 22x^2\)
    4. \(\dfrac{(x^2 + 1)^2 (−2) + (2x)2(x^2 + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^4}\)
    5. \(\dfrac{(2x + 1)^{\frac{1}{2}} − (x + 2)(2x + 1)^{-\frac{1}{2}}}{2x + 1}\)
    Рішення
    1. \(\begin{array} &&4x^2 − 3x − 10 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &4x^2 − 3x − 10 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Product \(ac\)є\(4∗(−10) = −40\), Сума є\(b = −3\). Для використання коефіцієнта шляхом групування,}\\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\(−40\)\(−3\)\(8\) \(5\)є хорошими кандидатами; Оскільки продукт має бути від'ємним, одне з цих значень має бути від'ємним.}\\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\;\;\;\;\;\;\\;\;\;\;\\;\ добуток є\(−40\) і їх сума дорівнює\(−3\).}\\ &\(−8\)\(5\) ; 4x^2 − 8x + 5x − 10 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\ & (4x^2 − 8x) + (5x − 10) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\(−3x\) x (x − 2) + 5 (x − 2) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; присутній}\\ & (4x + 5) (x − 2) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; {Рішення. Обов'язково перевіряйте FOIL.} \ end {масив}\)
    1. \(\begin{array} &&8x^2 − 2x − 3 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &8x^2 − 2x − 3 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Product \(ac\)є\(8∗(−3) = −24\), Сума є\(b = −2\). Щоб використовувати коефіцієнт шляхом групування,}\\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ текст {\(6\)і\(4\) хороші\(−24\)\(−2\) candidates; Оскільки твір має бути від'ємним, одне з цих значень має бути від'ємним.}\\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\;\;\;\\;\;\;\\;\ &8x^2 + 4x − 6x − 3 &\;\;\(−6\)\(4\)\(−24\)\(−2\) \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {Порядок двох середніх членів не має значення.}\\ & (8x^2 + 4x) + (−6x − 3) &\;\;\;\;\\(−2x\) ;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {Створити пари термінів. Зверніть увагу на додавання між дужками;}\\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {третій з чотирьох термінів тут був від'ємним, тому знак залишається з терміном.}\\\ &4x (2x + 1) + (−3) (2x + 1) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; GCF з кожної пари- завжди присутній повторюваний біноміальний коефіцієнт}\\ & (4x − 3) (2x + 1) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {Розв'язок. Обов'язково перевіряйте FOIL.} \ end {масив}\)
    1. \(\begin{array} && 12x − 14x^3 + 22x^2 &\text{Example problem} \\ &−14x^3 + 22x^2 + 12x &\text{Reorder the terms in decreasing order of variable degree.} \\ &2x(−7x^2 + 11x + 6) &\text{Factor out the GCF so a trinomial results that can be factored using factor by grouping.} \\ & &\text{The GCF of \(2x\)буде включено до остаточної відповіді, тому не забувайте про неї.}\\ &−7x^2 + 11x + 6 &\ text {Продукт\(ac\) є\(−7 ∗ 6 = −42\), сума є\(b = 11\). Для використання коефіцієнта шляхом групування,}\\ & &\ text {два середніх члени, які помножити на добуток\(−42\) і додати до суми\(11\).}\\ & &\ text {Немає чисел, які відповідають обом цим вимогам,}\\ & &\ text {що означає, що триноміал не може бути факторинним в цілочисельні множники.}\\ &−7x^2 + 11x + 6 &\ text {Щоб знайти множники та нулі многочлена, скористайтеся квадратичною формулою.}\\ & &\ text {Let\(a = −7\)\(b = 11\),\(c = 6\)}\\ &x =\ dfrac {−11 ±\ sqrt {11^2 − 4 (−7) (6)}} {2 (−7)} &\ text {Квадратична формула}\\ &x =\ dfrac {−11 ±\ sqrt {121 + 168}} {-14} &\ текст {Спрощення}\\ &x =\ dfrac {11 ±\ sqrt {289}} {14} &\ текст {Розділити\(−1\) від усіх термінів}\\ &x =\ dfrac {11 ±\\ sqrt {289}} {14} = 2,\;\; x =\ dfrac {11 −\ sqrt {289}} {14} = −\ dfrac {3} {7} &\ text {Точні відповіді для нулів у радикальній формі з подальшим дійсним числом форма.}\\ & (x − 2),\;\; (x + -\ dfrac {3} {7}) &\ text {Фактори. Подбайте про те, щоб вставити правильне\(±\) в фактори.}\\ & &\ text {Знайдіть рішення, а потім зворотний інженер, щоб з'ясувати фактор, який створить це рішення.}\\ & &\ text {Першим рішенням з квадратичної формули було\(x = 2\).}\\ & &\ text {Коефіцієнт \((x − 2)\)якщо встановлено рівне,\(0\) буде вироблено рішення\(x = 2\).}\\ & &\ text {Другим розв'язком з квадратичної формули було\(x = −\dfrac{3}{7}\).}\\ & &\ text {\((x + −\dfrac{3}{7})\)Коефіцієнт буде виробляти розв'язок\(x = −\dfrac{3}{7}\).}\\ &2x (x − 2) (x +\ dfrac {3} {7}) &\ text { Поліноміальні фактори, включаючи початковий GCF, який був врахований на початку цієї задачі.} \ end {масив}\)
    1. \(\begin{array} && \dfrac{(x^2 + 1)^2 (−2) + (2x)2(x^2 + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^4} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &\dfrac{2(x^2 + 1)[(x^2 + 1)(−1) + (x)2(2x)]}{(x^2 + 1)(x^2 + 1)^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Factor out the GCF from the numerator.} \\ &\dfrac{2\cancel{(x^2 + 1)}[(x^2 + 1)(−1) + (x)2(2x)]}{\cancel{(x^2 + 1)}(x^2 + 1)^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Remove common factors.} \\ &\dfrac{2[(x^2 + 1)(−1) + (x)2(2x)]}{(x^2 + 1)^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Remove common factors.} \\ &\dfrac{2[−x^2 − 1 + 4x^2]}{(x^2 + 1)^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Simplify} \\ &\dfrac{2(3x^2 − 1)}{(x^2 + 1)^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Final answer.} \end{array}\)
    1. \(\begin{array} &&\dfrac{(2x + 1)^{\frac{1}{2}} − (x + 2)(2x + 1)^{-\frac{1}{2}}}{2x + 1} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &\dfrac{(2x + 1)^{\frac{1}{2}} −\dfrac{(x + 2)}{(2x + 1)^{\frac{1}{2}}}}{2x + 1} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Write the expression with a positive exponent (move it to the denominator).} \\ &\dfrac{(2x + 1)^{\frac{1}{2}}(2x + 1)^{\frac{1}{2}} − (x + 2)}{\dfrac{(2x + 1)^{\frac{1}{2}}}{2x + 1}} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Write the numerator with a common denominator.} \\ &\dfrac{2x + 1 − x − 2}{(2x + 1)^{\frac{1}{2}} (2x + 1)} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Simplified.} \\ &\dfrac{2x + 1 − x − 2}{(2x + 1)^{\frac{3}{2}}} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Final answer.} \end{array}\)
    Вправа Template:index

    Фактор за допомогою будь-якого методу, розглянутого в цьому розділі:

    1. \(5x^2 − 23x − 10\)
    2. \(8x^2 + 2x − 3\)
    3. \(3x^2 − 7x − 6\)
    4. \(10x^2 + 13x − 5\)
    5. \(12x^5 − 17x^4 + 6x^3\)
    6. \(\dfrac{(2x^2 − 1)^2 (−2) + (2x)2(2x^2 − 1)(2x)}{(2x^2 − 1)^4}\)
    7. \(\dfrac{2(2x − 3)^{\frac{1}{3}} − (x − 1)(2x − 3)^{-\frac{2}{3}}}{2x − 3^{\frac{2}{3}}}\)

    Квадратична формула

    Визначення: Квадратична формула

    Квадратична формула використовується для розв'язання (або пошуку нулів) полінома (квадратного рівняння) ступеня\(2\), який знаходиться у формі\(ax^2 + bx + c = 0\). Квадратична формула така:

    \[x = \dfrac{−b ± \sqrt{b^2 − 4ac}}{2a} \nonumber \]

    де\(a\)\(b\), і\(c\) - коефіцієнти стандартної форми квадратного рівняння,\(ax^2 + bx + c = 0\).

    Приклад Template:index

    Для наступних функцій знайдіть всі нулі\(f\) використання квадратичної формули. Висловлюйте остаточну відповідь як точні відповіді (в радикальній формі), а також у вигляді десяткових знаків, округлених до тисячного місця.

    1. \(f(x) = −2x^2 + 4x − 1\)
    2. \(f(x) = x^3 − 3x^2 − 4x\)
    Рішення
    1. Набір\(f(x) = 0: −2x^2 + 4x − 1 = 0\). Ця функція пишеться у вигляді\(ax^2 + bx + c = 0\), з\(a = −2\),\(b = 4\) і\(c = −1\).

    Заміна\(a\),\(b\) а\(c\) в квадратичної формулі цими значеннями:

    \(\begin{array} &&x = \dfrac{−4 ± \sqrt{4^2 − 4(−2)(−1)}}{2(−2)} &\;\;\;\;\;\text{Quadratic Formula} \\ &x = \dfrac{−4 ± \sqrt{(16 − 8)}}{−4} &\;\;\;\;\;\text{Simplify} \\ &x = \dfrac{−4 ± \sqrt{8}}{−4} &\;\;\;\;\;\text{Simplify} \\ &x = \dfrac{−4 ± 2 \sqrt{2}}{−4} &\;\;\;\;\;\text{Simplify the radical} \\ &x = \dfrac{2 ± \sqrt{2}}{2} &\;\;\;\;\;\text{Exact answers in radical form} \\ &x = \dfrac{2 − \sqrt{2}}{2} ,\;\; x = \dfrac{2 + \sqrt{2}}{2} &\;\;\;\;\;\text{Exact answers written as two roots} \\ &x = 0.293 \text{ and } x = 1.707 &\;\;\;\;\;\text{Approximation answers rounded to the thousandths place} \end{array}\)

    1. Функція\(f(x) = x^3 − 3x^2 − 4x\) є кубічною функцією. Коефіцієнт\(x\) з усіх трьох членів перед використанням Квадратного рівняння на триноміальному коефіцієнті:\(x(x^2 − 3x − 4) = 0\), з\(a = 1\),\(b = −3\) і\(c = −4\).

    Не забувайте, що те\(x\), що було враховано, є коренем, а саме\(x = 0\).

    Заміна\(a\),\(b\) а\(c\) в квадратичної формулі цими значеннями:

    \(\begin{array} &&x = \dfrac{3 ± \sqrt{(−3)2 − 4(1)(−4)}}{2(1)} &\text{Quadratic Formula} \\ &x = \dfrac{3 ± \sqrt{(16 + 9)}}{2} &\text{Simplify} \\ &x = \dfrac{3 ± \sqrt{25}}{2} &\text{Simplify} \\ &x = \dfrac{3 ± 5}{2} &\text{Simplify further} \\ &x = \dfrac{3 − 5}{2} ,\;\;x = \dfrac{−2}{2} ,\;\; x = −1 &\text{Second root (first root is \(x = 0\))}\\ &x =\ dfrac {3 + 5} {2},\;\; x =\ dfrac {8} {2},\;\; x = 4 &\ text {третій корінь}\ кінець {масив}\)

    Існує три рішення, або корені кубічної функції\(f(x) = x^3 − 3x^2 − 4x: x = 0\),\(x = −1\) і\(x = 4\).

    Вправа Template:index

    Для наступних функцій знайдіть всі нулі\(f\) використання квадратичної формули. Висловлюйте остаточну відповідь як точні відповіді (в радикальній формі), а також у вигляді десяткових знаків, округлених до тисячного місця.

    1. \(f(t) = 9t^3 − 18t^2 + 6t\)
    2. \(f(x) = x^5 − 4x^4 − 32x^3\)
    3. \(f(x) = 18 − 3x − 2x^2\)
    4. \(f(x) = 12x^2 + 11x − 5\)
    5. \(f(x) = 3x^2 − 6x + 2\)