7.5: Форми рівняння прямої

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66049

Victoria Dominguez, Cristian Martinez, & Sanaa Saykali
Citrus College via ASCCC Open Educational Resources Initiative

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У попередньому розділі пояснювалися рівняння вертикальних і горизонтальних ліній. Тепер відкрийте ще три форми рівнянь прямої, а саме: Форма нахилу-Перехоплення, Точка-нахил Форма та Стандартна форма.

Форма перехоплення нахилу рівняння прямої

Визначення: Форма перехоплення нахилу

Форма нахилу-перехоплення рівняння прямої має вигляд:

\[y = mx + b \nonumber \]

Де$m$ - нахил лінії та$(0, b)$$y$ −перехоплення.

Зауважте, що$y$ -intercept є точкою, де лінія перетинає$y$ вісь −, тобто коли$x = 0$.

Приклад Template:index

Напишіть рівняння прямої з заданими нахилами і$y$ -перехопленнями.

нахил =$5$;$y$ −перехоплення$(0, \dfrac{1}{2})$
нахил =$−\dfrac{5}{6}$;$y$ − перехоплення$(0, −\dfrac{3}{4})$

Рішення

$m = 5$і$b = \dfrac{1}{2}$

Рівняння прямої є для$y = mx + b$. Таким чином,

$\begin{array} &&y = mx + b &\text{Slope-intercept form} \\ &= 5x + \dfrac{1}{2} &\text{Substitute \(m = 5$і$b = \dfrac{1}{2}$}\ end {масив}\)

Отже,$y = 5x + \dfrac{1}{2}$ є рівнянням лінії з заданим нахилом і$y$ -перехоплення.

Дано$m = −\dfrac{5}{6}$ і$b = −\dfrac{3}{4}$

Таким чином,

$\begin{array} &&y = mx + b &\text{Slope-intercept form} \\ &= −\dfrac{5}{6}x −\dfrac{3}{4} &\text{Substitute values} \end{array}$

Отже,$y = −\dfrac{5}{6}x − \dfrac{3}{4}$ є рівнянням лінії з заданим нахилом і$y$ -перехоплення.

Приклад Template:index

Визначте нахил і$y$ −intercept потім, використовуйте їх для графіку кожного рядка.

$y = −2x + 4$
$5y − 3x = 10$

Рішення

а. зверніть увагу, що дане лінійне рівняння знаходиться у формі перехоплення нахилу. Отже,$m = −2$ або еквівалентно,$m = −\dfrac{2}{1}$ і$b = 4$

$m$- це ухил лінії, потім$m = \dfrac{\text{rise}}{\text{run}} = −\dfrac{2}{1}$. Для побудови графіка лінії наведіть на графік не менше двох точок. Почніть з$y$ −intercept$(0, 4)$ і пересуньте вниз$2$, а потім рухайтеся до правого$1$ блоку, щоб побудувати другу точку. Тепер з'єднайте дві точки прямою лінією, як показано на малюнку нижче.

$clipboard_e5fcc0c548a6809df50a713b48295362a.png$

б. зверніть увагу, що незрозуміло, як визначити нахил і$y$ -перехоплення в цьому заданому лінійному рівнянні, оскільки він не знаходиться у формі нахилу-перехоплення. Таким чином, вирішити for$y$ щоб мати рівняння у формі нахилу-перехоплення наступним чином,

$\begin{array} &&5y − 3x = −10 &\text{Given} \\ &5y = 3x − 10 &\text{Add \(3x$до обох сторін рівняння}\\ &y =\ dfrac {3} {5} x − 2 &\ text {Розділити всі члени на$5$ ізолювати$y$}\ end {масив}\)

Тепер,$m = \dfrac{3}{5}$ і$b = −2$. Почніть з побудови$y$ -перехоплення,$(0, −2)$ а потім перемістіть$3$ одиниць вгору і$5$ одиниць вправо і побудуйте другу точку, яка є$(5, 1)$. Тепер з'єднайте дві точки, а саме,$(0, −2)$ і$(5, 1)$ щоб отримати графік лінії, показаної на малюнку нижче.

$clipboard_eca3205bebd002556f4570dc0193cd9f6.png$

Вправа Template:index

Напишіть рівняння прямої з заданим нахилом і$y$ -перехоплення.

нахил:$2$$y$ -перехоплення:$(0, \dfrac{3}{4})$
нахил:$\dfrac{5}{7}$$y$ -перехоплення:$(0, −6)$
нахил:$−\dfrac{1}{2}$$y$ -перехоплення:$(0, −\dfrac{7}{11} )$

Вправа Template:index

Визначте нахил і$y$ -перехоплення, а потім використовуйте їх для графіка кожного рядка.

$y = 5x − 3$
$2y = −6x + 1$

Точково-нахильна форма рівняння прямої

Визначення: Точка-нахил форми

Точка-нахил Форма рівняння прямої є:

\[y − y_1 = m(x − x_1) \nonumber \]

Де$m$ - нахил лінії і$(x_1, y_1)$ знаходиться будь-яка точка на прямій.

Приклад Template:index

Знайдіть рівняння кожної прямої, що проходить через задану точку і заданий нахил.

Нахил$3$ і точка$(−1, 8)$
Нахил$−\dfrac{5}{2}$ і точка$(\dfrac{4}{3}, \dfrac{1}{3})$

Рішення

Щоб знайти рівняння прямої через точку$(−1, 8)$ з ухилом$m = 3$, скористайтеся формою точка-нахил наступним чином:

$\begin{array} &&y − y_1 = m(x − x_1) &\text{Point-Slope form} \\ &y − 8 = 3[x − (−1)] &\text{Substitute \(m = 3$,$x_1 = −1$, і$y_1 = 8$}\\ &y − 8 = 3 (x + 1) &\ text {Спростити}\\ &y − 8 = 3x + 3 &\ text {Помножте обидва члени праворуч від рівняння на$3$}\\ &y = 3x + 11 &\ text {Додати$8$ до обох сторін рівності для ізоляції$y$}\ end {масив}\)

Отже,$y = 3x + 11$ є рівнянням прямої з заданим нахилом і точкою. Лінія знаходиться в ухилі-перехоплення вигляді.

Подібно до частини a, використовуйте форму «Точка-нахил» наступним чином:

$\begin{array} &&y − y_1 = m(x − x_1) &\text{Point-Slope form} \\ & y−(−\dfrac{1}{3}) = −\dfrac{5}{2} (x −\dfrac{4}{3}) &\text{Substitute \(m = −\dfrac{5}{2},\;\; x_1 = \dfrac{4}{3}$, і$y_1 = −\dfrac{1}{3}$}\ &y +\ dfrac {1} {3} = −\ dfrac {5} {2} x +\ dfrac {20} {6} &\ текст {Розподілити і спростити}\ &y = -\ dfrac {5} {2} x +\ dfrac {20} {6} −\ dfrac {1} {3} &\ підтекст {Витягувати$\dfrac{1}{3}$ з обох сторін}\\ &y = −\ dfrac {5} {2} x + 3 &\ text {Щоб об'єднати два дроби, зверніть увагу, що LCD$= 6$.}\\ & &\ text {Помножити чисельник і знаменник$\dfrac{1}{3}$ на$2$ і спростити:}\\ & &\ text {$\dfrac{20}{6} − \dfrac{1(2)}{3(2)} = \dfrac{20}{6} − \dfrac{2}{6} = \dfrac{18}{6} = 3$}\ end {масив}\)

Отже,$y = −\dfrac{5}{2}x + 3$ є рівнянням прямої через дану точку і заданий ухил.

Приклад Template:index

Знайти рівняння прямої заданих точок$(2, 4)$ і$(−3, 9)$.

Зверніть увагу, що раніше в цьому розділі пояснювалося, як знайти рівняння прямої з заданим нахилом і$y$ -перехоплення. У цьому розділі також пояснюється, як знайти рівняння прямої, заданої будь-якою точкою на лінії та нахилом. Отже, в обох методах дається ухил.

Рішення

Щоб знайти рівняння прямої, заданої будь-якими двома точками на прямій, спочатку знайдіть нахил, використовуючи формулу нахилу прямої. Після, нанесіть точку-нахил форми з будь-якою з заданих точок. Спочатку використовуйте дві точки, щоб знайти нахил лінії. Нехай$(x_1, y_1) = (2, 4)$ і$(x_2, y_2) = (−3, 9)$. Потім,

$\begin{array} &&m = \dfrac{y_2 − y_1}{x_2 − x_1} &\text{Slope of the line formula} \\ &= \dfrac{9 − 4}{−3 − 2} &\text{Substitute values} \\ &= \dfrac{5}{−5} &\text{Simplify} \\ &= −1 & \end{array}$

Тепер нахил був знайдений, тому далі знайдіть рівняння прямої, використовуючи будь-яку з заданих точок. Таким чином,$m = −1$ і розгляньте використання точки$(2, 4)$.

$\begin{array} &&y − y_1 = m(x − x_1) &\text{Point-slope form} \\ &y − 4 = −1(x − 2) &\text{Substitute \(m = −1$,$x_1 = 2$,$y_1 = 4$}\\ &y − 4 = −x + 2 &\ text {$-1$Розподілити на обидва терміни праворуч}\\ &y = −x + 6 &\ text {Додати$4$ до обох сторін рівняння для ізоляції$y$}\ end {масив}\)

Отже,$y = −x + 6$ рівняння прямої, що проходить через точку, що дає і має форму ухил-перехоплення.

Вправа Template:index

Знайдіть рівняння кожної прямої, що проходить через задану точку і має заданий нахил.

Нахил$−\dfrac{5}{2}$ і точка$(3, 0)$.
Нахил$\dfrac{1}{2}$ і точка$(−2, −3)$.

Вправа Template:index

Знайдіть рівняння прямої, заданої наступними точками.

$(−9, −3)$і$(6, −2)$
$(4, 1)$і$(−2, 2)$

Стандартна форма рівняння прямої (AKA загальна форма лінійного рівняння)

Визначення: Стандартна форма

Стандартна форма невертикальної лінії - у вигляді

\[Ax + By = C \nonumber \]

Де$A$ - натуральне число,$B$ і$C$ цілі числа з$B \neq 0$.

Приклад Template:index

Графік кожного рядка наступних рівнянь:

$4x − 3y = 6$
$\dfrac{1}{2} − y + 1 = 0$

Зверніть увагу, що$x$ -intercept - це точка, де лінія перетинає$x$ вісь -. Тобто, коли$y = 0$. Таким чином,$x$ -перехоплення - це точка виду$(a, 0)$, де$a$ знаходиться будь-яке дійсне число.

Рішення

Рівняння$4x − 3y = 6$ знаходиться в стандартній формі. Для побудови графіка лінії заданого рівняння можна використовувати більше одного методу. Наприклад, розв'язуючи$y$ для отримання рівняння в ухилі-перехоплення формі, потім, графік прямої. Також можна знайти дві точки, а потім графік лінії. Дві найпростіші точки, які можна швидко знайти, - це$x$ і$y$ перехоплює. Отже, цей спосіб рекомендується.

Щоб знайти$x$ -intercept, встановити$y = 0$ в даному рівнянні і вирішити для$x$ наступного,

$\begin{array} &&4x − 3y = 6 &\text{Given} \\ &4x − 3(0) = 6 &\text{Substitute \(y = 0$}\\ &4x = 6 &\ text {Спрощення}\\ &x =\ dfrac {6} {4} &\ text {Розділити на$4$ обидві сторони рівняння}\\ &x =\ dfrac {3} {2} &\ text {спростити}\ end {масив}\)

Отже,$x$ -перехоплення - це точка$(\dfrac{3}{2}, 0)$

Тепер, щоб знайти$y$ -intercept, встановити$x = 0$ наступним чином,

$\begin{array} &&4x − 3y = 6 &\text{Given} \\ &4(0) − 3y = 6 &\text{Substitute \(x = 0$}\\ &−3y = 6 &\ text {Спрощення}\\ &y = 6 −3 &\ text {Розділити на$−3$ обидві сторони рівняння}\\ &y = −2 &\ text {спростити}\ end {масив}\)

Тепер намалюйте точки$(\dfrac{3}{2}, 0)$$(0, −2)$ та намалюйте пряму лінію, яка проходить через них, як показано на малюнку нижче.

$clipboard_ede795f89eb03e5b448b62ec8dc0b7663.png$

$\dfrac{1}{2} x − y + 1 = 0$Рівняння не в стандартній формі. Отже, відніміть$1$ з обох сторін рівняння, щоб мати$\dfrac{1}{2}x − y = −1$ яке зараз у стандартному вигляді.

Знову ж, аналогічно частині b, знайдіть$x$ і$y$ -перехоплення. Спочатку знайдіть$x$ -intercept, встановивши$y = 0$ і вирішіть для$x$ наступного.

$ \begin{array} &&\dfrac{1}{2}x − y = −1 &\text{Standard form of the given equation} \\ &\dfrac{1}{2}x − (0) = −1 &\text{Substitute \(y = 0$}\\ &\ dfrac {1} {2} x = −1 &\ text {Спростити}\ &x = −2 &\ text {Помножити на$2$ обидві сторони рівняння.} \ end {масив}\)

Таким чином,$x$ -перехоплення - це точка$(−2, 0)$.

Тепер, встановити,$x = 0$ щоб знайти$y$ -intercept, наступним чином,

$ \begin{array} &&\dfrac{1}{2}x − y = −1 &\text{Standard form of the given equation} \\ &\dfrac{1}{2}(0) − y = −1 &\text{Substitute \(x = 0$}\\ &−y = −1 &\ text {Спростити}\ &y = 1 &\ text {Помножити на$-1$.} \ end {масив}\)

Отже,$y$ -перехоплення є$(0, 1)$.

Побудуйте$x$ і$y$ -перехоплення$(0, 1)$,$(−2, 0)$ а потім намалюйте пряму лінію, яка проходить через них, як показано на малюнку нижче.

$clipboard_e3475016017c80b2298d3517f4bef3bf0.png$

Для цього розділу немає домашнього завдання.