Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

7.3: Перпендикулярні лінії

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    66035

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Визначення: Перпендикулярні лінії

    Дві різні лінії\(l\) і\(q\) перпендикулярні, записуються\(l ⊥ q\), якщо їх перетин утворюють чотири прямих кути або кути з мірою\(90^{\circ}\). Нахили перпендикулярних ліній\(l\) і\(q\) негативні зворотні. Тобто,

    \[m_l = −\dfrac{1}{m_q} \nonumber \]

    і

    \[m_q = − \dfrac{1}{m_l} \nonumber \]

    Приклад Template:index

    Визначте, чи є дані лінії перпендикулярними. Лінія\(l\), яка проходить через точки\((0, 1)\) і\((1, 3)\), і лінія\(q\), яка проходить через точки\((−1, 4)\) і\((5, 1)\).

    Рішення

    Щоб визначити, чи є лінії перпендикулярними, спочатку знайдіть їх ухили, використовуючи формулу нахилу прямої. Нахил лінії\(l\)\(m_l\), яка проходить через точки\((0, 1)\) і\((1, 3)\) становить,

    \(\begin{array}s m_l &= \dfrac{3 − 1}{1 − 0} \\ &= \dfrac{2}{1} \\ &= 2 \end{array}\)

    Нахил лінії\(q\)\(m_q\), що проходить через точки\((−1, 4)\) і\((5, 1)\), становить

    \(\begin{array}s m_q &= \dfrac{1 − 4}{5 − (-1)} \\ &= \dfrac{-3}{6} \\ &= \dfrac{-1}{2} \end{array}\)

    Тепер лінії\(l\) і\(q\) перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли:

    \(m_l = −\dfrac{1}{m_q} \text{ and } m_q = −\dfrac{1}{m_l}\)

    \(m_l = 2\)і\(m_q = −\dfrac{1}{m_l} = −\dfrac{1}{2}\). Отже, нахили ліній негативні зворотні, тому можна зробити висновок, що лінії\(l\) і\(q\) є перпендикулярними лініями.

    Приклад Template:index

    Знайдіть нахил прямої перпендикулярної лінії\(l\), яка проходить через точки\((−3, 0)\) і\((3, 4)\).

    Рішення

    Почніть з пошуку нахилу лінії\(l\), яка проходить через точки\((−3, 0)\) і\((3, 4)\), використовуючи формулу нахилу прямої. Таким чином,

    \(\begin{array} s m_l &= \dfrac{y_2 − y_1}{x_2 − x_1} \\ &= \dfrac{4 − 0}{3 − (−3)} \\ &= \dfrac{4}{6} \\ &= \dfrac{2}{3} \end{array}\)

    Будь-яка лінія, перпендикулярна лінії,\(l\) повинна мати нахил, який є негативним зворотним її нахилу. З тих\(m_l = \dfrac{2}{3}\) пір нахил лінії, перпендикулярної лінії,\(l\) повинен бути\(m = −\dfrac{3}{2}\)

    Вправа Template:index

    Визначте, чи є дані лінії перпендикулярними.

    1. Лінія\(l\), яка проходить через точки\((0, 4)\)\((5, 3)\) і і лінія\(q\), яка проходить через точки\((1, 5)\) і\((−1, −5)\).
    2. Лінія\(l\), яка проходить через точки\((−2, −5)\)\((1, 7)\) і і лінія\(q\), яка проходить через точки\((−4, 1)\) і\((−3, −3)\).
    Вправа Template:index

    Знайдіть нахил прямої перпендикулярної:

    1. Лінія\(l\), яка проходить через точки\((4, 2)\) і\((−1, −2)\).
    2. Лінія\(q\), яка проходить через точки\((7, −8)\) і\((9, 1)\).