7.1: Нахил лінії

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66036

Victoria Dominguez, Cristian Martinez, & Sanaa Saykali
Citrus College via ASCCC Open Educational Resources Initiative

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Нагадаємо, що впорядковані пари можуть бути побудовані у вигляді точок прямокутної координатної площини. Через будь-які дві різні точки, графік прямої лінії,$l$.

Щоб описати лінію$l$ алгебраїчно, спочатку розглянемо нахил прямої формули.

Визначення: Нахил лінії

$m$Нахил лінії$l$, яка проходить через точки$(x_1, y_1)$ і$(x_2, y_2)$ становить

\[m = \dfrac{\text{rise}}{\text{run}} = \dfrac{y_2 − y_1}{x_2 − x_1} \text{ where } x_2 \neq x_1 \nonumber \]

$clipboard_ef5b30d9d90d175767e807356eeeb09d5.png$

Приклад Template:index

Знайдіть нахил лінії на малюнку нижче.

$clipboard_e363ff7b3bb533d1487bf37ba2e55050d.png$

Рішення

За вищевказаним визначенням формули нахилу прямої нахил лінії можна записати як$m = \dfrac{\text{rise}}{\text{run}}$. Почніть з вибору будь-яких двох точок$Q$,$P$ причому, на лінії. Виберіть точку$P$ бути$(2, 2)$ і точку$Q$, щоб бути$(1, 0)$.

Починаючи з точки$Q$, підніміться до точки,$P$ підраховуючи вгору квадрати$2$ сітки, що означає$\text{rise} = 2$. Тепер, щоб прийти до точки$P$,$\text{run}$$1$ сітка квадрат праворуч, це означає$\text{run} = 1$, що, як показано на малюнку нижче.

$clipboard_eb782dfab92d784f98c38e932215ff3af.png$

Таким чином,

$\begin{array} &&m = \dfrac{\text{rise}}{\text{run}} &\text{slope of a line formula} \\ &= \dfrac{2}{1} &\text{rise \(2$і запустити$1$}\\ &= 2\ end {масив}\)

Тому нахил лінії на малюнку є$m = 2$.

Приклад Template:index

Знайдіть нахил лінії, показаної на малюнку нижче.

$clipboard_e19cd2064387c2c10ad2af63dccc6440d.png$

Рішення

Подібно до Example$1$, почніть з вибору будь-яких двох точок$Q$,$P$ і, на лінії.

Примітка: Оскільки будь-які$2$ точки на лінії можуть бути обрані, буде простіше вибрати дві точки, які є цілими числами. Ці точки розташовані на лінії, а також на перетині двох ліній сітки. Наприклад, на малюнку буде простіше вибрати будь-які дві з наступних точок на даній лінії:$(2, 0)$,,$(0, 1)$,$(4, −1)$,$(6, −2)$,$(−4, 3)$$(−6, 4)$, і так далі...

Нахил однаковий для будь-яких двох точок$P$ і$Q$ на лінії. Виберіть точку$P_1$ бути$(0, 1)$ і точку$Q_1$, щоб бути$(2, 0)$. Починаючи з точки$P_1$, досягайте точки, спочатку$Q_1$ виконуючи квадрати$2$ сітки вправо, що означає, що$\text{run} = 2$. Тепер, щоб прийти до точки$Q_1$ відліку вниз квадрат$1$ сітки. Зверніть увагу, що$\text{rise} = -1$ що означає перемістити$1$ блок вниз, як показано на малюнку нижче.

$clipboard_eae1964d11eb4f5c0410a5ca79250683d.png$

$\begin{array} &&m = \dfrac{\text{rise}}{\text{run}} &\text{slope of a line formula} \\ &= \dfrac{−1}{2} &\text{rise = \(-1$і запустити =$2$}\ end {масив}\)

Тому нахил лінії на малюнку вище дорівнює$m = −\dfrac{1}{2}$.

Тепер виберіть точку бути$(-2, 2)$ і$P_2$ вказувати,$Q_2$ щоб бути$(-6, 4)$, як показано на малюнку вище. Починаючи з точок$P_2$, досягайте точки, спочатку$Q_2$ виконуючи квадрати$4$ сітки вліво, що означає, що$\text{run} = -4$. Тепер, щоб прийти до точки$Q_2$ підрахунку вгору$2$ сітки квадратів. Таким чином,$\text{rise} = 2$. Ухил є$m = \dfrac{2}{−4} = −\dfrac{1}{2}$. Зверніть увагу, нахил однаковий незалежно від того, які$2$ точки ми розглядаємо на даній лінії.

Приклад Template:index

Знайдіть нахил лінії, яка проходить через неї$(3, 2)$ і$(4, 4)$ використовуючи формулу нахилу. Графік лінії, яка проходить через задані точки.

Примітка: Порядок позначення точок не матиме ніякої різниці в нахилі формули лінії, доки існує послідовність.

Рішення

Нехай$(x_1, y_1) = (3, 2)$ і$(x_2, y_2) = (4, 4)$ тоді,

$\begin{array} &&m = \dfrac{y_2 − y_1}{x_2 − x_1} &\text{slope of a line formula} \\ &= \dfrac{4 − 2}{4 − 3} & \\ &= \dfrac{2}{1} &\text{rise \(= 2$і запустити$= 1$}\\ &= 2 &\ end {масив}\)

Тому нахил лінії, що проходить через точки$(3, 2)$ і$(4, 4)$ є$m = 2$. Лінія, яка проходить через задані точки, така, як показано на малюнку нижче.

$clipboard_e274e9e3b46b3eff108909c81ba819a08.png$

Зверніть увагу, що коли лінія піднімається зліва направо, лінія має позитивний нахил.

Приклад Template:index

Знайти нахил лінії, яка проходить через точки$(−1, 2)$ і$(3, −4)$. Побудуйте точки і намалюйте графік лінії.

Рішення

Нехай$(x_1, y_1) = (-1, 2)$ і$(x_2, y_2) = (3, -4)$ тоді,

$\begin{array} &&m = \dfrac{y_2 − y_1}{x_2 − x_1} &\text{slope of a line formula} \\ &= \dfrac{-4 − 2}{3 − (-1)} & \\ &= \dfrac{-6}{4} &\text{Simplify} \\ &= -\dfrac{3}{2} & \end{array}$

Визначення: Негативний нахил

Тепер, щоб провести графік лінії через задані точки, спочатку нанесіть дві точки, потім проведіть пряму лінію через них, як показано на малюнку нижче.

$clipboard_e8812e320ff1738607c4d0a7b47b2cb52.png$