6.2: Розв'язування рівнянь абсолютного значення

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66120

Victoria Dominguez, Cristian Martinez, & Sanaa Saykali
Citrus College via ASCCC Open Educational Resources Initiative

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Для вирішення абсолютних рівнянь спочатку розглянемо наступні дві властивості абсолютного значення:

Визначення: Властивості абсолютного значення

Властивість 1: Для$b > 0$,$|a| = b$ якщо і тільки якщо$a = b$ або$a = −b$

Властивість 2: Для будь-яких дійсних чисел$a$ і$b$,$|a| = |b|$ якщо і тільки якщо$a = b$ або$a = −b$

Перш ніж застосувати властивість 1, ізолюйте вираз абсолютного значення в обидві сторони рівняння.
Перевірте рішення, підставивши їх назад у вихідне рівняння.
Рішення представлені у вигляді розв'язкової множини виду$\{p, q\}$, де$p$ і$q$ є будь-які дійсні числа.
Набір розв'язків рівняння абсолютного значення графується у вигляді точок на числовій лінії.

Приклад Template:index

Розв'яжіть кожне рівняння і графуйте набір рішень.

$|x| = 7$
$|5x – 3| = 2$
$|20 – x| = −80$

Рішення

Щоб вирішити$|x| = 7$, застосуйте Property 1 з$a = x$ і$b = 7$.

Тому рішення є,$x = −7$ і$x = 7$, і рішення набір є$\{-7,7\}$. Графік набору рішень такий, як показано на малюнку нижче.

$clipboard_e4e661622afb19f733118b1049d678a57.png$

Метод рівняння-розв'язування, який використовується в частині a, може бути поширений на задане рівняння в цій частині за допомогою$a = 5x – 3$ і$b = 2$.

Таким чином, рівняння$|5x – 3| = 2$ абсолютного значення еквівалентно:

$\begin{array} &&5x − 3 = 2 &\text{ or } &5x − 3 = −2 &\text{Property 1} \\ &5x = 5 &\text{ or } &5x = 1 &\text{Add \(3$до обох сторін рівнянь}\\ &x = 1 &\ text {або} &x =\ dfrac {1} {5} &\ text {Розділити на$5$ обидві сторони рівнянь}\ end {масив}\)

Тепер перевірте, чи$x = \dfrac{1}{5}$ є$x = 1$ і є розв'язками заданого рівняння абсолютного значення.

$\begin{array} &&\text{For } x = 1 &\text{For } x = \dfrac{1}{5} &\\ &|5x − 3| = 2 &|5x − 3| = 2 &\text{Given} \\ &|5(1) − 3| \stackrel{?}{=} 2 &|5 \left( \dfrac{1}{5} \right) − 3| \stackrel{?}{=} 2 &\text{Substitute the \(x$-значення}\ &|5 − 3|\ stackerl {?} {=} 2 &|1 − 3|\ стек {?} {=} 2 &\ текст {спростити}\ &|2|\ stackrel {?} {=} 2 &|− 2|\ стек {?} {=} 2 &\ text {Застосувати визначення абсолютного значення}\\ &2 = 2\;\ галочка &2 = 2\;\ галочка\ end {масив}\)

Так як наведені вище рівняння є істинними, то,$x = 1$ і$x = \dfrac{1}{5}$ є розв'язками заданого абсолютного значення рівняння. Набір рішень є$\left\{\dfrac{1}{5} , 1\right\}$. Графік набору рішень такий, як показано на малюнку нижче.

$clipboard_e78f4a9bbcf248134874230631b7dada3.png$

Оскільки абсолютне значення ніколи не може бути від'ємним, немає дійсних чисел$x$, які роблять$|20 – x| = −80$ правдою. Рівняння не має рішення, і набір рішень є$∅$.

Приклад Template:index

Розв'яжіть та графуйте набір рішень.

$\left| \dfrac{4}{3} x + 3 \right| + 8 = 18$
$4 \left| \dfrac{1}{3}x − 6 \right| − 5 = −5$
$|4x – 3| = |x + 6|$

Рішення

Зверніть увагу, що вираз абсолютного значення не ізольовано, що означає, що властивості не можуть бути застосовані. Спочатку ізолюйте$\left| \dfrac{4}{3}x + 3 \right|$ з лівого боку рівняння, потім застосуйте Property 1.

$\begin{array} &&\left| \dfrac{4}{3} x + 3 \right| + 8 = 18 &\text{Given equation} \\ & \left| \dfrac{4}{3} + 3 \right| = 10 &\text{Subtract \(8$з обох сторін рівняння}\ end {масив}\)

З абсолютним значенням тепер ізольованим,$\left| \dfrac{4}{3} + 3 \right| = 10$ вирішуйте за допомогою Property 1, з$a = \dfrac{4}{3} x + 3$ і$b = 10$ наступним чином,

$\begin{array} && &\left| \dfrac{4}{3} + 3 \right| = 10 & & \\ &\dfrac{4}{3} + 3 = 10 &\text{ or } & \dfrac{4}{3} + 3 = -10 &\text{Property 1} \\ &\dfrac{4}{3} x = 7 &\text{ or } &\dfrac{4}{3}x = −13 &\text{Subtract \(3$з обох сторін}\\ &x =\ dfrac {21} {4} &\ text {або} &x = −\ dfrac {39} {4} &\ text {множити обидві сторони на$\dfrac{3}{4}$}\ end {масив}\)

Перевірте розв'язки$x = −\dfrac{39}{4}$ і$x = \dfrac{21}{4}$ підставивши їх у вихідне абсолютне рівняння. Набір рішень є$\left\{ −\dfrac{39}{4}, \dfrac{21}{4} \right\}$ і графік набору рішень, як показано на малюнку нижче.

$clipboard_e42b1bbc90f71c52e8a95664a185e2c67.png$

Подібно до частини a, виділяють вираз абсолютного значення. Отже, спочатку ізолюйте$\left| \dfrac{1}{3} x − 6 \right|$ з лівого боку рівняння і застосуйте Property 1.

$\begin{array} &&4 \left| \dfrac{1}{3}x − 6 \right| − 5 = −5 &\text{Given equation} \\ &4 \left| \dfrac{1}{3}x − 6 \right| = 0 &\text{Add \(5$до обох сторін рівняння}\\ &\ left|\ dfrac {1} {3} x − 6\ right| = 0 &\ text {Розділити на$4$ обидві сторони рівняння}\ end {масив}\)

Абсолютна величина ізольована. Оскільки$0$ це єдине число, абсолютне значення якого є$0$, вираз$\dfrac{1}{3}x − 6$ має дорівнювати$0$. Отже,

$\begin{array} &&\dfrac{1}{3}x − 6 = 0 & \\ &\dfrac{1}{3}x − 6 &\text{Add \(6$до обох сторін рівняння}\\ &x = 18 &\ text {Помножити обидві сторони на$3$}\ end {масив}\)

Рішення є$18$ і набір рішень є$\{18\}$. Переконайтеся, що воно відповідає вихідному рівнянню. Графік набору рішень такий, як показано на малюнку нижче.

$clipboard_e2acd5153df84bfef5569962926db627b.png$

$|4x − 7| = |x + 14|$Зверніть увагу, що для вирішення$|4x − 7| = |x + 14|$, використовуйте Property 2 з$a = 4x − 7$ і$b = x + 14$.

$\begin{array} && &|4x − 7| = |x + 14| & &\text{Given} \\ &4x−7 = x+14 &\text{ or } &4x − 7 = −(x + 14) &\text{Property 2} \\ &4x−7 = x+14 &\text{ or } &4x − 7 = −x − 14 &\text{Distribute \(−1$щоб спростити правильне рівняння}\\ &4x = x + 21 &\ text {або} &4x = −x − 7 &\ text {Додати$7$ до обох сторін кожної рівності}\\ &3x = 21 &\ text {or} &5x = −7 &\ text {спростити}\\ &x = 7 &\ text {або} &x = −\ dfrac {7} {5}\ text {Розділити кожне рівняння на $x$-коефіцієнт}\ end {масив}\)

Перевірте розв'язки$x = −\dfrac{7}{5}$ і$x = 7$ підставивши їх у вихідне абсолютне рівняння. Набір рішень є$\left\{ −\dfrac{7}{5}, 7\right\}$. Графік рішення такий, як показано на малюнку нижче.

$clipboard_eb0f0ab26e578678046e463bf1d8ac854.png$

Вправа Template:index

Вирішіть кожне рівняння, перевірте рішення і графік набору рішень.

$|x| = 19$
$|x − 4| = 10$
$|2x − 5| = 12$
$\left|\dfrac{x}{11} \right| = 2.5$
$|x − 3.8| = −2.7$
$|3x − 4.5| = 9.3$
$\dfrac{8}{3} |x − 6| = 14$
$|x + 15| − 19 = 7$
$|11x + 3| + 28 = 16$
$ \left| \dfrac{8}{7} x + 9 \right| − 2 = 8$
$ −3|2x − 7| + 13 = 13$
$ 8 − 5|10x + 6| = 5$
$ |5x − 14| = |3x − 9|$
$ |15x| = |x − 21|$
$ |4x − 7| = |5(2x + 3)|$
$ \dfrac{7}{8} = \dfrac{3x}{2} + \dfrac{2x}{5}$