Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

5.9: Раціональні показники

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    66018

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Показники не завжди є цілими числами. У цьому розділі будуть розглядатися випадки, коли показник є раціональним числом. Коли показник є раціональним числом, вираз може бути записано як вираз з радикалом. Правило полягає в тому, щоб написати свою відповідь у тій же формі, що і вихідна задача (якщо ви починаєте з експонентів, закінчуєте показниками, або якщо ви починаєте з радикалів, закінчуєте радикалами).

    Визначення: Раціональні показники форми\(\dfrac{1}{n}\)

    Для будь-якого дійсного числа\(a\) і будь-якого цілого числа\(n\) вираз з показником\(\dfrac{1}{n}\) може бути виражений наступним чином

    \[a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \nonumber \]

    Примітка:\(n\) це індекс в радикалі. \(\sqrt[n]{a}\)читається "n-й корінь a»

    Примітка: Якщо радикал не має видимого індексу, за замовчуванням індекс є\(2\) (квадратний корінь). Індекси більше ніж\(2\) будуть відзначені на радикалі.

    Приклад Template:index
    1. \((4)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2\)\(\text{Index is \(2\)за замовчуванням}\)
    2. \( (x)^{\frac{1}{7}} = \sqrt[7]{x}\)\(\text{Index is \(7\)}\)
    3. \((−3y)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{(-3y)}\)\(\text{Index is \(3\)}\)

    Тепер, Давайте подивимося, що відбувається, коли показник є раціональним числом з чисельником\(\neq 1\).

    Визначення: Раціональні показники форми\(\dfrac{m}{n}\)

    Для будь-якого дійсного числа\(a\)\(n\) і будь-якого цілого числа і\(m\) вираз з показником\(\dfrac{m}{n}\) може бути виражений наступним чином

    \[a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \text{ or } (\sqrt[n]{a})^m \nonumber \]

    Примітка:\(n\) це індекс в\(m\) радикалі і є силою бази.

    Приклад Template:index

    Напишіть наступне в радикальній формі

    1. \((x)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[3]{x})^2\)\(\text{Index is \(3\)і база піднімається в силу\(2\).}\)
    2. \((5t)^{\frac{7}{8}} = \sqrt[8]{5t^7} = (\sqrt[8]{5t})^7\)\(\text{Index is \(8\)і база піднімається до\(7\) потужності.}\)
    3. \((x)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[3]{x})^2\)\(\text{Index is \(3\)і база піднята до влади\(2\).}\)
    4. \(\begin{array} &&(z)^{−\frac{5}{9}} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Given} \\ &= \dfrac{1}{(z)^{\frac{5}{9}}} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Negative exponent rule applied} \\ &= \dfrac{1}{\sqrt[9]{x^5}} \text{ or } \left( \dfrac{1}{\sqrt[9]{x}} \right)^5 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Rational exponent written as a radical.} \end{array}\)
    5. \(\left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{5}{7}} = \sqrt[7]{\dfrac{3}{4}^5}\)\(\text{Rational exponent written as radical with index \(7\)і база піднята до влади\(5\).}\)
    Вправа Template:index

    Напишіть наступне в радикальній формі.

    1. \((x)^{\frac{5}{7}}\)
    2. \((xy)^{\frac{9}{8}}\)
    3. \((x)^{\frac{9}{5}}\)
    4. \((z)^{−\frac{11}{13}}\)
    5. \(\left( \dfrac{x}{4} \right)^{\frac{6}{9}}\)
    6. \(6(y)^{\frac{1}{17}}\)
    7. \((6y)^{\frac{1}{17}}\)
    8. \(\left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{x}{y}}\)
    9. \(\left( \dfrac{7}{4} \right)^{(−\frac{x}{y})}\)