5.5: Правило негативного показника
- Page ID
- 66028
У розділі 5.3 показник числа в чисельнику був більше показника числа в знаменнику. У розділі 5.4 показник числа в чисельнику дорівнював показнику числа в знаменнику. У розділі 5.5 показник числа в знаменнику може бути більше показника числа в чисельнику.
Для будь-якого ненульового дійсного числа a та будь-якого цілого числа n правило від'ємного показника є наступним
\(a^{−n}= \dfrac{1 }{a^n} or \dfrac{1 }{a^{−n}} = a^n\)
Погана форма в математиці залишати негативні показники у відповіді. Усі відповіді завжди будуть спрощені, щоб показати позитивні показники.
Як це працює?
Нагадаємо:
\[\begin{align*} 2^3 &= 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \\[4pt] 2^2 &= 2 \cdot 2 = 4 \\[4pt] 2^1 &= 2 = 2 \\[4pt] 2^0 &= 1 \end{align*} \nonumber \]
Що відбувається з негативними показниками?
\[\begin{align*} 2^{−1 } &= \dfrac{1 }{2^1 }= \dfrac{1 }{2} \\[4pt] 2^{−2 } &= \dfrac{1}{2^2} = \dfrac{1}{ 4} \end{align*} \nonumber \]
Нагадаємо: З останнього розділу,
\[\begin{align*} x^3 = \textcolor{blue}{x \cdot x \cdot x} \\[4pt] x^5 &= \textcolor{red}{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x} \end{align*} \nonumber \]
Їх частка:
\(\dfrac{x^3 }{x^5} = \dfrac{x \cdot x \cdot x }{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x }= \dfrac{\textcolor{blue}{\cancel{x \cdot x\cdot x }}}{\textcolor{red}{\cancel{x \cdot x\cdot x \cdot x \cdot x }}}=\dfrac{ 1 }{\textcolor{red}{x \cdot x }}= \dfrac{1 }{x^2}\)
Застосовуйте правило частки, щоб отримати еквівалентний результат.
\(\dfrac{x^3 }{x^5} = x^{3−5 }= x^{−2}\)
Використання правила негативного показника.
\(x^{−2 }= \dfrac{1 }{x^2}\).
Перегляньте наведені нижче приклади, щоб допомогти зрозуміти процес спрощення за допомогою коефіцієнтного правила показників та правила негативного показника.
Підказка: Будьте терплячі, не поспішайте і будьте обережні при спрощенні!
Спростіть наступний вираз до єдиної бази лише з додатними показниками.
\(\dfrac{t^5}{ t^11}\)
Рішення
\(t^{5−11 }= t^{−6 }= \dfrac{1 }{t^6}\)
Спростіть наступний вираз до єдиної бази лише з додатними показниками.
\(\dfrac{x^{3} \cdot x^{11} }{x \cdot x^{15}}\)
Рішення
\(\dfrac{x^{ 3+11 }}{x^{1+15 }}= \dfrac{x^14 }{x^16 }= x^{14−16 }= x^{−2 }= \dfrac{1}{x^2}\)
Спростіть наступний вираз до єдиної бази лише з додатними показниками.
\(\dfrac{2y^3 }{7y^7}\)
Рішення
\(\dfrac{2 }{7} \cdot \dfrac{y^3 }{y^7 }= \dfrac{2 }{7} \cdot y^{3−7 }= \dfrac{2 }{7 }\cdot y^{−4} = \dfrac{2 }{7 }\cdot \dfrac{1 }{y^4 }= \dfrac{2 }{7y^4}\)
Спростіть наступний вираз до єдиної бази лише з додатними показниками.
\(-\dfrac{\sqrt{3}z^6}{ z^7}\)
Рішення
\(− \sqrt{3} \cdot \dfrac{z^6 }{z^7} = − \sqrt{3} \cdot z^{6−7 }= − \sqrt{3} \cdot z^{−1} = − \sqrt{3} \cdot \dfrac{1 }{z} = − \dfrac{\sqrt{3}}{z}\)
У прикладах 3 та 4 вкажіть константу, щоб чітко бачити загальні основи.
Спростіть наступний вираз до єдиної бази лише з додатними показниками.
\(\dfrac{1}{ a^{−9}}\)
Рішення
\(a^9\)
Спростіть наступний вираз до єдиної бази лише з додатними показниками.
\(\dfrac{x^3 }{x^{−5}}\)
Рішення
\(x^{3−(−5) }= x^{3+5 }= x^{8}\)
Спростіть наступний вираз до єдиної бази лише з додатними показниками.
\(\dfrac{c^{−7 }}{c^{−3}}\)
Рішення
\(c^{(−7)−(−3) }= c^{−7+3 }= c ^{−4} = \dfrac{1 }{c^4}\)
У прикладах 6 та 7 часткове правило експонентів було використано перед зміною показників на позитивні показники. Ті ж результати отримують шляхом розширення та зміни показників спочатку на позитивні показники, а потім застосовуючи часткове правило експонентів.
Спростіть наведені нижче вирази до єдиної бази лише з додатними показниками.
- \(\dfrac{p^4}{ p^{13}}\)
- \(-\dfrac{k^2 \cdot k^3 }{k^7 \cdot k^8}\)
- \(\dfrac{5(x + y)^3 }{2(x + y)^{13}}\)
- −\(\dfrac{\sqrt{8}y^3}{ y^{−3}}\)
- \(\dfrac{a^{−7}}{ a^2 \cdot a^{−5}}\)
- \(\dfrac{x^{−7}}{ x^5}\)