Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.9: Функціональний склад

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    66101

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Наступна графіка знову з підручника ОР Бізнес обчислення Calaway, Хоффман і Ліппман, 2013 і використовується з дозволу (Creative Commons Attribution 3.0 Ліцензія США).

    clipboard_ef44f8b2a672a0c527c65c7dcb7f25b19.png
    Рисунок Template:index

    Позначення\(f(g(x))\) і\(g(f(x))\) може бути простіше зрозуміти, ніж використовувати оператор композиції. Для\(f(g(x))\), подумайте про упаковку. Подарунок кладеться в коробку (подарунок є\(g(x)\), коробка є\(f(x)\)) і загорнутий подарунок\(f(x)\), містить подарунок\(g(x)\).

    Приклад Template:index

    Якщо\(f(x) = x^2 − 2\) і\(g(x) =\sqrt{x}\), знайдіть:

    1. \(f(g(x))\)і область складеної функції
    2. \(g(f(x))\)і область складеної функції
    Рішення
    1. Склад функцій,\(f(g(x))\) це:

    \(\begin{aligned} f(g(x)) &&\text{ Function composition, }f \text{ of }g\text{ of }x \\ f(\sqrt{x}) &&\text{ Replace } g(x)\text{ with }\sqrt{x} \\ ( \sqrt{x})^2 − 2 && \text{ In the function } f(x)\text{, every }x \text{ is replaced with } g(x) =\sqrt{x} \\ x − 2 && f(g(x))\text{, answer simplified.} \end{aligned}\)

    Домен складеної функції містить обмеження області внутрішньої функції, а також обмеження складеної функції.

    Домен внутрішньої функції,\(g(x) = \sqrt{x}\) що\(x\) повинен бути невід'ємним, або в інтервальному позначенні\([0, \infty )\)

    Домен складеної функції,\(x − 2\) це всі дійсні числа,\((−\infty , \infty )\)

    Тому домен\(f(g(x))\) є\([0, \infty )\).

    1. Склад функцій,\(g(f(x))\) це:

    \(\begin{aligned} g(f(x)) &&\text{ Function composition, }g \text{ of } f \text{ of } x \\ g(x^2 − 2)&& \text{ Replace }f(x)\text{ with } x^2 − 2 \\ \sqrt{x^2 − 2} &&\text{ In the function } g(x)\text{, every }x \text{ is replaced with } f(x) = x^2−2 \\ x^2 − 2 && g(f(x))\text{, answer simplified. }\end{aligned}\)

    Домен складеної функції містить обмеження області внутрішньої функції, а також складену функцію.

    Домен внутрішньої функції,\(f(x) = x^2 − 2\) є всі дійсні числа, або в інтервальному позначенні\((−\infty , \infty )\)

    Домен складеної функції\(\sqrt{x^2} − 2\) полягає в тому, що величина\(x^2 −2\) повинна бути невід'ємною, або\(x^2 −2 \geq 0\).

    Рішення\(x^2 − 2 \geq 0\) для\(x\),\(x \geq 2\) і\(x \leq −2\). У інтервальних позначеннях,\((−\infty , −2] \cup [2, \infty )\)

    Тому область складеної функції, g (f (x)) є більш обмежувальною доменом,\((−\infty , −2] \cup [2, \infty )\).

    Приклад Template:index

    Якщо\(f(x) = \dfrac{1 }{x − 4}\) і\(g(x) = \dfrac{5 }{x} + 4\), знайдіть:

    1. \(f(g(x))\)і область складеної функції
    2. \(g(f(x))\)і область складеної функції
    Рішення
    1. Склад функцій,\(f(g(x))\) це:

    \(\begin{aligned} f(g(x)) \text{ Function composition, } f\text{ of }g \text{ of }x\\ f\left( \dfrac{5}{ x} + 4\right) && \text{ Replace }g(x)\text{ with }\dfrac{5 }{x} + 4 \\ \dfrac{1 }{\left(5 x + 4\right)− 4} && \text{ In the function } f(x)\text{, every x is replaced with } g(x) = \dfrac{5}{ x} + 4 \\ \dfrac{1 }{\dfrac{5 }{x}}&&\text{ Simplify} \\ \dfrac{x }{5} && f(g(x))\text{, answer simplified. }\end{aligned}\)

    Домен складеної функції містить обмеження області внутрішньої функції, а також обмеження складеної функції.

    Домен внутрішньої функції,\(g(x) = 5 x + 4\) це всі значення\(x\) таких, які не\(x\) повинні бути 0, або в інтервальному позначенні\((−\infty , 0) \cup (0, \infty )\)

    Домен складеної функції,\(\dfrac{x }{5}\) це всі дійсні числа,\((−\infty , \infty )\) Отже, область\(f(g(x))\) є\((−\infty , 0) \cup (0, \infty )\)

    1. Склад функцій,\(g(f(x))\) є

    \(\begin{aligned} g(f(x))&&\text{Function composition, } g \text{ of } f\text{ of }x \\ g\left( \dfrac{1 }{x −4}\right) &&\text{Replace } f(x) \text{ with }\dfrac{1}{ x − 4}\\ \dfrac{5 }{\dfrac{1 }{x − 4}} + 4 &&\text{In the function } g(x)\text{, every x is replaced with } f(x) = \dfrac{1 }{x − 4}\\ 5(x − 4) + 4 && \text{ Simplify the fraction} \\ 5x − 20 + 4 &&\text{ Simplify more}\\ 5x − 16 && g(f(x))\text{, answer simplified.} \end{aligned}\)

    Домен складеної функції містить обмеження області внутрішньої функції, а також складену функцію.

    Домен внутрішньої функції,\(f(x) = \dfrac{1}{ x − 4 }\) є те\(x\neq 4\), або в інтервалі позначення\((−\infty , 4) \cup (4, \infty )\)

    Домен складеної функції,\(5x − 16\) є всі дійсні числа,\((−\infty , \infty )\).

    Тому область складеної функції,\(g(f(x))\) є більш обмежувальною доменом,\((−\infty , 4) \cup (4, \infty)\).

    Вправа Template:index

    Для заданих функцій знайдіть обидва\(f(g(x))\) і\(g(f(x))\), і знайдіть область складеної функції.

    1. \(f(x) = 3x^ 2 + x − 10\),\(g(x) = 1 − 20x\)
    2. \(f(x) = 3x − 2\),\(g(x) = \dfrac{1}{ 3} x + \dfrac{2 }{3}\)
    3. \(f(x) = 4x − 1\),\(g(x) = \sqrt{6 + 7x}\)
    4. \(f(x) = 5x + 2\),\(g(x) = x^2 − 14x\)
    5. \(f(x) = x^ 2 − 2x + 1\),\(g(x) = 8 − 3x ^2\)
    6. \(f(x) = x ^2 + 3\),\(g(x) = \sqrt{5 + x^2} \)