4.7: Домен і діапазон функції

Визначення: Область та діапазон функції

Домен функції - це всі можливі значення x, які можуть бути використані як вхідні дані функції, що призведе до дійсного числа в якості виводу. Діапазон функції - це набір всіх можливих вихідних значень функції.

Приклад Template:index

Знайдіть домен і діапазон наступної функції:

\(f(x) = 5x + 3 \)

Рішення

Будь-яке дійсне число, від'ємне, додатне або нуль може бути замінено на x у заданій функції. Отже, область функції\(f(x) = 5x + 3 \) - це всі дійсні числа, або як записано в інтервальних позначеннях, це:\(D:(−\infty , \infty )\). Оскільки функція\(f(x) = 5x + 3\) є поліномом ступеня 1, це пряма лінія (без будь-яких розривів або дірок).

Діапазон будь-якого многочлена ступеня 1 - це всі дійсні числа або записані в інтервальні позначення, це:\(R:(−\infty , \infty )\).

Приклад Template:index

Знайдіть домен і діапазон наступної функції:

\(g(x) = 2\sqrt{ x − 4}\)

Рішення

Зверніть увагу на квадратну кореневу частину цієї функції. Радиканд (що знаходиться всередині квадратного кореня) повинен бути невід'ємним. Встановіть радіканд більше або дорівнює нулю, щоб знайти домен:

\(\begin{aligned} x − 4 &\geq 0 && \text{Set the radicand greater than or equal to 0 }\\ x &\geq 4 &&\text{ Solve the inequality } \\ D&:[4, \infty ) &&\text{Write the solution in interval notation }\end{aligned}\)

Тому область функції\(g(x) = 2\sqrt{ x − 4}\) - це всі дійсні числа в інтервалі від\([4, \infty )\), який записаний\(D:[4, \infty )\).

Щоб знайти діапазон\(g(x) = 2\sqrt{ x − 4}\), давайте поспостерігаємо за поведінкою функції для різних значень х, які знаходяться в області.

Нехай\(x = 4\)\(g(4) = 2\sqrt{ 4 − 4}\), так\(g(4) = 0\).

Нехай\(x = 5\)\(g(5) = 2\sqrt{ 5 − 4}\), так\(g(5) = 2\).

Нехай\(x = 8\)\(g(8) = 2\sqrt{ 8 − 4}\), так\(g(8) = 4\).

Будь-яке невід'ємне значення, вибране для x, призведе до невід'ємного значення для\(g(x)\). Значення функції для діапазону (вихід з функції\(g(x)\)) - це невід'ємні числа, записані як\(R:[0, \infty )\).

Приклад Template:index

Знайдіть домен і діапазон наступної функції:

\(h(x) = −2x^2 + 4x − 9\)

Рішення

Будь-яке дійсне число, від'ємне, додатне або нуль може замінити x у заданій функції.

Отже, область функції\(h(x) = 2x^2 + 4x − 9\) - це всі дійсні числа, або як записано в інтервальних позначеннях, це:\(D:(−\infty , \infty )\).

Оскільки функція\(h(x) = 2x^2 + 4x − 9\) є квадратичною ступеня 2, при графіку вона є параболою (без будь-яких розривів або дірок). Визначте дві речі щодо цієї параболи:

1. Яким чином він відкривається, вгору або вниз? і
2. Де знаходиться вершина?

Знак коефіцієнта провідного члена квадратичної функції (\(2x^2\)) показує, яким шляхом відкривається парабола. Коефіцієнт дорівнює 2, а оскільки він позитивний, квадратична функція відкривається вгору.

Тепер знайдіть вершину. Значення y впорядкованої пари вершин покаже, де починається діапазон.

Вершина є\(\left(−\dfrac{b}{2a} , f\left( −\dfrac{b}{2a} \right)\right)\), з\(a = 2\) і\(b = 4\).

Вершина - це\(\left(− \dfrac{4 }{2∗2} , f \left(− \dfrac{4 }{2∗2}\right)\right)\)

Вершина - це\((− 1, f(− 1))\), яка є\((− 1, 2 ∗ (−1)^2 − 9))\) або\((− 1, −11)\)

Діапазон почнеться з −11 і продовжить збільшуватися, оскільки парабола відкривається вгору. \(R:[-11, \infty)\)

Приклад Template:index

Знайдіть домен і діапазон наступної функції:

\(j(x) = \vert z − 6 \vert − 3\)

Рішення

Ця функція містить абсолютне значення. Будь-яке значення може бути обрано для\(z\), тому область функції - це всі дійсні числа, або як записано в інтервальній нотації, дорівнює:\(D:(−\infty , \infty )\)

Щоб знайти діапазон, вивчіть всередині символи абсолютного значення. Ця величина завжди\(\vert z−6 \vert\) буде 0 або додатним числом для будь-яких значень z. Спочатку знайдіть, що робить вираз z−6 рівним нулю, тобто числом 6.

\(\begin{aligned} j(x) &= \vert z − 6 \vert − 3 &&\text{ Original function } \\ j(x) &= \vert 6 − 6 \vert − 3 && \text{Replace z with 6 } \\j(x) &= \vert 0 \vert − 3 && \text{Simplify } \\ j(x) &= −3 && j(x) \text{ is } −3 \end{aligned}\)

Отже, діапазон функції\(j(x) = \vert z − 6 \vert − 3\) дорівнює −3 або вище, або, як записано в інтервальній нотації, такий:\(R:[-3, \infty)\)

З деякими типами функцій працювати складніше. Ось кілька прикладів функцій, де домен можна знайти, але діапазон буде занадто важко знайти, і поза сферою цього курсу:

Приклад Template:index

Знайдіть домен наступних функцій:

\(f(x) = \dfrac{x − 4 }{x^2 − 2x − 15 }\)

Рішення

При будь-якій раціональній функції (частці многочленів) слід пам'ятати про поділ на 0. Встановіть многочлен знаменника рівним 0 і розв'яжіть.

\(\begin{aligned} x^2 − 2x − 15 &= 0 &&\text{Set the denominator function equal to } 0 \\ (x − 5)(x + 3) &= 0 &&\text{Factor the quadratic equation } \\ x − 5 &= 0 && \text{Set the first binomial factor equal to zero } \\ x &= 5 &&\text{Solve the first binomial factor } \\ x + 3 &= 0 &&\text{Set the second binomial factor equal to zero } \\ x &= −3 &&\text{Solve the second binomial factor} \end{aligned}\)

Існує два розв'язки квадратного рівняння: 5 та −3.

Ці значення повинні бути виключені з домену, тому що якщо\(x\) дорівнює 5 або −3, знаменник буде дорівнює нулю.

Ділення на нуль не визначено. Доменом функції\(f(x) = x − 4 x^2 − 2x − 15\) є\((−\infty , −3) \cup (−3, −5) \cup (−5, \infty )\).

Приклад Template:index

Знайдіть домен наступної функції:

\(g(x) = \dfrac{x }{x^2 − 9}\)

Рішення

Знову ж таки, це раціональна функція, і стурбованість полягає в тому, щоб уникнути поділу на 0. Встановіть функцію знаменника рівною 0 і вирішіть.

\(\begin{aligned} x^{2}-9&=0 && \text { Set the denominator function equal to } 0 \\ (x-3)(x+3)&=0 &&\text{Factor the quadratic equation} \\ x-3&=0 && \text{Set the first binomial factor equal to zero} \\ x&=3 &&\text{Solve the first binomial factor}\\ x+3&=0 && \text{Set the second binomial factor equal to zero} \\ x&=-3 && \text{Solve the second binomial factor} \end{aligned}\)

Існує два розв'язки квадратного рівняння: 3 та −3. Ці значення повинні бути виключені з домену, тому що якщо\(x\) дорівнює 3 або −3, знаменник дорівнюватиме нулю. Ділення на нуль не визначено. Доменом функції\(g(x) =\dfrac{ x}{ x^2 − 9 }\) є\((−\infty , −3) \cup (−3, 3) \cup (3, \infty )\).

Приклад Template:index

Знайдіть домен наступної функції:

\(g(t) = \sqrt{6 + t − t^2}\)

Рішення

Радиканд цієї функції квадратного кореня повинен бути невід'ємним. Встановіть радиканд більше або дорівнює 0 і вирішуйте.

\(\begin{aligned} 6 + t − t^2 &\geq 0 &&\text{Set the radicand equal to }0 \\ −t^2 + t + 6 &\geq 0 &&\text{Rewrite the function with the leading term first } \\ (−t + 3)(t + 2) &= 0 && \text{Factor the quadratic equation } \\−t + 3 &= 0 && \text{Set the first binomial factor equal to zero } \\ t &= 3 && \text{Solve the first binomial factor } \\ t + 2 &= 0 &&\text{Set the second binomial factor equal to zero } \\ t &= −2 &&\text{Solve the second binomial factor} \end{aligned}\)

Є два значення, які зроблять радиканд цієї функції квадратного кореня нулем, 3 та −2.

Так як радиканд повинен бути ненегативним, протестуйте області між знайденими розчинами.

Якщо\(x < −2\), наприклад, −4,\(g(−4) = \sqrt{6 + (−4) − (−4)^2}\) є негативним, що не допускається для радиканда.

Якщо\(x\) знаходиться між −2 і 3, наприклад, 0,\(g(0) = \sqrt{6 + (0) − (0)^2}\) є додатним. Ця область між −2 та 3 буде у домені функції.

Є ще один регіон, щоб перевірити, де\(x > 3\). Нехай\(x = 4\). \(g(4) = \sqrt{ 6 + (4) − (4)^2}\)є негативним, що не допускається для радиканда. Доменом функції\(g(t) = \sqrt{6 + t − t^2}\) є\([−2, 3]\)

Вправа Template:index

Знайдіть домен і діапазон наступних функцій:

1. \(f(x) = x ^2 − 8x + 12\)
2. \(g(x) = \sqrt{x + 10}\)
3. \(h(x) = \vert − 2x + 1\vert\)

Вправа Template:index

Знайдіть домен наступних функцій:

1. \(f(x) = \dfrac{6x + 7 }{5x + 2}\)
2. \(f(x) = \dfrac{2x }{2x^2 + 3x − 20}\)
3. \(f(x) =\dfrac{ 4x + 11 }{x^2 + 6x + 9}\)
4. \(f(x) = \dfrac{3x }{x^2 − 5x − 14}\)
5. \(f(x) = \dfrac{2x + 1}{ 6x^2 − x − 2}\)
6. \(f(x) = \dfrac{−6 }{25x^2 − 4}\)