4.6: Функції поліномів
- Page ID
- 66091
Поліноміальна функція - це функція, яку можна записати в загальному вигляді:
\(f(x) = a_n x^n + a_{n−1} x^{n−1 }+ ... + a_1x + a_0\)
для\(n\) невід'ємного цілого числа, званого ступенем многочлена. Коефіцієнти\(a_0\),\(a_1\),\(\ldots\), an є дійсними числами з провідним коефіцієнтом a\(a_n \neq 0\). Домен поліноміальної функції є\((−\infty , \infty )\). Графік поліноміальної функції ступеня\(n\) може перетинати вісь x в більшості\(n\) разів. Це коріння поліноміальної функції.
У цьому розділі немає прикладів або домашніх завдань.
Квадратичні функції
\(f(x) = ax^2 + bx + c\)де\(a\neq 0\)
є квадратичною функцією в стандартній формі, а її графік - парабола. Коли провідний коефіцієнт\(a\),, позитивний, графік Квадратичної функції відкривається вгору. Коли провідний коефіцієнт\(a\),, негативний, графік квадратичної функції відкривається вниз.
Намалюйте графік\(f(x) = −x^2 + 5x + 3\) у прямокутній системі координат. Знайдіть вершину, x-перехоплення (и) та перехоплення y-перехоплення алгебраїчно.
Рішення
Знайдіть вершину шляхом обчислення\(\left(\dfrac{-b}{2 a}, f\left(\dfrac{-b}{2 a}\right)\right)\) з\(a = −1\),\(b = 5\) і\(c = 3\).
\ (\ почати {вирівняний}
\ лівий (\ dfrac {-b} {2 a}, f\ лівий (\ dfrac {-b} {2 a}\ праворуч)\ праворуч) &= &&\ text {Знайти вершину параболи}
\\ dfrac {-5} {2 (-1)} &=
\\ dfrac {5} {2}\ текст {Спрощення}\
\ dfrac {-5} {2 (-1)} &=2.5\\
f (2.5) &=- (2.5) ^ {2} +5 (2.5) +3=9.25=&F\ ліворуч (\ dfrac {-b} {2 a}\ праворуч) =9.25\\ ліворуч (\ dfrac {-b} {2 a}, f\ ліворуч (\ dfrac {-b} {2 a}\ праворуч) & =( 2.5,9.25) &&\ text {Вершина параболи}
\ end {вирівняний}\)
Щоб знайти перехоплення:
\ (\ begin {вирівняний} 0&=-x^ {2} +5 x+3 &&\ text {x-перехоплення, набір} f (x) =0\ 0&=-x^ {2} +5 x+3 &&\ text {Використовуйте квадратичну формулу для вирішення цього рівняння (його неможливо врахувати). Нехай} a=-1, b=5, c = 3\\ x&=\ dfrac {-5\ pm\ sqrt {(5) ^ {2} -4 (-1)}} {2 (-1)} &&\ text {квадратична формула
}\\ x&=\ dfrac {-5\ pm\ sqrt {37}} {-2} &\ текст {Спрощення}\\
x&x =-0.54\ text {or} x=5.54 &&\ text {Ця квадратична функція має два корені (x-перехоплення). }\\ f (0) &=-0^ {2} +5 (0) +3 &&\ текст {y-перехоплення, набір} x = 0\\ f (0) &= 3 &&\ текст {y-перехоплення}\ кінець {вирівняний}\)
Графік чотирьох впорядкованих пар і обчислити більш впорядковані пари, якщо це необхідно:\((2.5, 9.25)\)\((−.54, 0)\),\((5.54, 0)\),,\((0, 3)\).
- \(f(x) = 2x ^2 − 5x − 5\)
- \(f(x) = 0.5x ^2 − 6x + 21\)
- \(f(x) = −4x ^2 − 8x − 3\)
- \(f(x) = −4x^ 2 + 16x − 15\)
- \(f(x) = x^ 2 − 8x + 12\)
- \(f(x) = −7x^ 2 + 100x − 10\)
Кубічні та вищі функції порядку
Кубічна функція - це поліноміальна функція третього ступеня, яку можна записати в загальному вигляді:
\(f(x) = a_3x^ 3 + a_2x^2 + a_1x + a_0\)
з 3 як ступінь кубічної функції. Коефіцієнти\(a_0\),\(a_1\),\(a_2\),\(a_3\) є дійсними числами з провідним коефіцієнтом\(a_3 \neq 0\). Домен кубічної функції дорівнює\((−\infty , \infty )\).
Фактор, якщо це можливо, і графік функції, створивши таблицю розв'язків:
\(f(x) = x^3 − 4x^2 + 6x − 1\)
Рішення
Цей многочлен має ступінь 3, і його важко фактор. Створіть таблицю рішень для графіка.
| Таблиця рішень для\(f(x) = x^3 − 4x^2 + 6x − 1\) | |
| \(x\) | \(f(x)\) |
| -2 | \(f(−2) = (−2)^3 − 4(−2)^2 + 6(−2) − 1 = −37\) |
| -1 | \(f(−1) = (−1)^3 − 4(−1)^2 + 6(−1) − 1 = −12\) |
| 0 | \(f(0) = (0)^3 − 4(0)^2 + 6(0) − 1 = −1\) |
| 1 | \(f(1) = (1)^3 − 4(1)^2 + 6(1) − 1 = 2\) |
| 2 | \(f(2) = (2)^3 − 4(2)^2 + 6(2) − 1 = 3\) |
Фактор, якщо це можливо, і графік функції, створивши таблицю розв'язків:
\(g(x)=x^4-16\)
Рішення
Цей многочлен має ступінь 4, і оскільки це різниця квадратів, він може бути врахований у добуток бічленів, щоб знайти нулі многочлена. Створіть таблицю рішень для графіка.
\(\begin{aligned} g(x)&=\left(x^{2}-4\right)\left(x^{2}+4\right) && \text{Factoring into the sum and difference of binomials.} \\ g(x)&=(x-2)(x+2)\left(x^{2}+4\right) && \text{Further factoring. Set each binomial equal to zero to find the real number zeroes of the polynomial.} \\ x-2&=0, x=2 && \text{The first real number zero of the polynomial, }(2,0) \\ x+2&=0, x=-2 &&\text{The second real number zero of the polynomial, } (2,0) \\ x^{2}+4&=0, x^{2}=-4 && \text{The third binomial factor does not produce real number zeroes, } \\ & &&\text{because no number squared can result in a negative value.} \end{aligned}\)
| Таблиця рішень для\(g(x)=x^4-16\) | |
| \(x\) | \(g(x)\) |
| -2 | \(g(−2) = (−2)^4 − 16 = 16 − 16 = 0\) |
| -1 | \(g(−1) = (−1)^4 − 16 = 1 − 16 = −15\) |
| 0 | \(g(0) = (0)^4 − 16 = 0 − 16 = −16\) |
| 1 | \(g(1) = g(1) = (1)^4 − 16 = 1 − 16 = −15\) |
| 2 | \(g(2) = g(2) = (2)^4 − 16 = 16 − 16 = 0\) |
Фактор, якщо це можливо, і графік функції, створивши таблицю розв'язків:
\(f(x) = x ^6 − 5x ^2 + 3\)
Рішення
Цей многочлен має ступінь 6, і його важко визначити. Створіть таблицю рішень для графіка.
| Таблиця рішень для\(f(x) = x ^6 − 5x ^2 + 3\) | |
| \(x\) | \(f(x)\) |
| -2 | \(f(−2) = (−2)^6 − 5(−2)^2 + 3 = 47\) |
| -1 | \(f(−1) = (−1)^6 − 5(−1)^2 + 3 = −1\) |
| 0 | \(f(0) = (0)^6 − 5(0)^2 + 3 = 3\) |
| 1 | \(f(1) = (1)^6 − 5(1)^2 + 3 = −1\) |
| 2 | \(f(2) = (2)^6 − 5(2)^2 + 3 = 47\) |
- \(f(x) = x^3 − 27\)
- \(g(x) = 81x ^4 − 16\)
- \(h(x) = 2x ^5 − 4x ^2 − 6x + 3\)
- \(f(x) = 5x ^6 − 6x ^4 + 5\)
Раціональні функції
Раціональна функція - це функція, яку можна записати як частку многочленів.
\(f(x) = \dfrac{P (x) }{Q(x) }\),\(Q(x) \neq 0\)
де\(P(x)\) і\(Q(x)\) є многочленами в одній змінній\(x\). Домен - це набір всіх дійсних чисел, таких що\(Q(x) \neq 0\).
Для функції\(f(x) = \dfrac{9 }{x − 3}\):
- Графік функції
- Оцініть функцію для\(x = 0\) і\(x = 2\)
Рішення
Зверніть увагу на область цієї функції. Ділення на нуль не визначено, тому число (и), яке зробить знаменник 0, має бути виключено з домену.
У цій задачі,\(x − 3\) знаходиться в знаменнику функції. Встановіть\(x − 3 = 0\) і вирішуйте для\(x\). Якщо\(x = 3\) поділ не визначено, тому виключаємо число 3 з області функції. Подумайте про це як завжди, починаючи з усіх дійсних чисел,\((−\infty , \infty )\) а потім видаліть значення, які призведуть до невизначеного поділу.
Доменом цієї функції є\((−\infty , 3) \cup (3, \infty )\).
Раціональні функції часто матимуть асимптоти, лінію, яка постійно наближається до заданої кривої, але не відповідає їй на будь-якій кінцевій відстані. Про асимптоти ви дізнаєтесь у розділі «Крива ескізів» Math 162.
Графік цієї функції можна знайти, склавши таблицю розв'язків:
| Таблиця рішень для\(f(x) = \dfrac{9 }{x − 3}\) | Домен:\((−\infty , 3) \cup (3, \infty )\) |
| \(x\) | \(f(x)\) |
| -4 | \(-\dfrac{9}{7}\) |
| -3 | \(-\dfrac{3}{2}\) |
| -2 | \(-\dfrac{9}{5}\) |
| -1 | \(-\dfrac{9}{4}\) |
| 0 | \(-3\) |
| 1 | \(-\dfrac{9}{2}\) |
| 2 | \(-9\) |
Для функції,\(f(x) = \dfrac{100x}{ x^2 − 3x − 4}\)
- Графік функції
- Оцініть функцію для\(x = −1\) і\(x = 3\)
Рішення
Зверніть увагу на область цієї функції. Ділення на нуль не визначено, тому число (и), яке зробить знаменник 0, має бути виключено з домену.
У цій задачі,\(x^2 − 3x − 4\) знаходиться в знаменнику функції. Фактор квадратичного виразу, щоб отримати\((x − 4)(x + 1)\) і встановити кожен множник рівним нулю і вирішити для\(x\):\(x − 4 = 0\), так\(x = 4\);\(x + 1 = 0\), так\(x = −1\). Якщо\(x = 4\) або\(x = −1\), поділ не визначено, тому виключайте числа 4 та −1 з області функції. Подумайте про це як завжди, починаючи з усіх дійсних чисел,\((−\infty , \infty )\) а потім видаліть значення, які призведуть до невизначеного поділу.
Доменом цієї функції є\((−\infty , −1) \cup (−1, 4) \cup (4, \infty )\). Графік цієї функції можна знайти, склавши таблицю розв'язків:
| Таблиця рішень для\(f(x) = \dfrac{100x}{ x^2 − 3x − 4}\) | Домен:\((−\infty , −1) \cup (−1, 4) \cup (4, \infty )\) |
| \(x\) | \(f(x)\) |
| -4 | −16.667 |
| -3 | −21.429 |
| -2 | −33.333 |
| -1 | невизначений |
| 0 | 0 |
| 1 | −16.667 |
| 2 | −33.333 |
| 3 | -75 |
| 4 | невизначений |
- \(f(x) = \dfrac{3x + 6 }{x − 1}\)
- \(f(x) = \dfrac{9 }{x^2 − 9}\)
- \(f(x) = \dfrac{x^ 2 − 4 }{x^2 − 4x}\)